ค้นหา

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์คืออะไร...ฟังชื่อแล้ว...อาจจะอยู่ยากๆ แต่จริงๆแล้วไม่ยากน่ะ...เรามาดู

ความหมายของโดเมน(Domain)และเรนจ์(Range) กันคับ...

ให้ r เป็นความสัมพันธ์ใดๆ

\(r=\{(x,y)\}\)

โดเมนของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย \(D_{r}\) และมีความหมายดังนี้

\(D_{r}=\{x|(x,y) \in r\}\) ความหมายของเซตนี้ถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆ...ก็คือ โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับที่อยู่ใน  r

เรนจ์ของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้่วย \(R_{r}\) และมีความหมายดังนี้

\(R_{r}=\{y|(x,y) \in r\}\)  ความหมายของเซตนี้ถ้าพูดเป็นภาษาชาวบ้านง่ายๆ...ก็คือ เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับที่อยู่ใน r

มาดูตัวอย่างการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์กัน...คับ

ตัวอย่างที่ 1 ให้ \( r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\) จงหา \(D_{r}\) และ \(R_{r}\)

วิธีทำ จากความหมายของ \(D_{r}\) คือ \(D_{r}=\{x|(x,y) \in r\}\) จึงได้ว่า

\(D_{r}=\{1,3,5,7\}\)

จากความหมายของ \(R_{r}\) คือ \(R_{r}=\{y|(x,y)\in r\}\) จึงได้ว่า

\(R_{r}=\{2,4,6,8\}\)

ตัวอย่างที่ 2 ให้ \( A=\{(a,b),(c,d),(e,f),(m,n)\}\) จงหา \(D_{A}\) และ \(R_{A}\)

วิธีทำ

\(D_{A}\) คือสมาชิกตัวของคู่อันดับในเซต A จึงได้ว่า

\(D_{A}=\{a,c,e,m\}\)

\(R_{A}\) คือ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับในเซต A จึงได้ว่า

\(R_{A}=\{b,d,f,n\}\)

ตัวอย่างที่ 3 ให้ \(M=\{(x,y)\in \mathbb{I^{+}} \times \mathbb{I^{+}} | x=y \}\) จงหา \(D_{M}\) และ \(R_{M}\)

วิธีทำ จากโจทย์น่ะคับเซต M เป็นการเขียนเซตในรูปแบบการบอกเงื่อนไขน่ะคับ เพื่อความชัดเจนน่ะคับเราต้องเปลี่ยนรูปแบบของเซตใหม่โดยเปลี่ยนจากแบบเงื่อนไข ให้อยู่ในรูปแบบแจกแจงสมาชิกคับ จึงได้ว่า

\(M=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),...\}\) ดังนั้นจึงได้ว่า

\(D_{M}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,....\}\)

\(R_{M}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,...\}\)

ตัวอย่างที่ 4 ให้ \(N=\{(x,y) \in \mathbb{I^{+}}\times \mathbb{I^{+}} | y=x^{2}\}\) จงหา\(D_{N}\) และ \(R_{N}\)

วิธีทำ จากโจทย์น่ะคับเซต N เป็นเซตที่เขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขน่ะคับ เพื่อความชัดเจนน่ะคับ เราต้องเขียนเซตนี้ใหม่น่ะคับ โดยเขียนให้อยู่ในรูปแบบแจกแจงสมาชิกคับ  ดูจากเงื่อนไขในเซตน่ะ(เอ็กซ์เท่ากับวายยกกำลังสอง)แล้วจะเข้าใจ

จึงได้ว่า

\(N=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),(6,36),(7,49),(8,64),....\}\)  ดังนั้น

\(D_{N}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...\}\)

\(R_{N}=\{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...\}\)

ตัวอย่างที่ 5 ให้ \(L=\{(x,y)\in \{0,1,2,3,\} \times \{1,2,3,4\} | y=x-1\}\) จงหา \(D_{L}\) และ \(R_{L}\)

วิธีทำ ข้อนี้เดี๋ยวจะแสดงให้ดูอย่างละเอียดเลยน่ะ ค่อยๆอ่านน่ะ..และทำความเข้าใจตามด้วย

