1. ถ้า \(2,5,8,10,12,15,18\) เป็นข้อมูลของกลุ่มตัวอย่างหนึ่งของประชากร ความแปรปรวนของตัวอย่างนี้เป็นเท่าใด

วิธีทำ ความแปรแปรของกลุ่มตัวอย่างหาได้จากสูตร

\[S.D^{2}=\frac{\displaystyle\sum_{i}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}\quad\cdots (1)\]

เรามาหา \(\bar{x}\) กันก่อนดีกว่าคับ

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{2+5+8+10+12+15+18}{7}=10\end{array}

ต่อไปจะเห็นได้ว่า

\(x_{i}\)	\(x_{i}-\bar{x}\)	\((x_{i}-\bar{x})^{2}\)
2	2-10=-8	64
5	5-10=-5	25
8	8-10=-2	4
10	10-10=0	0
12	12-10=2	4
15	15-10=5	25
18	18-10=8	64
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}=186\)

 

เอาไปแทนค่าในสมการ \((1)\) เลยคับ อย่าลืมว่า \(n=7\) นะคับก็คือข้อมูลมี 7 ตัวนั่นเองจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}S.D.^{2}&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}\\&=&\frac{186}{7-1}\\&=&\frac{186}{6}\\&=&31\end{array}

---

2. โรงเรียนอนุบาลแห่งหนึ่งมีนักเรียนอยู่ 4 ห้อง ครูบันทึกค่าเฉลี่ยของน้ำหนักของนักเรียนแต่ละห้องไว้ตามตารางต่อไปนี้

ห้องที่	จำนวนนักเรียน(คน)	ค่าเฉลี่ยน้ำหนักนักเรียน (กิโลกรัม)
1	22	17
2	23	16
3	25	14
4	30	15

ค่าเฉลี่ยของน้ำหนักของนักเรียนทั้งโรงเรียนมีค่าเท่ากับกี่กิโลกรัม

วิธีทำ ข้อนี้เป็นการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม นั่นเองครับ ไม่ต้องอะไรมาก บวก ลบ เลขถูกก็ได้คะแนนแล้ว

\begin{array}{lcl}\bar{x}_{total}&=&\frac{(22\times 17)+(23\times 16)+(25\times 14)+(30\times 15)}{22+23+25+30}\\&=&\frac{1542}{100}\\&=&15.42\quad kg.\end{array}

---

3. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย \(x,3.5,12,7,8.5,8,5\) โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับมัธยฐานและไม่มีฐานนิยม  ถ้า \(R\) คือพิสัยของข้อมูลชุดนี้ แล้ว \(R-x\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{7}{6}\)
2. \(\frac{5}{2}\)
3. \(3\)
4. \(\frac{7}{2}\)
5. \(4\)

วิธีทำ ข้อนี้เขาบอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับมัธยฐาน ดังนั้นเราหาค่าเฉลี่ยไว้ก่อนเลยได้ใช้แน่นอน

\begin{array}{lcl}\bar{x}&=&\frac{x+3.5+12+7+8.5+8+5}{7}\\&=&\frac{x+44}{7}\end{array}

เก็บค่าเฉลี่ยเอาไว้ก่อนนะคับ

ต่อไปเราลองเอาขอมูลมาเรียงจากน้อยไปหามากดูนะคับ เราจะเห็นได้ว่าเมื่อเราลองเรียงตัวเลขจากน้อยไปหามาก โดยที่ \(x\) ก็คือเลขอะไรก็ได้ซึ่งมันอาจจะเป็นตัวเลขมากสุด หรือ มากว่า 8.5 แต่น้อยกว่า 12 ถ้าเราลองเรียงดูดีๆ เราจะเห็นกรณี แบบนี้

1. คือกรณีที่เลข \(8\) อยู่ตรงกลาง เช่น

\(3.5,5,7,\underline{8} ,8.5,12,x\)

ถ้าเป็นแบบกรณีที่ 1 นี้เราจับไปเท่ากับค่าเฉลี่ยเพราะโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับมัธยฐานเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{x+44}{7}&=&8\\x&=&12\end{array}

เราจะได้ \(x=12\) กรณีนี้ เป็นไปไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่าข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยมก็คือตัวเลขห้ามซ้ำกัน

2. กรณีที่เลข \(7\) อยู่ตรงกลาง เช่น

\(3.5,5,x,\underline{7} ,8,8.5,12\)

ถ้าเป็นแบบกรณีที่ 2 นี้เราจับไปเท่ากับค่าเฉลี่ยเพราะโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับมัธยฐานเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{x+44}{7}&=&7\\x&=&5\end{array}

