ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\) เขียนแทนด้วย \(\sigma_{x}\) นิยามโดย

\[\sigma_{x}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})}\]

และเรียก \(\sigma^{2}\) ว่า ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง \(X\)

เมื่อ \(n\) แทนจำนวนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) และ \(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots ,x_{n}\) แทนค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\)

หมายเหตุ

ในกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม \(X\) เป็นเซตอนันต์ จะนิยามให้

\[\sigma_{x}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}(x_{i}-\mu_{x})^{2}P(X=x_{i})}\]

แต่ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะกรณีที่เซตของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเป็นเซตจำกัดเท่านั้น

ไปดูตัวอย่างกันครับ

ตัวอย่าง  ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนครั้งที่เหรีญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง 1 เหรียญ 3 ครั้ง จงหาค่าคาดหมาย ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) 

วิธีทำ ข้อนี้โยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง จะได้แซมเปิลสเปซแบบนี้ครับ

\(\{(HHH),(THH),(HTH),(HHT),(TTT),(HTT),(THT),(TTH)\}\)

ให้ตัวแปรสุ่ม \(X\) คือจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ทั่งหมดของตัวแปรสุ่มนี้คือ \(\{0,1,2,3\}\) จึงได้ว่า

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 0 ครั้ง (TTT) คือ \(P(X=0)=\frac{1}{8}=0.125\)

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 1 ครั้ง (HTT),(THT),(TTH) คือ \(P(X=1)=\frac{3}{8}=0.375\)

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 2 ครั้ง (HHT),(THH),(HTH) คือ \(P(X=1)=\frac{3}{8}=0.375\)

ความน่าจะเป็นที่เหรียญขึ้นหัว 3 ครั้ง (HHH) คือ \(P(X=1)=\frac{1}{8}=0.125\)

สามารถนำไปเขียนเป็นตารางแจกความน่าจะเป็น เพื่อให้ดูง่ายๆดังนี้

ต่อไปหาค่าคาดหมาย จะได้

\begin{array}{lcl}\mu_{x}&=&0(0.125)+1(0.375)+2(0.375)+3(0.125)\\&=&1.5\end{array}

ดังนั้น ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 1.5 ครั้ง

ต่อไปความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(X\) ต่อเลย

\begin{array}{lcl}\sigma^{2}&=&(0-1.5)^{2}(0.125)+(1-1.5)^{2}(0.375)\\&+&(2-1.5)^{2}(0.375)\\&+&(3-1.5)^{2}(0.125)\\&=&0.75\end{array}

ดังนั้นความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม \(X\) คือ 0.75 ครั้ง²  

ต่อหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือ เอาความแปรปรวนมาถอดรูทนั่นเองครับ

เนื่องจาก \(\sigma^{2}_{x}=0.75\) ดังนั้น

\(\sigma_{x}=\sqrt{0.75}\approx 0.87\)

ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม \(X\) มีค่าประมาณ 0.87 ครั้ง