หาตัวนี้ก่อนน่ะ

\(\{0,1,2,3\}\times \{1,2,3,4\}=\{(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,1)\)

\(,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)\}\)

ต่อไปก็ดูว่า คู่อันดับตัวไหนที่เป็นไปตามเงื่อนไข \(y=x-1\) บ้าง ก็จะมี

\((2,1),(3,2)\) ดังนั้นจึงได้ว่า

\(L=\{(2,1),(3,2)\}\)

ดังนั้น

\(D_{L}=\{2,3\}\)

\(R_{L}=\{1,2\}\)

ตัวอย่างที่ 6 ให้ \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)  และกำหนดให้ความสัมพันธ์ r ใน A คือ \(\{(x,y)\in A \times A | y=x^{2}\}\)   จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์ก่อนนะคับ เขาให้หาความสัมพันธ์ r ใน A   โดยที่สมาชิกใน r นั้นต้องมีสมบัติเป็นดังนี้คือ \(y=x^{2}\) ความหมายก็คือ เอาเอ็กซ์ยกกำลังสองแล้วได้เท่ากับวาย  จะเห็นว่าถ้าผมมีคู่อันดับ (0,0)  จะเห็นว่า x=0  และ y=0  เช่นกัน  เอ็กซ์ยกกำลังสองจะเท่ากับวาย  เพราะ \(0=0^{2}\)   หรือถ้าผมมีคู่อันดับ (-1,1)  จะเห็นว่า x=-1  และ y= 1 เอ็กซ์กำลังสองจะเท่ากับวาย เพราะ \(1=(-1)^{2}\)   จริงไหม  ดังนั้นสมาชิกของ r หาไม่ยากแล้ว คิดในใจก็ได้ ถ้าวิเคราะห์โจทย์เป็น   ดังนั้น

\(r=\{(x,y)\in A \times A | y=x^{2}\}\)

\(r=\{(0,0),(-1,1),(1,1)\}\)   นี้คือสมาชิกในความสัมพันธ์ r 

ดังนั้นหาโดเมนและเรนจ์ของ r   ได้แล้ว

\(D_{r}=\{0,-1,1\}\)

\(R_{r}=\{0,1\}\)

ตัวอย่างที่ 7  กำหนดให้  \(s=\{(x,y)|y=\sqrt{16-x^{2}}\}\)   จงหาโดเมนและเรนจ์ของ s

วิธีทำ  วิเคราะห์โจทย์คร่าวๆก่อน จากเงื่อนไขที่ให้มาคือ \(y=\sqrt{16-x^{2}}\)

จะหาโดเมนก่อน โดเมนหาจากค่าของ x นั่นเอง จะเห็นว่า x มันติดอยู่ข้างในรูท ซึ่งข้างในรูทติดลบไม่ได้ดังนั้นเราจะได้ว่า

\(16-x^{2}\geq 0\)  คือต้องมากกว่าเท่ากับ 0  ห้ามติดลบ  ลองแก้อสมการนี้ดู

\(-x^{2}\geq  -16\)

\(x^{2} \leq 16 \)   อะไรเอ่ยยกำลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่าเท่ากับ 16

ดังนั้น    \(x\in \left[-4,4\right]\) จริงไหม ไม่เชื่อเอาตัวเลขในช่วงนี้ยกกำลังสองดูจะน้อยกว่าเท่ากับ  16 เสมอ

ได้แล้ว ดังนั้น   \(D_{s}=\{x|-4\leq x \leq  4\}  = \left[-4,4\right]\)  นั่นเองตอบในรูปช่วงก็ได้นะ

ต่อไป หาเรนจ์บ้าง ก็คือหาค่า  y  นั่นเองการหาค่า y ก็ง่ายๆ เอาค่า  x  ที่เราได้มาไปแทนในเงื่อนไขนี้

\(y=\sqrt{16-x^{2}}\)   ลองแทนเล่นๆ ดู

แทน x=-4

\(y=\sqrt{16-(-4)^{2}}=0\)  ได้ y=0

แทน x=4

\(y=\sqrt{16-(4)^{2}}=0\)  ได้ y=0

แทน x=0

\(y=\sqrt{16-(0)^{2}}=4\)  ได้ y=4

แทน x=1

\(y=\sqrt{16-(1)^{2}}=\sqrt{15}\)  ได้ \(\sqrt{15}=3.8\)

