ลำดับฮาร์มอนิก

นิยาม  ลำดับ ฮาร์มอนิก (harmonic sequence) คือ ลำดับ \(a_{n}\) ซึ่งมีสมบัติว่า ลำดับของส่วนกลับ \(b_{n}=\frac{1}{a_{n}}\) เป็นลำดับเลขคณิต

อ่าน นิยามของลำดับฮาร์มอนิก แล้วบางคนอาจจะ งงๆ ถ้าพูดให้ง่ายเป็นภาษาชาวบ้านก็คือ การตรวจสอบว่าลำดับนั้นๆ ว่าเป็นลำดับฮาร์มอนิกหรือไม่ ให้เอาส่วนกลับมันไปตรวจสอบดูว่าเป็นลำดับ เลขคณิตไหม ถ้าส่วนกลับที่เรานำตรวจสอบนี้เป็นลำดับ เลขคณิต แสดงว่าลำดับลำดับนั้นๆ เป็นลำดับฮาร์มอนิก  เดียวไปดูตัวอย่างเพิ่มเติม ครับ

ตัวอย่าง 1 จงแสดงว่าลำดับ \(a_{n}=\frac{2}{3n}\) เป็นลำดับฮาร์มอนิก

วิธีทำ ข้อนี้คือต้องแสดงให้เห็นว่าส่วนกลับของลำดับ \(a_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิต คับ

เรากำหนดให้ส่วนกลับของลำดับ \(a_{n}=b_{n}\) ดังนั้น เราจึงได้ว่า \(b_{n}=\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{\frac{2}{3n}}=\frac{3n}{2}\)

ที่เราก็มาดูว่าเจ้าลำดับ \(b_{n}=\frac{3n}{2}\) นี้เป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่ วิธีการตรวจสอบก็มีหลายวิธีนะคับ ในข้อนี้ผมจะตรวจสอบให้ดูแบบวิธีบ้านๆ โดยการแทนค่าให้ดูง่ายๆ สิ่งที่ทุกคนต้องรู้คือ ความรู้เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต ไปดูมานะว่าลำดับเลขคณิตเป็นอย่างไร เอาละมาตรวจสอบกันเลยว่า เจ้าลำดับ \(b_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่

จาก \(b_{n}=\frac{3n}{2}\) ดังนั้น

\(b_{1}=\frac{3(1)}{2}=\frac{3}{2}\)

\(b_{2}=\frac{3(2)}{2}=3\)

\(b_{3}=\frac{3(3)}{2}=\frac{9}{2}\)

ซึ่งเราจะเห็นว่า \(b_{2}-b_{1}=b_{3}-b_{2}=\frac{3}{2}\) คือผลต่างร่วมเท่ากัน ดังนั้น ลำดับ \(b_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิต ตามนิยามจึงทำให้ได้ว่าลำดับ \(a_{n}=\frac{2}{3n}\) เป็น ลำดับฮาร์มอนิก

ตัวอย่าง 2 ให้ \(a_{n}\) เป็นลำดับฮาร์มอนิกซึ่ง \(a_{3}=3\) และ \(a_{6}=6\) จงหา \(a_{4}+a_{5}\)

วิธีทำ เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ \(a_{n}\) เป็นลำดับฮาร์มอนิก ดังนั้นถ้าเรากำหนดให้ \(b_{n}=\frac{1}{a_{n}}\) ตามนิยามเราจึงได้ว่า \(b_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิต นั่นเองคับ

เนื่องจาก \(b_{n}=\frac{1}{a_{n}}\) เราจึงได้ว่า

\(b_{3}=\frac{1}{a_{3}}=\frac{1}{3}\)

\(b_{6}=\frac{1}{a_{6}}=\frac{1}{6}\)

โจทย์ให้เราหา \(a_{4}+a_{5}\) ดังนั้นเราต้องหา \(b_{4}\) กับ \(b_{5}\) ให้ได้ ซึ่งในการหาพวกนี้เราจำเป็นต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ซึ่งพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ

\[b_{n}=b_{1}+(n-1)d\]

ดังนั้น

\(b_{3}=b_{1}+2d\rightarrow \frac{1}{3}=b_{1}+2d\quad (1)\)

\(b_{6}=b_{1}+5d\rightarrow\frac{1}{6}=b_{1}+5d\quad (2)\)

นำสมการ (1)-(2) จะได้ \(\frac{1}{6}=-3d\) ดังนั้น \(d=-\frac{1}{2}\) นำค่า \(d\) ไปแทนในสมการ (1) จะได้ \(b_{1}=\frac{4}{3}\) ตอนนี้เรารู้ค่าของ \(b_{1}\) กับ ค่าของ \(d\) แล้ว ดังนั้นเราไดว่า

\[b_{n}=\frac{4}{3}+(n-1)(-\frac{1}{2})\]

นั่นคือ

\begin{array}{lcl}b_{4}=\frac{4}{3}+(3)(-\frac{1}{2})&=&\frac{4}{3}-\frac{3}{2}\\&=&-\frac{1}{6}\end{array}

และ

\begin{array}{lcl}b_{5}=\frac{4}{3}+(4)(-\frac{1}{2})&=&\frac{4}{3}-2\\&=&-\frac{2}{3}\end{array}

จาก

\[b_{4}=\frac{1}{a_{4}}\]

ดังนั้น

\(a_{4}=\frac{1}{b_{4}}=\frac{1}{-\frac{1}{6}}=-6\)

จาก

\[b_{5}=\frac{1}{a_{5}}\]

ดังนั้น

\(a_{5}=\frac{1}{b_{5}}=\frac{1}{-\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}\)

