ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

วันนี้เรามาหาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกกันครับ ซึ่งภาษาอังกฤษใช้คำว่า harmonic mean ซึ่งจะหาอย่างไรนั้นไปอ่านต่อกันเลยครับ

ถ้า \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{N}\) เป็นข้อมูล \(N\) จำนวนซึ่งเป็นจำนวนบวกทุกจำนวนค่าเฉลี่ยฮาร์มอนึก ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ H.M. จะหาได้จาก

\begin{array}{lcl}H.M.&=&\frac{1}{\frac{1}{N}\{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\cdots +\frac{1}{x_{N}}\}}\\&=&\frac{N}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{x_{i}}}\end{array}

ในกรณีที่ \(x_{i}\) มีความถี่ \(f_{i}\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}=N\)

จะได้

\begin{array}{lcl}H.M.&=&\frac{1}{\frac{1}{N}\{f_{1}\frac{1}{x_{1}}+f_{2}\frac{1}{x_{2}}+f_{3}\frac{1}{x_{3}}+\cdots +f_{k}\frac{1}{x_{N}}\}}\\&=&\frac{N}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\frac{f_{i}}{x_{i}}}\end{array}

เมื่อ\(k\) แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

\(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

หมายเหตุ  1. สูตรการคำนวณค่าเฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสามารถทำได้ทั้งสำหรับประชากร N หน่วย และตัวอย่าง n หน่วย

2. ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกมีประโยชน์ในการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่เป็นอัตราส่วน เช่น ระยะทางต่อชั่วโมง จำนวนหน่วยต่อ 1 บาท ราคาสินค้าต่อ 1 โหล ฯลฯ

ตัวอย่าง  ในโรงงานแห่งหนึ่ง นาย ก  ทำงานหนึ่งหน่วยแล้วเสร็จในเวลา 4 นาที นาย ข นาย ค  นาย ง  และนาย จ ทำงานหน่วยเดียวกันนี้เสร็จในเวลา 5,6, 10 และ 12 นาที ตามลำดับ จงหาค่าเฉลี่ยของอัตราการทำงานข่องคนทั้งห้านี้ และอยากทราบว่าใน 6 ชั่วโมง ทั้งห้าคนนี้จะทำงานได้รวมทั้งสิ้นกี่หน่วย

วิธีทำ  ข้อมูลชุดนี้กำหนดให้ในรูปเวลาที่ใช้ต่องานหนึ่งหน่วย คือ 4,5,6,10 และ 12 นาที นั่นคือ

นาย ก ทำงาน 1 นาที ได้งาน \(\frac{1}{4}\) หน่วย

นาย ข ทำงาน 1 นาที ได้งาน \(\frac{1}{5}\) หน่วย

นาย ค ทำงาน 1 นาที ได้งาน \(\frac{1}{6}\) หน่วย

นาย ง ทำงาน 1 นาที ได้งาน \(\frac{1}{10}\) หน่วย

นาย จ ทำงาน 1 นาที ได้งาน \(\frac{1}{12}\) หน่วย

ถ้าต้องการพิจารณาผลงานเฉลี่ยต่อหนึ่งหน่วยเวลา ค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมคือ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

\begin{array}{lcl}H.M.&=&\frac{N}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{x_{i}}}\\&=&\frac{5}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}}\\&=&\frac{25}{4}\end{array}

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของอัตราการทำงานของทั้งห้าคนนี้คือ \(\frac{25}{4}\) นาที ต่องานหนึ่งหน่วย และใน 360 นาที คนทั้งห้าคนนี้จะทำงานได้ \(5\times \frac{360}{\frac{25}{4}}=288 \) หน่วย

นอกจากนี้ ยังมีวิธีการหาค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดอย่างคร่าวๆและเสียเวลาในการหาน้อย นั่นคือ  ค่ากึ่งกลางพิสัย (mid-range) ซึ่งมีสูตรที่ใช้ในการคำนวณดังนี้

\(mid-range=\frac{x_{max}+x_{min}}{2}\)

ในการพิจารณาเลือกใช้ค่ากลางชนิดต่างๆ คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยม ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก หรือค่ากึ่งกลางพิสัย ขึ้นอยู่กับตัวประกอบที่สำคัญหลายประการ เช่น  การกระจายหรือความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่า จำนวนข้อมูลที่มีอยู่ ชนิดของค่ากลางที่ต้องการหรือวัตถุประสงค์ที่จะนำค่ากลางนั้นไปใช้ประโยชน์ตลอดจนลักษณะของการแจกแจงของข้อมูลว่ามีลักษณะใดด้วย