แทน x= -3

\(y=\sqrt{16-(-3)^{2}}=\sqrt{7}\)  ได้ \(\sqrt{7}=2.4\)

จากตรงนี้ผมพยายามแสดงให้เห็นว่า ไม่ว่าเราจะเอา x ที่ได้มาจากการหาโดเมนมาแทนจะได้ค่าเรนจ์อยู่ในช่วงนี้คือ \(0\leq y \leq 4\)   เสมอ ไม่เชื่อลองทำดูอีกก็ได้

ดังนั้น  \(R_{s}=\{y|0\leq y \leq 4\} =\left[0,4\right]\)

ตัวอย่างที่ 8   จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ \(r=\{(x,y)|y=\frac{1}{x-2}\)

วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์คร่าวๆก่อนคับ จะเห็นว่าเงื่อนไขที่ให้มาคือ \(\frac{1}{x-2}\) เป็นเศษส่วนจำไว้เลยถ้าเป็นเศษส่วนตัวส่วนห้ามเป็น 0  ดังขาด ดังนั้น เราจึงได้ว่า

\(x-2 \neq 0\)   ส่วนต้องไม่เท่ากับ 0

\(x \neq 2\)  จากตรงนี้เราจึงได้ว่า

\(D_{r}=\{x|x\neq 2\}\)   ก็คือโดเมนเป็นจำนวนจริงเลขอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่เลข 2

ต่อไปหาเรนจ์ก็คือหา y  นั่นเองวิธีการหาของเรนจ์ที่นิยมทำกันก็คือจัดรูปเงื่อนไขสมการที่โจทย์ให้มาให้อยู่ในรูปของ

x เท่ากับ....

มาดูกันนะครับ จากเงื่อนไข 

\(y=\frac{1}{x-2}\)

\(y(x-2)=1\)

\(x-2=\frac{1}{y}\)

\(x=\frac{1}{y}+2\)

\(x=\frac{1+2y}{y}\)    สมการเงื่อนไขอยู่ในรูป x เท่ากับแล้ว...ต่อไปก็หาว่าแทน y ด้วยเลขอะไรได้บ้างจึงทำให้ค่าคำนวณหาค่า x ออกมาได้  จะเห็นว่า y เป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 0  เพราะส่วนเป็น 0 ไม่ได้

ดังเรนจ์คือ จำนวนจริงใดๆยกเว้นเลข 0

\(R_{r}=\mathbb{R}-\{0\}\)

ตัวอย่างที่ 9  จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ \(r=\{(x,y)|y=|x|\}\)

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าเงื่อนไขของเราติดค่าสัมบูรณ์ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ซึ่งค่าสัมบูณร์ถ้าเราเคยเรียนมาเนียะมันจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ ไม่ติดลบนั่นเอง

มาดูโดเมนของ r  ก่อน  โดเมนก็คือ x  จะเห็นว่า x เป็นตัวอะไรก็ได้ไม่ผิด ดังนั้นโดเมนของเซต r นี้ก็คือจำนวนจริงใดๆ นั่นคือ

\(D_{r}=\mathbb{R}\)

ส่วนเรนจ์ก็คือค่า y  จะเห็นว่าถ้าเราใส่ตัวเลขลงไปใน x  ค่าที่ได้ออกมาจะมีค่าเป็นศูนย์หรือไม่ก็เป็นเลขบวกเสมอเพราะว่ามันอยู่ข้างในค่าสัมบูรณ์ ดังนั้น ค่า y หรือว่าเรนจ์นี้จะมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์เสมอ นั่นคือ

\(R_{r}=\left[0,\infty\right)\)

ตัวอย่างที่ 10  จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ \(r=\{(x,y)|y=x^{2}+1\}\)

วิธีทำ จากโจทย์วิเคราะห์คร่าวๆจะเห็นว่า มี \(x^{2}\) อยู่ด้วยซึ่งถ้าเป็นแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า \(x^{2}\geq 0\) เสมอก็คือมีค่าเป็นศูนย์หรือไม่ก็บวก ไม่มีทางติดลบนะ

