โจทย์ปัญหากำหนดการเชิงเส้นพร้อมวิธีทำ วันนี้เรามาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับพวกโจทย์ปัญหากำหนดการเชิงเส้นกันครับ เรื่องนี้ง่ายครับ และออกข้อสอบ Pat 1 ทุกครั้งและทุกครั้งที่ออกก็ง่ายครับ วันนี้ผมจะเอาตัวอย่างจากหนังสือคณิตศาสตร์ของ สสวท. มาลองทำให้ดูครับ ไปดูกันเลยครับ
แบบฝึกหัดโจทย์ปัญหากำหนดการเชิงเส้น
1. โรงงานใหม่ต้องการซื้อเครื่องจักรสองชนิด คือ ชนิด A และชนิด B เครื่องจักรชนิด A ราคาเครื่องละ 160,000 บาท เครื่องจักรชนิด B ราคาเครื่องละ 80,000 บาท การลงทุนซื้อเครื่องจักรใหม่ทั้งหมดต้องไม่เกินงบประมาณที่ตั้งไว้คือ 2,720,000 บาท เครื่องจักรชนิด A แต่ละเครื่องต้องใช้พื้นที่วาง 90 ตารางเมตร เครื่องจักรชนิด B แต่ละเครื่อง ต้องใช้พื้นที่วาง 54 ตารางเมตร โรงงานเตรียมพื้นที่สำหรับวางเครื่องจักรทั้งหมดไว้ 1,620 ตารางเมตร
1) ถ้าให้ \(x\) แทนจำนวนของเครื่องจักรชนิด A และให้ \(y\) แทนจำนวนเครื่องจักรชนิด B จงเขียนอสมการข้อจำกัดนี้ พร้อมทั้งเขียนกราฟ
วิธีทำ
เงินลงทุนซื้อเครื่องจักรคือ
\(160000x+80000y \leq 2720000\)
พื้นที่สำหรับวางเครื่องจักรคือ
\(90x+54y\leq 1620\)
หรือ
\(2x+y\leq 34\)
\(5x+3y\leq 90\)
\(x\geq 0\)
\(y\geq 0\)
กราฟของอสมการข้อจำกัดคือ
2)รายได้ที่เครื่องจักรชนิด A แต่ละเครื่องทำให้ต่อวันคือ 7,500 บาท รายได้ที่เครื่องจักรชนิด B แต่ละเครื่องทำได้ต่อวันคือ 4200 บาท อยากทราบว่า โรงงานนี้ควรซื้อ เครื่องจักรชนิด A และชนิด B อย่างละกี่เครื่องจึงจะสร้างรายได้ต่อวันสูงสุด
วิธีทำ
รายได้ต่อวัน \(P=7500x+4200y\)
| \((x,y)\) | \(7500x\) | \(4200x\) | \(P=7500x+4200y\) |
|---|---|---|---|
| \((0,0)\) | 0 | 0 | 0 |
| \((0,30)\) | 0 | 126,000 | 126,000 |
| \((12,10)\) | 90,000 | 42,000 | 132,000 |
| \((17,0)\) | 127,500 | 0 | 127,500 |
เพราะฉะนั้นจากตาราง โรงงานนี้ควรซื้อเครื่องจักรชนิด A และเครื่องจักรชนิด B อย่างละ 12 เครื่องและ 10 เครื่องตามลำดับ รายได้ต่อวันสูงสุ่ดคือ 132,000 บาท
2. ในแต่ละวันบริษัทรับจ้างขนของต้องส่งผลิตภภัณฑ์ซึ่งบรรจุในกล่องขนาดมาตรฐานเท่ากันไปให้ลูกค้า บริษัทมีรถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญ่อยู่จำนวนหนึ่งมีพนักงานขับรถอยู่ 10 คน การจัดกล่องขึ้นรถทำได้ทีละคันและใช้เวลาไม่เท่ากัน ระหว่างรถบรรทุกขนาดเล็กและใหญ่ การจัดกล่องขึ้นรถบรรทุกขนาดเล็กใช้เวลา 10 นาทีต่อคัน ในขณะที่รถบรรทุกขนาดใหญ่ต้องใช้เวลา 30 นาทีต่อกัน เพื่อไม่ให้เสียเวลามากเกินไป บริษัทประเมินว่าเวลารวมในการจัดกล่องขึ้นรถไม่เกินวันละ 3 ชั่วโมง
1) ถ้าให้ \(x\) แทนจำนวนรถบรรทุกขนาดเล็ก ให้ \(y\) แทนรถบรรทุกขนาดใหญ่ จงเขียนอสมการข้อจำกัด พร้อมทั้งเขียนกราฟ
วิธีทำ
จำนวนพนักงาน คือ
\(x+y\leq 10\)
