แบบฝึกหัดดอกเบี้ยทบต้น แบบฝึกหัดค่ารายงวด

แบบฝึกหัดดอกเบี้ยทบต้น เรื่องนี้จะว่าง่ายก็ง่าย จะว่ายากก็ยากคับ ถ้าเราทำแบบฝึกหัดบ่อยๆ ยังไงก็ไม่ยากขึ้นอยู่กับชั่วโมงบินในการลองทำแบบฝึกหัด ต้องทำเยอะ โจทย์เรื่องดอกเบี้ยนี้ไม่ได้มีแนวในการออกที่มันซับซ้อนเลย จะออกแนวๆเดียวกันหมดเลย ถ้าเราทำบ่อยๆ ทำให้ครบทุกแนวยังไงก็ทำข้อสอบได้บอกเลย  ใครที่ต้องการศึกษาแบบละเอียด ผมแนะนำให้ไปอ่านหนังสือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม 1 ของสสวท. ฉบับปรับปรุง หน้าที่ 85 เขาเขียนไว้ดีมากแล้ว ส่วนในหัวข้อตรงนี้ ผมจะสรุปให้และทำแบบฝึกหัดให้ดูนะคับ

ดอกเบี้ยทบต้น

 ถ้าเราเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น \(P\) บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย \(i\%\)ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี (ปีละครั้ง) แล้วเมื่อสิ้นปีที่ \(n\) จะได้ เงินรวมเท่ากับ

\[P(1+r)^{n}\] 

เมื่อ \(r=\frac{i}{100}\)

ถ้าเราเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น \(P\) บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย \(i\%\) ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละ\(k\) ครั้ง แล้วเมื่อฝากเงินครบ \(n\) ปี จะได้ เงินรวมเท่ากับ

\[P\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}\]

เมื่อ \(r=\frac{i}{100}\)

 

---

มูลค่าปัจจุบันและมูลค่าอนาคต

ถ้าให้  \[ \quad S=P\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}\]

เราเรียก \(S\) ตัวนี้ว่า มูลค่าอนาคตของเงินต้น \(P\)

และในทางกลับกัน จะเรียก \(P\) ว่ามูลค่าปัจจุบันของเงินรวม \(S\)

ซึ่งเราสามารถหา \(P\) ได้จากการจัดรูปสมการ  \(S=P\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}\) นี้

\begin{array}{lcl}S&=&P\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}\\P&=&\frac{S}{\left(1+\frac{r}{k}\right)^{kn}}\\P&=&S\left(1+\frac{r}{k}\right)^{-kn}\end{array}

สรุป ง่ายๆ เป็นภาษาชาวบ้านก็คือ

- ถ้าเราฝากเงินไว้กับธนาคาร 2000 บาทผ่านไป 10 ปี ได้เงินรวมจากการฝากสิบปีนี้เป็นเงิน 5000 บาท 

มูลค่าอนาคต(S) จากการเงินต้น 2000 บาทก็คือ 5000 บาท (S=5000)

มูลค่าปัจจุบัน(P) จากเงินรวม 5000 บาทคือ 2000 บาท(P=2000)

ค่างวด

ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด

เงิมรวมเมื่อสิ้นงวดที่ \(n\) หาได้จาก 

\[\frac{R(1+r)\left((1+r)^{n}-1\right)}{r}\]

เมื่อ \(R\) คือ เงินที่รับหรือจ่ายของแต่ละงวด

และ \(r=\frac{i}{100}\)

ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด

เงิมรวมเมื่อสิ้นงวดที่ \(n\) หาได้จาก 

\[\frac{R\left((1+r)^{n}-1\right)}{r}\]

เมื่อ \(R\) คือ เงินที่รับหรือจ่ายของแต่ละงวด

และ \(r=\frac{i}{100}\)

ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดกันเลยคับอ่านโจทย์ดีๆ นะ โจทย์ยาวมากๆเลย