มาหาโดเมนก่อน โดเมนก็คือค่าของ x จะเห็นได้ว่า x เป็นตัวเลขอะไรก็ได้ เป็นศูนย์ เป็นจำนวนจริงลบ เป็นจำนวนจริงบวกอะไรก็ได้ ดังนั้น   \(D_{r}=\mathbb{R}\)

ต่อไปหาค่าของเรนจ์หรือว่าหาค่าของ y นั้นเอง

พิจารณาตัวนี้นะ จากที่เรารู้

\(x^{2}\geq 0 \)  เสมอ

\(x^{2}+1 \geq 0+1\)

\(x^{2}+1 \geq 1\)

\(y=x^{2}+1 \geq 1\)   จากบรรทัดนี้จะเห็นว่า y มีค่ามากกว่าเท่ากับ 1 เสมอ หรือก็คือ

\(y\in \left[1,\infty \right)\)

ดังนั้น  \(R_{r}=\left[1,\infty \right)\)

ตัวอย่างที่ 11  จงหาโดเมนและเรนจ์ความสัมพันธ์ของ \(r=\{(x,y)|y=\sqrt{x^{2}-4}\}\)

วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์ขอนี้ก่อน จะเห็นว่ามีรูทด้วยข้อนี้ดังนั้นตัวที่อยู่ในรูทต้องห้ามติดลบ

นั่นคือ

\(x^{2}-4 \geq 0\)

\(x^{2}-2^{2} \geq 0\)

\((x-2)(x+2) \geq 0 \)

\(x\in \left(\infty,-2\right) \cup  \left[2,\infty \right) \)

ดังนั้น \(D_{r}=\left(\infty,-2\right) \cup  \left[2,\infty \right) \)

ต่อไปหาเรนจ์ จากที่เรารู้ว่า

\(\sqrt{x^{2}-4} \geq 0 \)

\(y=\sqrt{x^{2}-4} \geq 0 \)

ดังนั้น ได้แล้ว ค่า y  มีค่ามากกว่าเท่ากับ 0

ดังนั้น \(R_{r}=\left[0,\infty \right) \)

ตัวอย่างที่ 11 จงหาโดเมนและเรนจ์ความสัมพันธ์ของ \(r=\{(x,y)|y=\frac{1}{|x|}\}\)

วิธีทำ วิเคราะห์โจทย์คร่าวๆจะเห็นว่ามีเศษส่วน ดังนั้นตัวส่วนห้ามเป็น 0  นั่นคือ x ห้ามเป็น 0 ดังนั้นเราจะได้ว่าโดเมนของความสัมพันธ์นี้คือจำนวนจริงใดๆ ยกเว้น 0

\(D_{r}=\mathbb{R}-\{0\}\)

ต่อไปหาเรนจ์บ้าง  จากที่เรารู้ว่า

\(|x| \geq 0 \)   ค่าสัมบูรณ์มีค่ามากกว่าเท่า 0 ใช่ไหมใครๆก็รู้ แต่เราไม่เอา 0  เพราะตัวส่วนห้ามเป็น 0 จะได้

\(|x| > 0 \)

\(\frac{1}{|x|} > 0 \)    ด้วยจริงไหม

\(y=\frac{1}{|x|}>0\)      นั่นคือเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้มีค่ามากกว่า 0 นั่นเอง

\(R_{r}\in \left(0,\infty \right)\)

คงเข้าใจน่ะคับ...ที่ยกตัวอย่างให้ดูไม่ค่อยยากเท่าไรน่ะ...อยากให้ค่อยๆอ่านและทำความเข้าใจมันน่ะ...แล้วจะไม่มีคำว่ายากอีกต่อไป...ค่อยๆอ่านแล้วคิดตามแล้วก็นำความรู้ตัวอย่างที่ง่ายๆนี่แหล่ะไปทำโจทย์ที่มันยากๆต่อไป...พยายามจินตนาการตามเวลาอ่านหนังสือ...อย่าอ่านเพื่อจำอย่าเดียว...เข้าใจต้องมาก่อน...

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com