เวลาที่ใช้ในการจัดกล่องขึ้นรถคือ
\(10x+30y\leq 180\)
หรือ
\(x+y\leq 10\)
\(x+3y\leq 18\)
\(x\geq 0\)
\(y\geq 0\)
กราฟของอสมการข้อจำกัดคือ
2) ถ้ารถบรรทุกขนาดเล็กแต่ละคันบรรทุกกล่องได้ 30 กล่อง รถบรรทุกขนาดใหญ่แต่ละคันบรรทุกได้ 70 กล่อง อยากทราบว่า บริษัทควรใช้รถบรรทุกขนาดเล็ก และขนาดใหญ่อย่างละกี่คัน เพื่อที่จะขนส่งผลิตภัณฑ์ให้ได้จำนวนกล่องมากที่สุดในแต่ละวันและขนได้วันละกี่กล่อง
วิธีทำ จำนวนกล่องที่ขนส่งได้ต่อวัน \(P=30x+70y\)
| \((x,y)\) | \(30x\) | \(70y\) | \(P=30x+70y\) |
| \((0,0)\) | 0 | 0 | 0 |
| \((0,6)\) | 0 | 420 | 420 |
| \((6,4)\) | 180 | 280 | 460 |
| \((10,0)\) | 300 | 0 | 300 |
ดังนั้นบริษัทควรใช้รถบรรทุกขนาดเล็กและขนาดใหญ่อย่างละ 6 คน และ 4 คันตามลำดับจึงจะขนส่งผลิตภัณฑ์ให้ได้จำนวนกล่องมากที่สุด
3. หมู่บ้านจัดสรรต้องการสร้างบ้านสองแบบบนเนื้อที่ 9 ไร่ แบบแรกเป็นแบบเดี่ยวใช้พื้นที่หนึ่งในห้าของไร่ อีกแบบเป็นทาวน์เฮาส์ใช้พื้นที่หนึ่งในสิบของไร่ ถ้าค่าก่อสร้างบ้านเดี๋ยวและทาวน์เฮาส์ราคาหลังละ 800,000 บาท และ 500,000 บาทตามลำดับ และบริษัทมีเงินทุนเพื่อการสร้างบ้าน 40 ล้านบาท
1) ให้ \(x\) แทนจำนวนบ้านเดี่ยว และ \(y\) แทนจำนวนทาวน์เฮาส์ จงเขียนอสมการข้อจำกัดพร้อมทั้งเขียนกราฟ
วิธีทำ
เนื้อที่โครงการ คือ
\(\frac{1}{5}x+\frac{1}{10}y\leq 9\)
เงินทุนสร้างบ้านทั้งสองแบบ คือ
\(800000x+500000y\leq 40000000\)
หรือ
\(2x+y\leq 90\)
\(8x+5y\leq 400\)
\(x\geq 0\)
\(y\geq 0\)
กราฟของอสมการข้อจำกัดคือ
2) ถ้ากำไรจากการขายบ้านเดี๋ยวและทาวน์เฮาส์ต่อหลังเป็น 100,000 บาทและ 70,000 บาท ตามลำดับเจ้าของโครงการหมู่บ้านจัดสรรแห่งนี้ควรตัดสินใจสร้างบ้านเดี่ยวและทาวน์เฮาส์อย่างละกี่หลังจึงจะได้ผลกำไรสูงสุด และได้กำไรสูงสุดกี่บ้าน
วิธีทำ กำไร \(P=100000x+70000y\)
| \((x,y)\) | \(100000x\) | \(70000y\) | \(P=100000x+70000y\) |
| \((0,0)\) | 0 | 0 | 0 |
| \((0,80)\) | 0 | 5,600,000 | 5,600,000 |
| \((25,40)\) | 2,500,000 | 2,800,000 | 5,300,000 |
| \((45,0)\) | 4,500,000 | 0 | 4,500,000 |
เจ้าของโครงการหมู่บ้านจัดสรรควรตัดสินใจสร้างทาวน์เฮาส์อย่างเดียว จำนวน 80 หลังจึงจะได้ผลกำไรสูงสุด ผลกำไรสูงสุดคือ 5,600,000 บาทครับ
4. อุตสาหกรรมภายในครัวเรือนแห่งหนึ่งผลิตเก้าอี้สองชนิดคือ เก้าอีขาสั้นและขายาว โดยที่เก้าอี้ขาสั้นแต่ละตัวต้องเสียเวลาในการผลิตขั้นต้น 1 ชั่วโมง ขั้นที่สอง 2 ชั่วโมง และขายได้กำไรตัวละ 30 บาท ส่วนเก้าอี้ขายาวแต่ละตัวเสียเวลาในการผลิตขั้นต้น 2 ชั่วโมง ขั้นที่ 2 ชั่วโมง และขายได้กำไรตัวละ 50 บาท โรงงานสำหรับการผลิตขั้นต้นและขั้นที่สองทำงานวันละไม่เกิน 8 ชั่วโมงและ 10 ชั่วโมง ตามลำดับ อยากทราบว่า อุตสาหกรรมภายในครัวเรือนควรผลิตเก้าอี้แต่ละชนิดเป็นจำนวนเท่าใดในแต่ละวันจึงจะได้กำไรมากที่สุดและได้กำไรเท่าไร
