1. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}+3ax^{2}-9a^{2}x+5a\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(0\) แล้ว \(a\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ก็คือเราต้องหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชันหรือก็คือหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันนั่นเอง เริ่มหากันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+3ax^{2}-9a^{2}x+5a\\so\\f'(x)&=&3x^{2}+6ax-9a^{2}\end{array}

ดังนั้นจุดวิกฤตคือ

\begin{array}{lcl}f'(x)=3x^{2}+6ax-9a^{2}&=&0\\x^{2}+2ax-3a^{2}&=&0\\(x+3a)(x-a)&=&0\\so\\x=-3a\quad , x=a\end{array}

ดังนั้นจุดวิกฤคือจุดที่ \(x=-3a\) กับจุดที่ \(x=a\) ต่อไปเราก็ไปหาว่าจุดวิกฤตจุดไหนให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ก็คือหาโดยใช้อนุพันอันดับสองกล่าวคือ ถ้า

\(f''(x)>0\) แสดว่าจุดวิกฤตนั้นให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

\(f''(x)<0\) แสดงว่าจัดวิกฤตนั้นให้ค่าสูงสุดสัมพันธ์

เราจะเห็นว่า \(f''(x)=6x+6a\) เอาจุดวิกฤตไปแทนก็จะได้ว่า

\(f''(-3a)=6(-3a)+6a=-12a<0\) จุดวิกฤตนี้ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ อย่าลืมนะ\(a\) เป็นเลขบวก

\(f''(a)=6(a)+6a=12a>0\) จุดวิกฤตนี้ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

โจทย์บอกว่า \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ \(0\) นั้นหมายความว่า

\(x^{3}+3ax^{2}-9a^{2}x+5a=0\) เมื่อ \(x=a\) ดังนั้นเราก็แก้สมการหาค่า \(a\) กันเลยจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{3}+3ax^{2}-9a^{2}x+5a&=&0\\a^{3}+3a(a)^{2}-9a^{2}a+5a&=&0\\-5a(a^{2}-1)&=&0\\-5a(a-1)(a+1)&=&0\\so\\a=0,\quad a=1\quad ,a=-1\end{array}

แต่โจทย์บอกว่า \(a\) เป็นสมาชิกของจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(a=1\) นั่นเองคับ ตอบเลย


2. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)(1+6x)-1}{x}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้หาลิมิตของฟังก์ชันครับไม่มีอะไรยาก เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)(1+6x)-1}{x}&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{6x^{2}+7x+1-1}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{6x^{2}+7x}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x(6x+7)}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to 0}6x+7\\&=&6(0)+7\\&=&7\end{array}


3.กำหนดให้ \(g(x)\) เป็นพหุนามที่ทำให้ฟังก์ชัน \(f\) นิยามโดย

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}g(x)\quad ;x\leq 1\\x^{3}+2x\quad x>1\end{matrix}\right.\) และฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=1\)

ถ้า \((f\circ g)'(1)=58\) แล้ว \(g'(1)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
  5. 2

วิธีทำ ข้อนี้เรามาเริ่มต้นจากสิ่งนี้กันคับก็คือ

\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{'}x=f^{'}(g(x)) \cdot g^{'}(x)\end{array}

ดังนั้น จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{'}(1)=f^{'}(g(1))\cdot g^{'}(1)&=&58\\so\\g^{'}(1)&=&\frac{58}{f'(g(1))}\quad\cdots (1)\end{array}

เนื่องฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=1\) จากความรู้ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเราจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(1)&=&\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\\f(1)&=&\displaystyle\lim_{x\to 1}x^{3}+2x\\f(1)&=&1^{3}+2(1)\\f(1)&=&3\end{array}

เนื่องจากถ้าเราไปดูที่โจทย์เราจะเห็นว่า \(f(1)=g(1)\) ดังนั้น เราจึงได้ว่า \(g(1)=3\) ด้วย เอาค่า \(g(1)\) แทนในสมการที่ \((1)\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}g^{'}(1)&=&\frac{58}{f'(3)}\quad\cdots (2)\end{array}

เก็บสมการที่ \((2)\) เอาไว้ก่อนคับ

เนื่องจาก 

\(f(x)=x^{3}+2x\) เมื่อ \(x>1\) จึงได้ว่า

\(f'(x)=3x^{2}+2\) ดังนั้น

\(f'(3)=3(3)^{2}+2=29\) เอาค่าของ \(f'(3)\) ไปแทนในสมการที่ \((2)\) เลยจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}g^{'}(1)&=&\frac{58}{f'(3)}\\&=&\frac{58}{29}\\&=&2\quad\underline{Ans}\end{array}