1.สมมติว่าเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงหา

1) จำนวนเงิน เมื่อฝากเงินครบ 10 ปี

วิธีทำ ข้อนี้ให้หาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี ผมให้เงินรวมแทนด้วย ตัว \(S\) นะทุกคน

จากสูตร \(S=P\left(1+r)^{n}\right)\)

จากโจทย์ได้ว่า \(P=100,000\quad ,r=\frac{4}{100}=0.04\) แทนค่าลงไปในสูตรเลยคับ

\begin{array}{lcl}S&=&\left(P(1+r)^{n}\right)\\&=&100,000(1+0.004)^{10}\\&\approx & 148,024.43\end{array}

ดังนั้นเงินรวมเมื่อฝากครับ 10 ปีประมาณ 148,024.43 บาท

2) จำนวนปีที่จะทำให้มีเงินเพิ่มขึ้นเป็นอย่างน้อยสามเท่าของเงินต้น

วิธีทำ จำนวนเงินสามเท่าของเงินต้น คือ \(3\times 100,000\) หรือก็คือสามแสนบาท โจทย์ข้อนี้ก็คือถามว่าต้องฝากกี่ปี(n) จึงจะได้เงินอย่างน้อยสามแสนบาทคับ

\begin{array}{lcl}S&=&P(1+r)^{n}\\300,000&=&100,000(1+0.04)^{n}\\3&=&(1+0.04)^{n}\\\log 3&=&\log (1+0.04)^{n}\\\log 3&=&\log (1.04)^{n}\\\log 3&=&n\log (1.04)\\\log 3&=&n\log 1.04\\n&=&\frac{\log 3}{\log 1.04}\\n&\approx&28.01\end{array}

ข้อนี้ต้องเอาเรื่องลอการิทึม มาช่วยนะคับเนื่องจาก \(n\) เป็นเลขชี้กำลังดังนั้นการที่จะเอามันลงมาได้ต้องใช้ log ช่วย

ดังนั้นต้องฝากเงินให้ครบ 29 ปี จะทำให้มีเงินเพิ่มขึ้นอย่างน้อยสามเท่าของเงินต้น

2. ฝากเงินกับธนาคารจำนวน 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อไปี จงหาจำนวนเงินในบัญชีเมื่อครบปีที่ \(n\) เมื่อ

1) ธนาคารคิดดอกเบี้ยให้ครั้งสุดท้ายครั้งเดียว

วิธีทำ ข้อนี้ก็คือไม่ว่าจะฝากกี่ปี ก็คิดดอกเบี้ยครั้งสุดท้ายครั้งเดียว ดังนั้นดอกเบี้ยก็คือ

\(100,000\times \frac{3}{100}\) แต่ฝาก \(n\) ปี ดังนั้น

ดอกเบี้ยที่ได้จากการฝากเงินเป็นเวลา \(n\) ปี เท่ากับ \(100,00\times \frac{3}{100}\times n=3000n\) บาท

จึงได้ว่าจำนวนเงินในบัญชีเมื่อครบปีที่ \(n\) เมื่อธนาคารคิดดอกเบี้ยให้ครั้งสุดท้ายครั้งเดียวเท่ากับ

\(100,000+3000n\) บาท

2) ธนาคารนำดอกเบี้ยเข้าบัญชีฝากทุกปี

วิธีทำ ข้อนี้ก็คือธนาคารคิดดอกเบี้ยให้ทุกปี แต่โจทย์ชอบพิมพ์อะไรให้คนอ่านไม่รู้เรื่อง ดังนั้นจำนวนเงินรวมเมื่อฝากครบ \(n\) ปี ก็คือ

\begin{array}{lcl}S&=&P(1+r)^{n}\\S&=&100,000(1+0.03)^{n}\end{array}

ก็คือฝากครบ \(n\) ปี มีเงินรวมทั้งหมด \(100,000(1+0.03)^{n}\) บาท นั่นเอง

3. สมมติว่าเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น 100,000 บาท ได้รับอัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกไตรมาส (ทุก 3 เดือน) จงหาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 10 ปี