วิธีทำ
ให้ \(P\) เป็นกำไร
\(x\) เป็นจำนวนเก้าอี้ขาสั้นที่ผลิตในแต่ละวัน
และ \(y\) เป็นจำนวนเก้าอี้ขายาวที่ผลิตในแต่ละวัน
เขียนฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจำกัดคือ \(P=30x+50y\)
และ เวลาที่ต้องใช้ในการผลิตขั้นต้นคือ \(x+2y \leq 8\)
เวลาที่ต้องใช้ในการผลิตขั้นที่สองคือ
\(2x+2y\leq 10\)
\(x\geq 0\)
\(y\geq 0\)
โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนเต็ม จุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจำกัดคือ จุด \((0,0),(0,4),(2,3)\) และ \((5,0)\)
เขียนกราฟของอสมการข้อจำกัดโดยใช้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงได้ดังรูป
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมข้างต้นในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า \(P\) ดังนี้
| \((x,y)\) | \(30x\) | \(50y\) | \(P=30x+50y\) |
| \((0,0)\) | 0 | 0 | 0 |
| \((0,4)\) | 0 | 200 | 200 |
| \((2,3)\) | 60 | 150 | 210 |
| \((5,0)\) | 150 | 0 | 150 |
จุดมุม \((2,3)\) ให้ค่า \(P\) มากที่สุด ดังนั้น ในแต่ละวันถ้าให้ได้กำไรมากที่สุดควรจะผลิตเก้าอี้ขาสั้นจำนวน 2 ตัว และเก้าอี้ขายาว จำนวน 3 ตัว และจะได้กำไร 210 บาท
5. บริษัทผลิตจอภาพคอมพิวเตอร์แห่งหนึ่งผลิตจอภาพสองชนิด คือ จอภาพธรรมดาและจอภาพแบน กำลังผลิตจอภาพทั้งสองชนิดของบริษํทนี้ทำได้ 300 ชิ้นต่อสัปดาห์ โดยต้นทุนในการผลิตจอภาพธรรมดาอยู่ที่ 3600 บาทต่อชิ้น และจอภาพแบนอยู่ที่ 5400 บาทต่อชิ้น ทางบริษัทได้กำหนดจำนวนเงินลงทุนสำหรับการผลิตจอภาพทั้งสองชนิดไว้ไม่เกิน 1296000 บาท ถ้าจอภาพธรรมดาได้กำไรชิ้นละ 1800 บาท และจอภาพแบนได้กำไรชิ้นละ 2200 บาท อยากทราบว่า บริษัทนี้ควรผลิตจอภาพทั้งสองชนิดอย่างละกี่ชิ้นต่อสัปดาห์จึงจะได้กำไรมากที่สุดและได้กำไรเท่าไร
วิธีทำ
ให้ \(P\) เป็นกำไร
\(x\) เป็นจำนวนจอภาพธรรมดาที่ควรผลิดต่อสัปดาห์
และ \(y\) เป็นจำนวนจอภาพแบนที่ควรผลิตต่อสัปดาห์
เขียนฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจำกัดคือ \(P=1800x+2200y\)
และ จำนวนจอภาพทั้งสองชนิดที่ผลิดคือ \(x+y\leq 300\)
ต้นทุนการผลิต คือ
\(3600x+5400y\leq 1296000\) หรือ
\(2x+3y\leq 720\)
\(x\geq 0\)
\(y\geq 0\) โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนเต็ม
เขียนกราฟของอสมการข้อจำกัด โดยใช้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงได้ ดังรูป
จุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจำกัดคือ จุด \((0,0),(0,240),(180,120)\) และ \((300,0)\) และเมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมข้างต้นในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า \(P\) ดังนี้
