ข้อนี้เป็นโจทย์ปัญหาที่น่าทำมากครับ โจทย์อ่านแล้วอาจจะงงนิดหน่อย แต่ค่อยๆอ่านครับ แล้วค่อยๆคิดตั้งสมการขึ้นมาตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาให้ได้ครับ มาดูโจทย์กันเลย

24. รถจักรยานคันหนึ่งเมื่อเคลื่อนที่ไปได้ระยะทาง 120 ฟุต ล้อหลังจะหมุนได้มากกว่าล้อหน้า  6 รอบ ถ้าล้อหลังมีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้น \(\frac{1}{4}\)   เท่า  และล้อหน้ามีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้น  \(\frac{1}{5}\)  เท่า ล้อหลังจะหมุนได้มากกว่าล้อหน้า 4 รอบ เมื่อเคลื่อนที่ไปได้ระยะทางเท่าเดิมแล้ว ล้อทั้งสองมีเส้นรอบวงต่างกันกี่ฟุต

วิธีทำ  ข้อนี้เหมือนกับเรื่องที่เราเรียนตอน ม.3 คือ โจทย์สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ผมกำหนดให้ 

จักรยานคันนี้ล้อหลังมีเส้นรอบวงเป็น \(2\pi r\)       และ

จักรยานคันนี้ล้อหน้ามีเส้นรอบวงเป็น  \(2\pi R\)

ดังนั้น เมื่อเคลื่อนที่ไปได้ 120 ฟุต แต่ละล้อจะหมุนได้

ล้อหลังหมุนได้    \(\frac{120}{2\pi r}\)    รอบ

ล้อหน้าหมุนได้     \(\frac{120}{2\pi R}\)   รอบ

ล้อหลังหมุนได้มากกว่าล้อหน้า 6  รอบจึงได้สมการว่า

\[\frac{120}{2\pi r}-\frac{120}{2\pi R}=6\]    จัดสมการให้สวยงามนิดหนึ่งจะได้

\[\frac{60}{2\pi r}-\frac{60}{2\pi R}=6       \quad \quad     (1)\] 

เก็บสมการที่หนึ่งไว้ก่อนครับ

มาดูเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาอีกล้อหลังมีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้น  \(\frac{1}{4}\) เท่า  ตรงนี้หมายความว่า

\(2\pi r +\frac{1}{4}2\pi r=\frac{5\pi r}{2}\)

และล้อหน้ามีเส้นรอบวงเพิ่มขึ้น \(\frac{1}{5}\)  เท่า ตรงนี้หมายความว่า

\(2\pi R+\frac{1}{5}2\pi R=\frac{12\pi R}{5}\)   หลังจากที่เพิ่มเส้นรอบวงขอล้อแลัวโจทย์บอกว่าล้อหลังหมุนได้มากกว่าล้อหน้า 4 รอบ จะได้สมการเป็น

\(\frac{120}{\frac{5}{2}\pi r}-\frac{120}{\frac{12}{5}\pi R}=4\)       จัดสมการนิดหนึ่งจะได้

\[\frac{48}{\pi r}-\frac{50}{\pi R}=4 \quad \quad (2)\]

เมื่อได้ระบบสมการแล้ว เราก็มาแก้ระบบสมการ ครับ

\begin{array}{lcl}\frac{60}{\pi r}-\frac{60}{\pi R}&=&6\quad \quad (1)\\\frac{48}{\pi r}-\frac{50}{\pi R}&=&4 \quad \quad (2)\end{array}

นำ  \(5\times (1)\)  จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{300}{\pi r}-\frac{300}{\pi R}&=&30\quad \quad (3)\end{array}

นำ \(6\times (2) \)    จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{288}{\pi r}-\frac{300}{\pi R}&=&24\quad \quad (4)\end{array}

ต่อไปนำสมการ  \((3)-(4)\)  จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{12}{\pi r}&=&6\\ \pi r&=&2\end{array}

ต่อไป แทน  \(\pi r\)  ด้วย \( 2 \) ในสมการที่   \((1)\)    จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{60}{2}-\frac{60}{\pi R}&=&6\\\pi R&=&\frac{5}{2}\end{array}

ใกล้เสร็จแล้วครับเรามาสรุปกันดีกว่าครับว่าหาค่าอะไรลงไปบ้าง ตอนนี้เราได้

\[\pi r=2\]

ดังนั้น

\[2\pi r=4\]

นั่นก็คือ ล้อหลังมีเส้นรอบวงยาว  4   ฟุต

อีกอันคือ

\[\pi R=\frac{5}{2}\]

ดังนั้น

\[2\pi R=2\times \frac{5}{2}=5\]

นั่นก็คือ ล้อหน้ามีเส้นรอบวงยาว  5  ฟุต

โจทย์ถามว่าล้อทั้งสองมีเส้นรอบวงต่างกันกี่ฟุต คำตอบก็คือ  \(5-4=1\)    ฟุต   ตอบ