เพราะฉะนั้นคำตอบของเราคือ

\(\color{red}{a_{4}+a_{5}=-6-\frac{3}{2}=-\frac{15}{2}}\)

ตัวอย่าง 3  จงพิจารณาว่าลำดับ \(\log_{2}3,\log_{4}3,\log_{8}3,\cdots ,\log_{2^{n}}3,\cdots\) เป็นลำดับฮาร์มอนิกหรือไม่

วิธีทำ  จากลำดับที่โจทย์กำหนดมาให้สามารถเขียนให้อยู่รูปของพจน์ทั่วไปคือ \(a_{n}=\log_{2^{n}}3\)

กำหนดให้  \(b_{n}=\frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{\log_{2^{n}}3}=\log_{3}2^{n}\) ต่อไปเราก็จะแสดงให้เห็นว่า \(b_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิต

จาก \(b_{n}=\log_{3}2^{n}\)

\(b_{1}=\log_{3}2^{1}\)

\(b_{2}=\log_{3}2^{2}=2\log_{3}2\)

\(b_{3}=\log_{3}2^{3}=3\log_{3}2\)

ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(b_{3}-b_{2}=b_{2}-b_{1}=\log_{3}2\)  ดังนั้น

\(b_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิตที่มี \(d=\log_{3}2\)

ดังนั้น \(\log_{2}3,\log_{4}3,\log_{8}3,\cdots ,\log_{2^{n}}3,\cdots\)  เป็นลำดับฮาร์มอนิก

ตัวอย่าง 4  ให้ \(a_{n}\) เป็นลำดับฮาร์มอนิกซึ่ง \(a_{1}=1\) และ \(a_{2}+a_{3}=1\) จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ \(a_{2}\)

วิธีทำ ข้อนี้แน่นอนครับเขาบอกว่า \(a_{n}\) เป็นลำดับฮาร์มอร์นิกดังนั่นส่วนกลับของ \(a_{n}\) ซึ่งก็คือ \(\frac{1}{a_{n}}\) จะเป็นลำดับเลขคณิต ในที่นี้ผมจะให้

\[b_{n}=\frac{1}{a_{n}}\]

ดังนั้น \(b_{n}\) เป็นลำดับเลขคณิต นะทุกคน

จากการที่

\(b_{n}=\frac{1}{a_{n}}\)

\(b_{1}=\frac{1}{a_{1}}=\frac{1}{1}=1\)  อย่าลืมนะโจทย์ให้มาว่า \(a_{1}=1\)

\(b_{2}=\frac{1}{a_{2}}\)

\(b_{3}=\frac{1}{a_{3}}=\frac{1}{1-a_{2}}\) อย่าลืมนะโจทย์ให้ว่าว่า \(a_{2}+a_{3}=1\) ดังนั้น \(a_{3}=1-a_{2}\)

ก็คือตอนนี้เราต้องการหา \(a_{2}\) ตรงไหนที่เป็นตัวแปรอื่นที่ไม่ใช้ \(a_{2}\) ก็เปลี่ยนให้เป็น \(a_{2}\) ให้หมดเลยคับ

ต่อไปเราก็ใช้สมบัติของลำดับเลขคณิตนิดหนึ่งมาช่วย ซึ่งถ้าผมมีลำดับเลขคณิต  \( 2,4,6,8,\cdots\)

จะเห็นว่า \(4-2=6-4\) อันนี้ทุกคนต้องรู้นะ ว่าลำดับเลขคณิตต้องเป็นอย่างนี้เสมอ

ดังนั้น \(b_{1},b_{2},b_{3},\cdots ,b_{n},\cdots \) เป็นลำดับเลขคณิตเราจึงได้ว่า

\(b_{2}-b_{1}=b_{3}-b_{2}\) ใช่ไหม่เอ่ยเราจะแก้สมการนี้แหละครับเพื่อหา \(a_{2}\)

ตอนนี้สิ่งที่เรารู้คือ \(b_{1}=1\quad , \quad b_{2}=\frac{1}{a_{2}}\quad,\quad b_{3}=\frac{1}{1-a_{2}}\)

เริ่มหา \(a_{2}\) กันเลย

\begin{array}{lcl}b_{2}-b_{1}&=&b_{3}-b_{2}\\\frac{1}{a_{2}}-1&=&\frac{1}{a_{3}}-\frac{1}{a_{2}}\\\frac{1}{a_{2}}-1&=&\frac{1}{1-a_{2}}-\frac{1}{a_{2}}\\\frac{1-a_{2}}{a_{2}}&=&\frac{a_{2}-(1-a_{2})}{(1-a_{2})(a_{2}}\\\frac{1-a_{2}}{a_{2}}&=&\frac{a_{2}-1+a_{2}}{a_{2}(1-a_{2})}\\(1-a_{2})^{2}&=&2a_{2}-1\\1-2a_{2}+(a_{2})^{2}&=&2a_{2}-1\\(a_{2})^{2}-4a_{2}+2&=&0\end{array}

ต่อไปเราจะเห็นว่า \((a_{2})^{2}-4a_{2}+2=0\) นั้นเป็นสมการกำลังสองที่อยู่ในรูปแบบ \(x^{2}+bx+c=0\) เราสามารถแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

ซึ่งถ้าเราดูจากสมการนี้  \((a_{2})^{2}-4a_{2}+2=0\) จะเห็นว่า \(a=1,b=-4,c=2\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลย

\begin{array}{lcl}a_{2}&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=&\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4(1)(2)}}{2(1)}\\&=&\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}\\&=&\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}\\&=&2\pm \sqrt{2}\end{array}

ดังนั้นค่า \(a_{2}\) ที่เป็นไปได้คือ \(2+\sqrt{2}\)  และ \(2-\sqrt{2}\)