วิธีทำ จากโจทย์จะได้ \(P=100,000\) คิดดอกเบี้ยทุก 3 เดือน แสดงว่า

1 ปี คิดดอกเบี้ย  4 ครั้ง ดังนั้น \(k=4\)

ฝากเงิน 10 ปี ดังนั้น \(n=10\) 

\(i=4\) จึงได้ว่า \(r=\frac{i}{100}=\frac{4}{100}=0.04\)

นำไปแทนค่าในสูตรเลยคับ   ผมให้ \(S\) คือเงินรวมเมื่อฝากครบ 10 ปีนะคับ

\begin{array}{lcl}S&=&P(1+\frac{r}{k})^{kn}\\S&=&100,000(1+\frac{0.04}{4})^{4(10)}\\S&\approx&148,886.37\end{array}

ดังนั้นเมื่อฝากครบ 10 ปีได้เงินรวมประมาณ 148,886.37 บาท

4. สมมติว่าเริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น 100,000 บาท เมื่อฝากเงินครบ 10 ปี มีเงินทั้งสิ้น 141,060 บาท ถ้าธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงหาอัตราดอกเบี้ยต่อปี

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาค่า \(i\) นั่นเองครับ ก็แค่แทนค่าลงในสูตรก็ได้คำตอบแล้วคับ

\begin{array}{lcl}S&=&P(1+r)^{n}\\141,060&=&100,000(1+r)^{10}\\(1+r)^{10}&=&\frac{141,060}{100,000}\\(1+r)^{10}&=&1.4106\\1+r&=&\sqrt[10]{1.4106}\\r&=&\sqrt[10]{1.4106}-1\\r&\approx &0.035\end{array}

เนื่องจาก \(r=\frac{i}{100}\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}r&=&\frac{i}{100}\\0.035&=&\frac{i}{100}\\i&=&0.035\times 100\\i&=&3.5\end{array}

ดังนั้น ธนาคารนี้ให้อัตราดอกเบี้ยประมาณ 3.5% ต่อปี

5. เมื่อต้นปีปัญญาฝากเงิน 100,000 บาท กันธนาคารแห่งหนึ่ง และฝากเงินเพิ่มอีก 100,000  บาท ทุกต้นปี โดยธนาคารกำหนดอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี และคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงหาเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 15 ปี

วิธีทำ ข้อนี้ใช้ความรู้ ค่างวด เมื่อจ่ายเงินค่างวดทุกต้นงวด ในที่นี้คือฝากทุกต้นปีคับ จะเห็นว่าปัญญาฝากทุกต้นปีครั้งละ 100,000 บาท นั่นคือ \(R=100,000\) บาท

\(r=\frac{i}{100}=\frac{3}{100}=0.03\) และ \(n=15\) นั่นเอง นำไปแทนค่าในสูตร

ผมให้ \(S\) คือเงินรวมเมื่อฝากเงินครบ 15 ปีนะคับจะได้

\begin{array}{lcl}S&=&\frac{R(1+r)((1+r)^{n}-1)}{r}\\&=&\frac{100,000(1+0.03)((1+0.03)^{15}-1)}{0.03}\\&=&\frac{100,000(1.03)[(1.03)^{15}-1]}{0.03}\\&\approx &1,915,688.13\end{array}

ดังนั้น เมื่อฝากเงินครบ 15 ปี จะมีเงินรวมประมาณ 1,915,688.13 บาท

6. ราตรีต้องการฝากเงินกับธนาคารแห่งหนึ่ง ซึ่งกำหนดอัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี  ถ้าราตรีต้องการให้มีเงินในบัญชี 1,000,000 บาท  ในอีก 20 ปีข้างหน้า ราตรีต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อยเท่าใด โดยที่

1) ราตรีไม่ฝากเงินเพิ่มอีก

วิธีทำ ข้อนี้ถามหาเงินต้น หรือก็คือ \(P\) เมื่อกำหนด \(S\) มาให้เท่ากับ 1,000,000 บาท