4.กำหนดให้เส้นโค้ง \(y=f(x)\) ผ่านจุด \((1,0)\) และมีความชันของเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆเท่ากับ \(4x+1\) ถ้า \(F(x)\) เป็นปฏิยายุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน \(f(x)\) แล้ว \(F(x)\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(-2\)
  2. \(-\frac{3}{2}\)
  3. \(-1\)
  4. \(1\)
  5. \(\frac{3}{2}\)

วิธีทำ โจทย์บอกว่าความชันของเส้นโค้งที่จุด \((x,y)\) ใดๆ เท่ากับ \(4x+1\) นั่นหมายความว่า

\(f^{'}(x)=4x+1\) นั่นเอง ต่อไปเราหา \(f(x)\) กันเลย จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int f^{'}(x)dx\\&=&\displaystyle\int (4x+1)dx\\&=&2x^{2}+x+c\end{array}

เนื่องจาก \(f(x)\) ผ่านจุด \((1,0)\) นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}f(x)&=&2x^{2}+x+c\\f(1)&=&2(1)^{2}+1+c\\0&=&2+1+c\\c&=&-3\\so\\f(x)&=&2x^{2}+x-3\end{array}

โจทย์บอกว่า \(F(x)\) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ \(f(x)\) นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}F(x)&=&\displaystyle\int f(x)dx\\&=&\displaystyle\int (2x^{2}+x-3)dx\\&=&\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-3x+c_{2}\end{array}

โจทย์ถามว่า \(F(x)\) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ \(x\) เท่าใด เราก็หาจุดวิกฤตของ \(F(x)\) ครับ ซึ่งจุดวิกฤตของ \(F(x)\) ก็คือหา \(F^{'}(x)=0\) นั่นเอง ไปหากันเลย

\begin{array}{lcl}F(x)&=&\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-3x+c_{2}\\F^{'}(x)&=&2x^{2}+x-3\\then\\F^{'}(x)&=&0\\2x^{2}+x-3&=&0\\(2x+3)(x-1)&=&0\\so\\x=-\frac{3}{2}\quad ,x=1\end{array}

ต่อไปเราไปตรวจสอบว่าจุดวิกฤตจุดไหนที่ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ก็ต้องตรวจสอบโดยอนุพันธ์อันดับสองของ \(F(x)\) เราได้ว่า

\(F^{''}(x)=4x+1\)

\(F^{''}(-\frac{3}{2})=4(-\frac{3}{2})+1=-5<0\) ดังนั้นที่จุดวิกฤต \(x=-\frac{3}{2}\) ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ครับ

อีกอัน

\(F^{''}(1)=4(1)+1=5>0\) อันนี้จุดวิกฤต \(x=1\) ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์


5. กำหนดให้ฟังก์ชัน \(f(x)\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(2x+5\) และความชันของเส้นโค้ง \(y=g(x)\) ที่จุด \((x,y)\) ใดๆ คือ \(3x^{2}\) ถ้ากราฟของฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ตัดกันที่จุด \((1,2)\) แล้ว \(\left(\frac{f}{g}\right)^{'}(1)\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(-5\)
  2. \(-2\)
  3. \(1\)
  4. \(2\)
  5. \(5\)

วิธีทำ ฟังก์ชัน \(f(x)\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(2x+5\) นั่นหมายความว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\displaystyle\int(2x+5)dx\\&=&x^{2}+5x+c_{1}\end{array}

และโจทย์บอกว่าฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ตัดกันที่จุด \((1,2)\) หรือก็คือ \(f\) และ \(g\) ผ่านจุด \((1,2)\) นั่นเองคับ จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{2}+5x+c_{1}\\f(1)&=&1^{2}+5(1)+c_{1}\\2&=&6+c_{1}\\c_{1}&=&-4\end{array}

ดังนั้น

\[f(x)=x^{2}+5x-4\]

\[f'(x)=2x+5\]

\[f(1)=1^{2}+5(1)-4=2\]

\[f'(1)=2(1)+5=7\]

และโจทย์บอกว่า ฟังก์ชัน \(g\) มีความชันที่จุด \((x,y)\) ใดๆ เท่ากับ \(3x^{2}\) นั่นก็คือ

\(g'(x)=3x^{2}\)

จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}g(x)&=&\displaystyle\int g'(x)dx\\&=&\displaystyle\int 3x^{2}dx\\&=&x^{3}+c_{2}\end{array}

