สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

1. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใดๆ จะต้องเป็นจำนวนจริงบวกหรือศูนย์เสมอ

2. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลจะเท่ากับศูนย์ ก็ต่อเมื่อ ค่าทุกค่าในข้อมูลนั้นเท่ากันหมด 

3. ถ้านำจำนวนจริง \(b\) ไปบวกกับค่าแต่ละค่าในข้อมูลเดิมแล้ว  ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใหม่ จะเท่ากับส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย หรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเดิมตามลำดับ

4. ถ้านำจำนวนจริง \(a\) ไปคูณค่าแต่ละค่าในข้อมูลเดิมเดิมแล้ว  ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลใหม่ จะเท่ากับ \(|a|\)เท่าของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเดิมตามลำดับ

5. ถ้า \(x\) แทนค่าในข้อมูลชุดหนึ่ง และ \(y\) แทนค่าในข้อมูลอีกชุดหนึ่ง โดยที่

\[y=ax+b\]

เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นค่าคงตัวแล้ว

\[M.D._{y}=|a|M.D._{x}\]

และ

\[S.D._{y}=|a|S.D._{x}\]

6. ถ้าคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้ค่ากลางของข้อมูลอย่างอื่นที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต  ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่หาได้จะมีค่ามากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่หาได้จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตเสมอ

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกัน

1. ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งคือ \(a,b,c,d\) มี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรเท่ากับ \(p\) แล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(2-3a,2-3b,2-3c,2-3d\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ใช้สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเลยคับ 

จะเห็นได้ว่า

\(-3a,-3b,-3c,-3d\)  คือการเอา \(-3\) คูณเข้ากับข้อมูลเดิม ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้จึงเท่ากับ \(|-3|p=3p\)

และจะเห็นว่า

\(2-3a,2-3b,2-3c,2-3d\) คือการเอา \(2\) ไปบวกเข้ากับข้อมูล \(-3a,-3b,-3c,-3d\)  ดังนัั้นตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะยังเท่ากับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิมคือ \(3p\)

ข้อนี้ตอบ \(3p\)

2. ในการศึกษาน้ำหนักมังคุด 10 ผล ปรากฎว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของน้ำหนักมังคุดมีค่าเป็นศูนย์ ถ้าผลรวมกำลังสองของน้ำหนักมังคุดแต่ละผลเป็น 9000 กรัม มังคุดแต่ละผลหนักกี่กรัม

วิธีทำ จากโจทย์เนื่องจากส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ เราจึงได้ว่าน้ำหนักมังคุดทั้ง 10 ผลนี้ มันหนักเท่ากัน

ผมสมมติให้ แต่ละผลหนักเท่ากับ \(x\) กรัม ดังนั้น กำลังสองของน้ำหนังมังคุดแต่ละลูกคือ \(x^{2}\)

และจะได้อีกว่าผลรวมกำลังสองของน้ำหนักมังคุดทั้งหมดคือ \(10x^{2}\) ซึ่งจากโจทย์เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}10x^{2}&=&9000\\x^{2}&=&\frac{9000}{10}\\x^{2}&=&900\\x&=&\pm 30\end{array}

เนื่องจาก \(x\) คือน้ำหนักมังคุดแต่ละลูก ดังนั้น \(x=30\) กรัม นั่นคือมังคุดแต่ละลูกหนัก 30 กรัม

3. เมื่อวันปีใหม่ที่ผ่านมา คุณพ่อตั้งใจจะเห็นเงินแก่ลูก 7 คน เรียงตามลำดับอายุดังนี้ \(31,30,29,28,27,26,25\) บาท ตามลำดับ คุณพ่อนึกขึ้นมาได้ว่าปัจจุบันค่าใช้จ่ายสูงขึ้น ควรจะให้เงินแก่ลูกเพิ่มขึ้นตามสัดส่วนของแต่ละคน ซึ่งเมื่อคิดส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินที่ได้รับครั้งหลังแล้วได้เท่ากับ 3 บาท จงหาว่าลูกคนที่สองจะได้รับเงินกี่บาท