\(n=20\) และ \(r=\frac{i}{100}=\frac{4}{100}=0.04\)

ข้อนี้เราสามารถใช้สูตรที่เกี่ยวกับเรื่องมูลค่าอนาคตและมูลค่าปัจจุบัน ซึ่งโจทย์ถามหา \(P\) ก็คือหามูค่าปัจจุบันนั่นเอง ซึ่งหาได้จากสูตร

\begin{array}{lcl}P&=&S(1+\frac{r}{k})^{-kn}\\P&=&1,000,000(1+\frac{0.04}{1})^{-1(20)}\\&\approx &456,386.95\end{array}

ดังนั้น ราตรีต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อย 456,386.95 บาท

2) ราตรีฝากเงินเพิ่มอีกปีละ 2000 บาท

วิธีทำ ข้อนี้เดี่ยวต้องแยกกันคิดเป็น 2 ส่วน

ส่วนที่ 1

ปีแรก ราตรีฝากเงินต้นไว้กับธนาคาร \(P\) บาท ดังนั้นเมื่อผ่านไปอีก 20 ปีข้างหน้า ราตรีจะมีเงินรวมจากการฝากนี้เท่ากับ

\[P(1+0.04)^{20}\] บาท เก้บตรงนี้ไว้ก่อน

ส่วนที่ 2

ตอนต้นปีราตรีฝากเงินไว้ \(P\) บาท และฝากเพิ่มอีกปีละ 2000 บาท ตรงฝากเพิ่มปีละ 2000 บาท ตรงนี้แหละเราต้องคิดแบบค่างวด ก็คือฝากหรือว่าจ่ายงวด งวดละ 2000 บาท จ่าย 20 งวดเป็นเงินเท่าไร เราก็ต้องใช้สูตร ค่างวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{R(1+r)((1+r)^{n}-1)}{r}&=&\frac{2000(1.04)[(1.04)^{19}-1]}{0.04}\end{array}

ต่อไปราตรีต้องการให้มีเงินในบัญชี 1,000,000 ในอีก 20 ปีข้างหน้า แสดงว่า ส่วนที่ 1 รวมกับ ส่วนที่ 2 ต้องมีค่าเป็น 1,000,000 บาท นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}1,000,000&=&P(1+0.04)^{20}+\frac{2000(1.04)[(1.04)^{19}-1]}{0.04}\\P&\approx &430,119.07\end{array}

ดังนั้น ราตรีต้องฝากเงินต้นไว้อย่างน้อย 430,119.07 บาท

7.อนันต์กู้เงินจากวิเชียรจำนวน 2 ยอด โดยยอดแรกต้องชำระ 12,682.42 บาท ในอีก 3 ปี ข้างหน้า ส่วนยอดที่ 2 ต้องชำระ 26,115.36 บาท ในอีก 7 ปีข้างหน้า ถ้าวิเชียร์กำหนดอัตราดอกเบี้ย 8% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน จงหาจำนวนเงินทั้งหมดที่อนันต์กู้จากวิเชียร

วิธีทำ ข้อนี้คือให้หาเงินต้นที่อนันต์กู้จากวิเชียร หรือถ้ามองเป็นมูลค่าของเงิน ก็คือมูลปัจจุบันที่กู้ตอนเริ่มแรกนั่นแหละคับ

ยอดแรกต้องจ่ายอีก 3 ปี คือ 12,682.42 บาท จากเงินต้นกี่บาท เริ่มคำนวณเลย

ก่อนเริ่มคำนวณ จากโจทย์ได้ว่า \(r=\frac{i}{100}=\frac{8}{100}=0.08\) 

คิดดอกเบี้ยทุก 3 เดือน ดังนั้น 1 ปีคิดดอกเบี้ย 4 ครั้ง จึงได้ \(k=4\)