| \((x,y)\) | \(1800x\) | \(2200y\) | \(P=1800x+2200y\) |
| \((0,0)\) | 0 | 0 | 0 |
| \((0,240)\) | 0 | 528000 | 528000 |
| \((180,120)\) | 324000 | 264000 | 588000 |
| \((300,0)\) | 540000 | 0 | 540000 |
จุดมุม \((180,120)\) ให้ค่า \(P\) มากที่สุด ดังนั้น ในแต่ละสัปดาห์ควรจะผลิตจอภาพธรรมดาจำนวน 180 ชิ้น และจอภาพแบนจำนวน 120 ชิ้น จึงจะได้กำไรมากที่สุดคือได้กำไร 588,000 บาท
6.ช่างตัดเสื้อมีผ้าสีพื้น 16 เมตร ผ้าลายดอก 15 เมตร และผ้าลูกไม้ 11 เมตร ถ้าช่างต้องการนำผ้าที่มีอยู่ดังกล่าวมาตัดเป็นชุดกลางวันและชุดราตรี โดยที่ชุดกลางวันแต่ละชุดใช้ผ้าสีพื้น 2 เมตร ผ้าลายดอก 1 เมตร ผ้าลูกไม้ 1 เมตร และขายได้กำไรตัวละ 300 บาท ส่วนชุดราตรีแต่ละชุดต้องใช้ผ้าสีพื้น 1 เมตร ผ้าลายดอก 3 เมตร ผ้าลูกไม้ 2 เมตร และขายได้กำไรตัวละ 500 บาท อยากทราบว่าช่างตัดเสื้อควรจะตัดชุดกลางวันและชุดราตรีอย่างละกี่ชุด จึงจะได้กำไรมากที่สุดและเป็นเงินเท่าไร
วิธีทำ
ให้ \(P\) เป็นกำไร
\(x\) เป็นจำนวนชุดกลางวันที่ควรจะตัด
\(y\) เป็นจำนวนชุดราตรีที่ควรจะตัด
จะเขียนฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจำกัด คือ \(P=300x+500y\)
และ ผ้าสีพื้นที่ต้องใช้คือ
\(2x+y\leq 16\)
ผ้าลายดอกที่ต้องใช้ คือ
\(x+3y\leq 15\)
ผ้าลูกไม้ที่ต้องใช้ คือ
\(x+2y\leq 11\)
\(x\geq 0\)
\(y\geq 0\)
โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนเต็ม
เขียนกราฟของอสมการข้อจำกัด โดยใช้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงได้ ดังรูป
จุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจำกัดคือ จุด \((0,0),(0,5),(3,4),(7,2)\) และ \((8,0)\) และเมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมข้างต้นในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า \(P\) ดังนี้
| \((x,y)\) | \(300x\) | \(500y\) | \(P=300x+500y\) |
| \((0,0)\) | 0 | 0 | 0 |
| \((0,5)\) | 0 | 2500 | 2500 |
| \((3,4)\) | 900 | 2000 | 2900 |
| \((7,2)\) | 2100 | 1000 | 3100 |
| \((8,0)\_ | 2400 | 0 | 2400 |
จุดมุม \((7,2)\) ให้ค่า \(P\) มากที่สุด ดังนั้น ช่างตัดเสื้อควรจะตัดชุดกลางวัน 7 ชุด และชุดราตรี 2 ชุด จึงจะได้กำไรมากที่สุดคือกำไร 3100 บาท
7. นักธุรกิจผู้หนึ่งต้องการทำความสะอาดตู้ 5 ตู้ โต๊ะ 12 ตัว และชั้นวางหนังสือ 18 ชั้น เขามีคนงานที่ทำงานนี้อยู่สองคน คนแรกสามารถที่จะทำความสะอาดตู้ 1 ตู้ โต๊ะ 3 ตัว และชั้นวางหนังสือ 3 ชั้นในเวลาหนึ่งชั่วโมง ส่วนคนที่สองสามารถทำความสะอาดตู้ 1 ตู้ โต๊ะ 2 ตัวและชั้นวางหนังสือ 6 ชั้นในเวลาหนังชั่วโมง คนงานคนแรกได้รับค่าแรง 25 บาทต่อชั่วโมงและคนที่สองได้รับค่าแรง 22 บาทต่อชั่วโมง เพื่อที่จะเสียค่าแรงน้อยที่สุด เขาควรจะจ้างคนงานทั้งสองให้ทำงานคนละกี่ชั่วโมง
วิธีทำ