วิธีทำ ขั้นตอนการทำข้อนี้คือ เอาข้อมูลนี้คือ \(31,30,29,28,27,26,25\) ซึ่งผมจะเรียกว่าข้อมูลเดิม มาหา S.D. ซึ่งจะได้ S.D. ของข้อมูลเดิมนี้เท่ากับ 2  ไปหากันเองนะคับไม่แสดงวิธีทำให้ดู

ขั้นตอนต่อไปคือพิจารณาจากโจทย์  พ่อเพิ่มเงินให้แก่ลูกตามสัดส่วนของแต่ละคน สมมติให้พ่อเพิ่มเงินให้แต่ละคนคิดเป็นสัดส่วนคือ \(a\) นั่นคือ แต่ละคนได้เงินเพิ่มเป็น \(31a,30a,29a,28a,27a,26a,25a\) ซึ่งหลังจากที่พ่อเพิ่มให้เงินแก่ลูกๆแล้ว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเงินครั้งหลังนี้มีค่าเท่ากับ \(3\) ตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เราได้ว่า

\begin{array}{lcl}3&=&|a|2\\|a|&=&\frac{3}{2}\\|a|&=&1.5\\a&=&1.5\end{array}

นั่นก็คือลูกคนที่สองได้รับเงิน \(30a=30(1.5)=45\) บาท

*** ค่าของ \(a\) ต้องใช้เป็น 1.5 นะคับเพื่อให้เข้ากับเงื่อนไขของโจทย์คือได้เงินเพิ่มขึ้น แต่ถ้าใช้ \(a\) เป็น \(-1.5\) เงินจะติดลบซึ่งไม่ตรงตามเงื่อนไขของโจทย์

4. ข้อมูล 2 ชุด มีจำนวนข้อมูลเท่ากัน  ในการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ปรากฏผลดังนี้ \(\overline{x_{1}}:\overline{x_{2}}=3:5\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าเท่ากัน ถ้าข้อมูลชุดที่หนึ่งเป็น  \(1,4,6,9,10\)  จงหาข้อมูลชุดที่สอง

วิธีทำ จากข้อมูลชุดที่หนึ่งที่โจทย์ให้มา ทำให้เราได้ว่าข้อมูลชุดที่หนึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต \(\overline{x_{1}}=6\)  ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\(\overline{x_{2}}=10\) ก็คือข้อมูลชุดที่สองมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ \(10\) นั่นเองครับ อันนี้ไม่คำนวณให้ดูนะ ลองไปหาเองไม่ยาก

ต่อไปคิดตามดีๆ นะ เนื่องจากข้อมูลชุดที่สองมันมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ \(10\) ดังนั้นผลรวมของข้อมูลชุดที่สองซึ่งมีข้อมูลอยู่ 5 ตัวจะเท่ากับ \(50\) นะคับคิดตามดีๆ

การหาข้อมูลชุดที่สอง ให้เริ่มต้นจากข้อมูลชุดที่หนึ่ง  และใช้สมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มาช่วยในการหานิดหน่อย ก็คือว่า

ข้อมูลชุดที่หนึ่งคือ \(1,4,6,9,10\)  ซึ่งผลรวมของข้อมูลชุดที่หนึ่งคือ 30 

แต่ข้อมูลชุดที่สอง ที่เราต้องการหาอยู่นี้เราต้องการผลรวมของมันคือให้ได้เท่ากับ 50 ดังนั้นเราต้องเอา \(4\) ไปบวกเข้ากับทุกตัวของข้อมูลชุดที่ 1 ก็จะได้ข้อมูลชุดที่สองเป็น \(1+4,4+4,6+4,9+4,10+4\) หรือก็คือ \(5,8,10,13,14\)  ตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเห็นได้ว่า ข้อมูลชุดที่หนึ่ง กับ ข้อมูลชุดที่สอง ก็ยังมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากัน ไม่เชื่อลองคำนวณดู  ดังนั้นข้อมูลชุดที่สอง ก็คือ \(5,8,10,13,14\)

5. ในการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง นักคำนวณได้ใช้ค่ามัธยฐานซึ่งมีค่า 45 มาคำนวณแทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งมีค่า 48 ปรากฎหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 5 ถ้านักคำนวณผู้นี้ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมาคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้ว จะคำนวณได้เท่าใด

วิธีทำ จากโจทย์เราได้ว่า

\begin{array}{lcl}5&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-median)^{2}}{N}}\\25&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)^{2}}{N}\quad\cdots (1)\end{array}

และจากโจทย์อีกอันคือ

\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}}{N}}\\S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}}\\S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}\quad\cdots (2)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) และข้อมูลที่โจทย์ให้มาคือ \(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}=48\)

เริ่มหาคำตอบกันเลยครับผม

\begin{array}{lcl}S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-48)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45-3)^{2}}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left[(x_{i}-45)^{2}-6(x_{i}-45)+9\right]}{N}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)^{2}}{N}-\frac{6\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-45)}{N}+\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}9}{N}\\&=&25-6\left[\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}}{N}-\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}45}{N}\right]+\frac{9N}{N}\\&=&25-6[48-\frac{45N}{N}]+9\\&=&25-6[3]+9\\&=&25-9\\&=&16\end{array}

เนื่องจาก

\(S.D.^{2}=16\)

นั่นคือ

\(S.D.=4\)

ก็คือถ้าใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมาคำนวณค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 4

6.ถ้า \(\mu\) และ \(\sigma\) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยประมาณเป็นจำนวนเต็มของข้อมูล \(12,13,15,17,23\) ตามลำดับ ถ้าแปลงข้อมูลใหม่ด้วยสูตร \(y_{i}=ax_{i}+b\) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่เป็น 18 และ  \(3\sigma\) ตามลำดับ จงหาค่าของ \(\mu ,\sigma ,a,b\)

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นได้ว่าข้อมูลชุดใหม่ถูกแปลงด้วยสูตร \(y_{i}=ax_{i}+b\) ทำให้ข้อมูลทั้งสองชุดนี้มีความสัมพันธ์เชิงเส้น ดังนั้นเราสามารถใช้สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้เลย ถ้าให้ \(\mu_{new}\) เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่เราสามารถหาค่า \(\mu_{new}\) ได้จาก

\[\mu_{new}=a\mu+b\]

ซึ่งเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\mu_{new}&=&a\mu+b\\18&=&a(16)+b\quad\cdots (1)\end{array}

*** จากข้อมูลที่กำหนดให้คือ 12,13,15,17,23 ได้ค่าเฉลี่ยเลคณิต(\(\mu\)) เท่ากับ 16 นะ

และข้อมูลสองชุดนี้มีความสัมพันธ์เชิงเส้นตามสมบัติของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะได้ว่า

\[\sigma_{new}=|a|\sigma\]

เมื่อ \(\sigma_{new}\) คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่

\(\sigma\) คือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดเดิม 

ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\sigma_{new}&=&|a|\sigma\\3\sigma&=&|a|\sigma\quad\cdots (2)\end{array}

จากสมการที่ \((2)\) เราได้ว่า \(a=3\) และเรานำค่า \(a=3\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) ได้ค่า \(b=-30\)

เนื่องจากเราได้ค่าของ \(a\) และ \(b\) แล้ว เราจึงได้ว่า

\[y_{i}=ax_{i}+b\]

มีค่าเท่ากับ

\[y_{i}=3x_{i}-30\] 

ต่อไปเราได้ว่า เราก็คำนวณหาค่าของ \(\sigma\) ทำเองนะคับจะได้ว่า

\[\sigma=\sqrt{\frac{76}{5}}\]