เนื่องจากฟังก์ชัน \(g\) ผ่านจุด \((1,2)\) จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}g(x)&=&x^{3}+c_{2}\\g(1)&=&1^{3}+c_{2}\\2&=&1^{3}+c_{2}\\c_{2}&=&1\end{array}

ดังนั้น

\(g(x)=x^{3}+1\)

\(g'(x)=3x^{2}\)

\(g(1)=1^{3}+1=2\)

\(g'(1)=3(1)^{2}=3\)

เราได้ของครบแล้วคับ ตอนนี้เราก็ไปหาคำตอบกันเลยคับ

\begin{array}{lcl}\left(\frac{f}{g}\right)'(x)&=&\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'\\&=&\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}\\so\\\left(\frac{f}{g}\right)'(1)&=&\frac{g(1)f'(1)-f(1)g'(1)}{(g(1))^{2}}\\&=&\frac{(2)(7)-(2)(3)}{2^{2}}\\&=&\frac{14-6}{4}\\&=&2\end{array}


6. กำหนดให้ \(L_{1}\) เป็นเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น \(4x-3y+10=0\) และ \(L_{2}\) เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง \(y=x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{7}{3}\)  ถ้า \(L_{2}\) ขนานกับ \(L_{1}\) แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรง \(L_{1}\) และ \(L_{2}\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ไปดูตรงนี้ก่อนเลย \(L_{2}\) ขนานกับ \(L_{1}\) เส้นตรงขนานกันนั้นหมายความว่าความชันเท่ากัน เรามาดูสมการเส้นตรง \(L_{1}\) คือ \(4x-3y+10=0\) ซึ่งอยู่ในรูปของ \(Ax+Bx+c=0\) ถ้าสมการเส้นตรงอยู่ในรูปสมการแบบนี้ เราสามารถหาความชันได้จากสูตร \(-\frac{A}{B}\) ดังนั้น จะเห็นว่า \(A=4,B=-3\) นั่นคือ เส้นตรง \(L_{1}\) มีความชันเท่ากับ \(-\frac{4}{-3}=\frac{4}{3}\) นั่นเองคับ

แสดงว่า เส้นตรง \(L_{2}\) ก็มีความชันเท่ากับ \(\frac{4}{3}\) ด้วยนั่นเอง

ต่อไปสมการเส้นโค้ง \(y=x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{7}{3}\) ดังนั้นความชันของเส้นโค้ง \(y\) ณ จุด \((x,y)\) ใดๆคือ

\begin{array}{lcl}y'&=&2x-\frac{8}{3}\end{array} 

เรารู้ว่าความชันของเส้นโค้งจะมีค่า เท่ากับ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดสัมผัส แสดงว่า ณ จุดที่เส้นโค้งสัมผัสกับเส้นตรง \(L_{2}\) มีความชันเท่ากับ \(\frac{4}{3}\) นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}2x-\frac{8}{3}&=&\frac{4}{3}\\2x&=&4\\x&=&2\end{array}

แสดงว่าเส้นตรง \(L_{2}\) สัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด \(x=2\) แล้วจุด \(y\) เท่ากับเท่าไร เราก็หา \(y\) เลยคับ โดยการแทนค่า \(x\) ดัวย \(2\) ลงไปในสมการ \(y=x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{7}{3}\) จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{7}{3}\\y&=&2^{2}-(\frac{8}{3})(2)+\frac{7}{3}\\y&=&1\end{array}

ดังนั้นเส้นตรง \(L_{2}\) สัมผัสเส้นโค้งที่จุด \((2,1)\) นั่นเอง หรือก็คือเส้นตรง \(L_{2}\) นี้ผ่านจุด \((2,1)\) นั่นเอง เราก็หาสมการเส้นตรง \(L_{2}\) ได้แล้วตอนนี้

สรุปก่อน

เส้นตรง \(L_{2}\) มีความชันเท่ากับ \(\frac{4}{3}\)

เส้นตรง \(L_{2}\) ผ่านจุด \((2,1)\)  จะได้สมการเส้นตรง \(L_{2}\) คือ

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-1&=&\frac{4}{3}(x-2)\\y-1&=&\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}\\-\frac{4}{3}x+y+\frac{5}{3}&=&0\\4x-3y-5&=&0\end{array}

สรุปอีก

เส้นตรง \(L_{1}\) มีสมการคือ \(4x-3y+10=0\)

เส้นตรง \(L_{2}\) มีสมการคือ \(4x-3y-5=0\)

ระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้น หาได้จากสูตร \(\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\) ซึ่งจากสมการเส้นตรงทั้งสองเส้นเราได้ว่า \(c_{1}=10\quad ,c_{2}=-5\quad ,A=4\quad ,B=-3\) เอาไปแทนค่าเพื่อหาระยะทางกันเลย จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{|c_{1}-c_{2}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}&=&\frac{|10+5|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}\\&=&\frac{15}{5}\\&=&3\end{array}


7. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x+1\) บนช่วง \([-1,2]\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าง่ายคับ หลักการก็คือหาหาจุดวิกฤต แล้วนำจุดวิกฤตไปแทนค่าในฟังก์ชัน เพื่อหาค่าสูงสุด  นอกจากจุดวิกฤตที่เราต้องเอาไปแทนในฟังก์ชันแล้ว อย่าลืมเอาจุดปลายของช่วงปิดที่โจทย์กำหนดให้ไปแทนด้วยนะ เริ่มหาจุดวิกฤตกันเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+3x^{2}-9x+1\\f'(x)&=&3x^{2}+6x-9\\then\\3x^{2}+6x-9&=&0\\x^{2}+2x-3&=&0\\(x+3)(x-1)&=&0\\so\\x=-3\quad ,x=1\end{array}

เราได้จุดวิกฤตแล้วคือ \(x=-3,\quad x=1\) แต่ \(x=-3\) ไม่เอาเพราะอยู่นอกเหนือช่วงที่เราพิจารณา  ต่อไปเอาจุดวิกฤตไปแทนค่าในฟังก์ชันเพื่อค่าสูงสุดออกมา

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+3x^{2}-9x+1\\f(1)&=&1^{3}+3(1)^{2}-9(1)+1=-4\\f(-1)&=&(-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1)+1=12\\f(2)&=&2^{3}+3(2)^{2}-9(2)+1=3\end{array}

ดังนั้นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันนี้คือ \(12\)


8.กำหนดให้ \(A=\{1,2,3,4,6\} ,\quad B=\{p(x)|p(x)=ax^{2}+bx+c\}\) เมื่อ \(a,b,c\in A\)  สุ่มหยิบ \(p(x)\) มาหนึ่งตัวจากเซต \(B\) ความน่าจะเป็นที่จะได้ \(p(x)\) ซึ่ง \(\displaystyle\int_{0}^{1}p(x)dx\) มีค่าเท่ากับจำนวนเต็ม เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(\frac{1}{12}\)
  2. \(\frac{2}{12}\)
  3. \(\frac{3}{12}\)
  4. \(\frac{4}{12}\)
  5. \(\frac{5}{12}\)

วิธีทำ ข้อนี้เราต้องอินทิเกรต \(p(x)\) ก่อนนะว่าอินทิเกรตเสร็จแล้วหน้าตาจะเป็นอย่างไร เริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\displaystyle\int_{0}^{1}p(x)dx&=&\displaystyle\int_{0}^{1}(ax^{2}+bx+c)dx\\&=&\frac{ax^{3}}{3}+\frac{bx^{2}}{2}+cx\Big |_{0}^{1}\\&=&\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\end{array}

ต่อไปก็สังเกตว่าหลังจากที่เราอินทิเกรตเจ้า \(p(x)\) เสร็จแล้ว เราได้จำนวนจริงมาตัวหนึ่งคือ \(\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\) ซึ่งจำนวนจริงนี้มันจะเป็นจำนวนเต็มเมื่อ \(a\) เป็นเลขที่หารด้วย \(3\) ลงตัว และ \(b\) เป็นเลขที่หารด้วย \(2\) ลงตัว ส่วน \(c\) เป็นเลขอะไรก็ได้  ฉะนั้นเราจึงได้ว่า

ค่า \(a\) ที่เป็นไปได้คือ \(3,6\) (2 วิธี)

ค่า \(b\) ที่เป็นไปได้คือ \(2,4,6\) (3 วิธี)

ค่า \(c\) ที่เป็นไปได้คือ \(1,2,3,4,5,6\) (6 วิธี)

ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้าง \(\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\) ให้เป็นจำนวนเต็มเท่ากับ \(2\times 3\times 6\) วิธี

จำนวนวิธีในการสร้าง \(\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\) ให้เป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้เท่ากับ \(6\times 6\times 6\) วิธี

นั่นก็คือ ความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบ แล้วได้ค่าที่เป็นจำนวนเต็มคือ 

\(\frac{2\times 3\times 6}{6\times 6\times 6}=\frac{2}{12}\)

Pin It