1. ถ้า \(\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=11\) แล้ว \(\frac{x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}}{x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ โจทย์แนวนี้ชอบออก เป็นข้อสอบสอบเข้าพวกโรงเรียนดังๆ แนวทางในการทำ หลักๆ มี 2 วิธี แต่ผมจะเลือกทำให้ดูแค่วิธีเดียวก็พอแล้ว เราจะเห็นว่าสิ่งที่โจทย์ให้หา กำลังสูงสุดคือกำลัง 4 แต่สิ่งที่โจทย์ให้มา กำลังสูงสุดแค่ 2 ดังนั้นสิ่งที่เราควรที่จะทำคือ เอาสิ่งที่โจทย์ให้มา นำมายกกำลัง 2 เริ่มทำเลยนะคับ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}&=&11\\x^{2}+y^{2}&=&11xy\quad\cdots (1)\end{array}

ต่อไปนำสมการ \((1)\) มายกกำลังสองทั้งสองข้างเลย ใช้กำลังสองสมบูรณ์ในการยกกำลังสองเลยนะคับจะได้

\begin{array}{lcl}(x^{2}+y^{2})^{2}&=&(11xy)^{2}\\x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}&=&121x^{2}y^{2}\quad\cdots(2)\\x^{4}+y^{4}&=&121x^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2}\\x^{4}+y^{4}&=&119x^{2}y^{2}\quad\cdots (3)\end{array}

เก็บพวกสมการที่ \((1),(2)\) และ \((3)\) ไว้ก่อน ต่อไปเรามาดูสิ่งที่โจทย์ให้หา ดูส่วนแรกก่อนนะคับก็คือ

ตัวเศษก่อนจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}&=&x^{4}+y^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}\\&=&x^{4}+y^{4}-3x^{2}y^{2}+xy(x^{2}+y^{2})\\&=&119x^{2}y^{2}-3x^{2}y^{2}+xy(11xy)\\&=&116x^{2}y^{2}+11x^{2}y^{2}\\&=&127x^{2}y^{2}\end{array}

ตัวส่วนจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}&=&x^{4}+y^{4}+5x^{2}y^{2}\\&=&119x^{2}y^{2}+5x^{2}y^{2}\\&=&124x^{2}y^{2}\end{array}

ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{4}-3x^{2}y^{2}+x^{3}y+xy^{3}+y^{4}}{x^{4}+5x^{2}y^{2}+y^{4}}&=&\frac{127x^{2}y^{2}}{124x^{2}y^{2}}\\&=&\frac{127}{124}\end{array}

Pin It