ให้ \(C\) แทนค่าแรงที่ต้องจ่ายให้คนงาน 2 คน
\(x\) แทนจำนวนชั่วโมงในการทำงานของคนงานคนแรก
\(y\) แทนจำนวนชั่วโมงในการทำงานของคนงานคนที่สอง
จะเขียนฟังก์ชันจุดประสงค์และอสมการข้อจำกัด คือ \(C=25x+22y\)
และจำนวนตู้ คือ
\(x+y\geq 5\)
จำนวนโต๊ะคือ
\(3x+2y\geq 12\)
จำนวนชั้นวางหนังสือ คือ
\(3x+6y\geq 18\)
\(x\geq 0\)
\(y\geq 0\)
โดยที่ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนเต็ม
เขียนกราฟของอสมการข้อจำกัด โดยใช้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงได้ ดังรูป
จุดมุมที่ได้จากอสมการข้อจำกัดคือ จุด \((0,6),(2,3),(4,1)\) และ \((6,0)\)
เมื่อแทนค่าพิกัดของจุดมุมข้างต้นในฟังก์ชันจุดประสงค์ จะได้ค่า \(C\) ดังนี้
| \((x,y)\) | \(25x\) | \(22y\) | \(C=25x+22y\) |
| \((0,6)\) | 0 | 132 | 132 |
| \((2,3)\) | 50 | 66 | 116 |
| \((4,1)\) | 100 | 22 | 122 |
| \((6,0)\) | 150 | 0 | 150 |
จุดมุม \((2,3)\) ให้ค่า \(C\) ต่ำที่สุด ดังนั้น ถ้าต้องการให้เสียค่าแรงน้อยที่สุดเขาควรจะจ้างคนงานที่หนึ่งทำงาน 2
ชั่วโมงและจ้างคนงานคนที่สองทำงาน 3 ชั่วโมง
8. บริษัทแห่งหนึ่งผลิตสินค้า A และสินค้า B โดยใช้กรรมวิธีในการผลิต 3 ขั้นตอน เวลาในการผลิตขั้นตอนที่ 1,2 และ 3 ไม่เกิน 120,180 และ 72 นาที ตามลำดับ สินค้า A ใช้เวลาในการผลิตต่อหน่วยในขั้นตอนที่ 1,2 และ 3 เท่ากับ 24,12 และ 12 นาที ตามลำดับ สินค้า B ใช้เวลาในการผลิตต่อหน่วยในขั้นตอนที่ 1,2 และ 3 เท่ากับ 12,36 และ 12 นาที ตามลำดับ จากการจำหน่ายสินค้าปรากฎว่าสินค้า A ได้กำไร 2000 บาทต่อหน่วย สินค้า B ได้กำไร 1500 บาทต่อหน่วย จงหาว่าบริษัทควรวางแผนการผลิตสินค้าอย่างไรจึงจะทำให้ได้กำไรสูงสุด
วิธีทำ ให้ \(x\) เป็นจำนวนสินค้า A ที่ผลิตได้
และให้ \(y\) เป็นจำนวนสิ้นค้า B ที่ผลติได้
ให้ \(P\) เป็นกำไรจากการจำหน่ายสินค้าจะได้ว่า \(P=2000x+1500y\) อันนี้ก็คือฟังก์ชันจุดประสงค์นั่นเองครับ
ต่อไปเรามาหาอสมการข้อจำกัดกันครับ จากโจทย์เราได้ว่า
\(24x+12y\leq 120\rightarrow 2x+y\leq 10\)
\(12x+36y\leq 180\rightarrow x+3y\leq 15\)
\(12x+12y\leq 72\rightarrow x+y\leq 6\)
\(x\geq 0\)
\(y \geq 0\)
นำอสมการข้อจำกัดเหล่านี้ไปวาดกราฟเพื่อหาจุดที่เหมาะสมครับ ได้รูป แก้สมการหาจุดตัดเองนะครับ อันนี้ต้องแก้ระบบสมการเป็นจึงจะหาจุดตัดได้นะ
จุดมุมจากอสมการข้อจำกัดคือ \((0,0),(5,0),(0,5),(4,2),(\frac{3}{2},\frac{9}{2})\) เราในจุด \((x,y)\) เหล่านี้ไปแทนในฟังก์ชันจุดประสงค์ \(P=2000x+1500y\) เพื่อให้ได้ค่า \(P\) กำไรสูงสุด ซึ่งเราจะเห็นว่าจุดที่จะทำให้ได้ค่า \(P\) สูงสุดคือ \((4,2)\) ซึ่งก็คือ
\(P=2000x+1500y=2000(4)+1500(2)=8000+3000=11000\) ดังนั้นควรผลิตสินค้า A จำนวน 4 ชิ้นและ ผลิตสินค้า B จำนวน 2 ชิ้น ถึงจะได้กำไรสูงสุดครับ