ดังนั้น \(kn=4(3)=12\)

\begin{array}{lcl}P&=&S(1+\frac{r}{k})^{-kn}\\P&=&12,682.42(1+\frac{0.08}{4})^{-4(3)}\\&\approx &10,000\end{array}

ก็คืออนันต์กู้เงินครั้งแรกจากวิเชียรประมาณ 10,000 บาทนั่นเอง

ยอดที่สอง หาเองนะคับไกด์ให้แล้วว่าทำยังไง

8. สุดาฝากเงิน 2,000 บาท เข้าบัญชีธนาคารทุกต้นเดือน ได้รับอัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เมื่อสิ้นปีที่ 5 สุดาจะได้เงินรวมเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้ ค่างวด ในการคำนวณ โดยค่างวดที่จ่ายหรือว่ารับทุกต้นงวดนะคับ

จากโจทย์บอกว่าคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน นั่นหมายความว่า 1 ปีคิดดอกเบี้ย 12 ครั้ง ดังนั้น 5 ปีคิดดอกเบี้ยทั้งหมด \(12\times 5=60\) ครั้ง นั่นคือ \(n=60\) นั่นเอง

จากโจทย์ก็จะได้ \(R=2000\) ข้อนี้ต้องระวังการหาค่า \(r\) นะคับเขาคิดดอกเบี้ยทบต้นทุกเดือน ดังนั้นอย่างลืมหารด้วย 12 ด้วยจึงได้ว่า

\(r=\frac{0.03}{12}=0.0025\)

ให้ \(S\) คือเงินรวมที่จะได้เมื่อสิ้นปีที่ 5 จะได้

\begin{array}{lcl}S&=&\frac{R(1+r)((1+r)^{n}-1)}{r}\\&=&\frac{2000(1+0.0025)((1+0.0025)^{60}-1)}{0.0025}\\&\approx &129,616.66\end{array}

นั่นคือ เมื่อสิ้นปีที่ 5 สุดาจะได้เงินรวมประมาณ 129,616.66 บาท

9. ใบเตยซื้อรถยนต์ราคา 700,000 บาท โดยตกลงจ่ายเงินดาวน์ 200,000 บาท และผ่อนชำระส่วนที่เหลือเป็นจำนวนเงินเท่ากันทุกเดือน เป็นเวลา 5 ปี โดยชำระทุกสิ้นเดือน ถ้าอัตราดอกเบี้ย 3 % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือนแล้ว ใบเตยจะต้องผ่อนชำระเดือนละเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้อ่านโจทย์ดีๆนะ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องค่างวดโดยจ่ายค่างวดทุกสิ้นเดือน

ใบเตยเข้าดาวน์รถ 200,000 บาท แสดงว่าตอนนี้ใบเตยต้องจ่ายเงินที่เหลืออีก 500,000 บาท

จากโจทย์ ใบเตยผ่อนชำระทุกสิ้นเดือน เป็นเวลา 5 ปี ดังนัั้นใบผ่อนชำระทั้งหมด \(12\times 5=60\) งวด

อัตราดอกเบี้ย 3% ต่อปี ดังนั้นจะได้อัตราดอกเบี้ยต่องวดคือ \(r=\frac{0.03}{12}=0.0025\) 

ข้อนี้ให้หาว่าใบเตยต้องผ่อนชำระเดือนละเท่าใด ก็คือให้หาค่า \(R\) นั่นเอง จึงได้สมการคือ

\begin{array}{lcl}50000&=&\frac{R(1+r)^{-1}(1-(1+r)^{-n})}{1-(1+r)^{-1}}\\500000&=&\frac{R(1+0.0025)^{-1}(1-(1+0.0025)^{-60})}{1-(1+0.0025)^{-1}}\\R&=&\frac{500000(1-(1.0025)^{-1})}{(1.0025)^{-1}(1-(1.0025)^{-60})}\\&\approx  & 8984.35\end{array}

นั่นคือใบเตยจะต้องผ่อนชำระเดือนละประมาณ 8984.35 บาท