การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณที่ประกอบด้วยตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป และตัวแปรเหล่านั้นมีความเกี่ยวข้องกัน เช่น รายได้และรายจ่ายของครอบครัว ความเกี่ยวข้องกันของตัวแปรโดยที่ค่าของตัวแปรหนึ่งขึ้นอยู่กับค่าของอีกตัวแปรหนึ่ง คือรายจ่ายขึ้นอยู่กับรายได้ การณีนี้จะเรียกตัวแปรที่แสดงรายได้ว่า ตัวแปรอิสระ (independent variables) เรียกตัวแปรที่แสดงรายจ่ายว่า ตัวแปรตาม (dependent variables)
จุดประสงค์ของการสร้างความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลสองชุด เพื่อใช้สมการความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน x และ y ในการพยากรณ์ค่าของตัวแปรตาม เมื่อทราบค่าของตัวแปรอิสระ
ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมูลที่ประกอบด้วยสองตัวแปร อาจแบ่งเป็นสองชนิดใหญ่ คือ
1) ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟเป็นเส้นตรง มีสมการทั่วไปในรูป \(Y=a+bX\)
และสมการปกติคือ
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}=an+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\quad\cdots (1)\]
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\quad\cdots (2)\]
***สมการปกตินี้เอาไว้เพื่อใช้ในการหาค่าคงที่ \(a,b\) เมื่อเราได้ค่า \(a,b\) จากสมการปกตินี้แล้ว เราก็เอาไปแทนค่าในสมการทั่วไปคือ \(Y=a+bX\) ก็จะสามารถคำนวณหาค่าตัวแปรตามเมื่อกำหนดตัวแปรอิสระมาให้ ดูตัวอย่างในคลิปนะ
2) ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่กราฟไม่เป็นเส้นตรง ได้แก่
-ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นรูปพาราโบลา มีการทั่วไปคือ \(Y=a+bX+cX^{2}\)
สมกการปกติคือ
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}=an+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+c\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\quad\cdots (1)\]
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+c\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}\quad\cdots (2)\]
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}y_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+c\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}\quad\cdots (3)\]
*** สมการปกตินี้เอาไว้หาค่า \(a,b,c\) ในกรณีที่ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลเป็นกราฟพาราโบลา เมื่อได้ค่าของ \(a,b,c\) แล้วก็นำไปแทนค่าใน \(Y=a+bX+cX^{2}\) เพื่อหาค่าตัวแปรตาม เมื่อกำหนดตัวแปรอิสระให้
-ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นรูปเอกซ์โพเนนเชียล มีสมการในรูป \(Y=ab^{x}\)หรือ \(\log Y=\log a+X\log b\)
มีสมการปกติคือ
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log y_{i}=n\log a+(\log b)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\quad\cdots (1)\]
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\log y_{i}=(\log a)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+(\log b)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\quad\cdots (2)\]
*** สมการปกตินี้เอาไว้หาค่า \(a,b\) ในกรณีที่ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลเป็นกราฟเอ็กซ์โพเนนเชียล เมื่อได้ค่าของ \(a,b\) แล้วก็นำไปแทนค่าในสมการ \(Y=ab^{X}\) หรือ \(\log Y=\log a+X\log b\) เพื่อหาค่าตัวแปรตามเมื่อกำหนดตัวแปรอิสระมาให้
ดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล
ตัวอย่าง จะมีตัวอย่างเพิ่มขึ้นเรื่อยๆนะครับผม มาดูข้อนี้กันเลย
จากการสอบถามครอบครัว \(n\) ครอบครัว ที่มีรายได้ต่อเดือนตั้งแต่ 5,000 บาท ถึง 20,000 บาท เกี่ยวกับรายจ่ายต่อเดือน ปรากฎผลดังนี้
| รายได้ (หน่วยเป็นพันบาท) :x | \(x_{1}\) | \(x_{2}\) | \(\cdots\) | \(x_{n}\) |
| รายจ่าย (หน่วยเป็นพันบาท):y | \(x_{1}\) | \(x_{2}\) | \(\cdots\) | \(x_{n}\) |
และ \(\bar{x}=12,\bar{y}=5\) โดยที่สมการเส้นตรงซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรายจ่าย \((y_{i})\) และรายได้ \((x_{i})\) ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,-3)\) ถ้าครอบครัวหนึ่งมีรายได้ 15,000 บาท แล้วจะมีรายจ่ายโดยประมาณเท่าไร
วิธีทำ จากที่เรารู้ว่า เส้นตรงนี้ตัดแกน \(Y\) ที่จุด \((0,-3)\) ดังนั้น เส้นตรงนี้มีสมการเป็น \(Y=mx-3\) นั่นก็คือ ถ้าเราเอามาเทียบกับสมการนี้ \(Y=a+bX\) เราจึงได้ว่า \(a=-3\) นั่นเองครับ ต่อไปเราก็หาค่า \(b\) ครับผม ซึ่งการหาค่า \(b\) เราสามารถหาได้จากสมการปกติ คือ
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}=an+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\quad\cdot (1)\]
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}+b\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\quad \cdots (2)\]
ต่อไป เราจะหา \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\) และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}\)
จาก \(\bar{x}=15\)
\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\\12&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}&=&12n\end{array}
จากตรงนี้เรารู้เลยว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_{i}=5n\)
เอาสิ่งที่เราได้นี้ไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) ครับ จะได้
\begin{array}{lcl}5n&=&-3n+b12n\\5n+3n&=&b12n\\8n&=&b12n\\\frac{8n}{12n}&=&b\\b&=&\frac{2}{3}\end{array}
ตอนนี้ เราได้ \(a=-3\) และ \(b=\frac{2}{3}\) เอาค่าที่ได้ไปแทนค่าในสมการ \(Y=a+bX\) ครับจะได้ \(Y=-3+\frac{2}{3}X\)
ที่นี้โจทย์ถามว่า ถ้าครอบครัวมีรายได้ 15,000 บาท แล้วจะมีรายจ่ายโดยประมาณเท่าใด เราต้องแทน \(X=15\) ลงไปในสมการ \(Y=-3+\frac{2}{3}X\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}Y&=&-3+\frac{2}{3}(15)\\Y&=&7\end{array}
นั่นก็คือ รายได้ 15,000 บาท มีรายจ่าย 7,000 บาท ครับผม ค่อยๆอ่านดูนะ ไม่เข้าใจก็ถามได้ครับผม
อ่านแล้วอาจจะเข้าใจยากหน่อย ศึกษาหาความรู้เพิ่มเติมตามหนังสือ สสวท.ได้ครับ และไปดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดตามคลิปผมด้านล่างได้ครับผม