เราจะได้ \(x=5\) กรณีนี้ เป็นไปไม่ได้เพราะโจทย์บอกว่าข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยมก็คือตัวเลขห้ามซ้ำกัน

3. กรณีที่เลข \(x\) อยู่ตรงกลาง เช่น

\(3.5,5,7,\underline{x} ,8,8.5,12\)

ถ้าเป็นแบบกรณีที่ 3 นี้เราจับไปเท่ากับค่าเฉลี่ยเพราะโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับมัธยฐานเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{x+44}{7}&=&x\\x&=&\frac{44}{6}\end{array}

เราจะได้ \(x=\frac{44}{6}\) กรณีนี้ใช้ได้เพราะค่า \(x\) ไม่ได้ไปซ้ำกับใครเลย

ต่อนี้เราได้ค่า \(x\) แล้ว

ต่อไปเราก็ไปหาค่าพิสัย\((R)\) ดงนั้นเราจะได้ว่า \(R=12-3.5=8.5\)  นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}R-x&=&8.5-\frac{44}{6}\\&=&\frac{85}{10}-\frac{44}{6}\\&=&\frac{7}{6}\end{array}

---

4.ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ ณ โรงเรียนแห่งหนึ่ง ครูกำหนดไว้ว่า ผู้ที่จะได้เกรด A  จะต้องสอบได้คะแนนอยู่ในกลุ่มคะแนนสูงสุด 10 เปอร์เซ็นต์ ถ้าผลการสอบของนักเรียน 80 คน สรุปได้ตามตารางต่อไปนี้

คะแนน	จำนวนนักเรียน
31-40	6
41-50	\(x\)
51-60	18
61-70	25
71-80	10
81-90	\(y\)
91-100	3

โดยที่เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 ของคะแนนนักเรียนทั้งหมดเท่ากับ \(50.5\) คะแนน แล้วคะแนนต่ำสุดที่นักเรียนจะได้เกรด A คิดเป็นเปอร์เซ็นต์เท่าใด

1. 72.75
2. 76.75
3. 80.25
4. 84.25
5. 88.55

วิธีทำ ข้อนี้คิดดีๆนะคับว่าโจทย์ถามหาอะไร คนที่ได้จะได้เกรด A จะต้องทำคะแนนให้ได้คะแนนในกลุ่มคะแนนสูงสุด 10 เปอร์เซ็นต์ ดังนั้นเราจะได้ว่าคนที่ได้คะแนนต่ำสุดคะแนนของเขาต้องตรงกับ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90 นั่นเองดูรูปภาพประกอบด้านล่าง

นั่นคือเราต้องหา \(P_{90}\) นั่นเองครับผม เรื่องนี้คือถ้าใครลืมให้ไปอ่านตามลิงก์นี้นะคับ เปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ แต่ก่อนที่เราจะหาคำตอบได้เราต้องเติมข้อมูลลงในตารางให้เรียนร้อยก่อน คือ หา \(x\) และ \(y\)  

โจทย์บอกว่า \(P_{20}=50.5\)

ตำแหน่งของ \(P_{20}=\frac{kN}{100}=\frac{20\times 80}{100}=16\) เปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 คือคะแนนที่หรือว่าคือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 16 ดังนั้นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 20 คือคะแนนที่อยู่ในอันตรภาคชัันที่ 2  จากสูตรการหาเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}P_{20}&=&L+\left(\frac{\frac{kN}{100}-F_{p}}{f_{p}}\right)I\\50.5&=&40.5+\left(\frac{16-6}{x}\right)\\50.5&=&40.5+(\frac{10}{x})10\\x&=&10\end{array}

จากที่เราได้ \(x=10\) เมื่อเรานำไปคำนวณเพื่อหาค่า \(y\) จะได้ค่า \(y=8\) นั่นเอง เติมข้อมูลลงไปในตารางให้ครับเลยครับ

คะแนน	จำนวนนักเรียน	ความถี่สะสม(F)
31-40	6	6
41-50	\(x=10\)	16
51-60	18	34
61-70	25	59
71-80	10	69
81-90	\(y=8\)	77
91-100	3	80

หาตำแหน่งของ \(P_{90}=\frac{kN}{100}=\frac{90\times 80}{100}=72\) นั่นก็คือ เปอร์เซ็นไทล์ที่ 90 คือข้อมูลหรือว่าคะแนนที่อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 6 นั่นเอง จึงได้ว่า \(L=80.5\),\(F_{p}=69\) ,\(f_{p}=8\) ,\(I=10\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลย

\begin{array}{lcl}P_{90}&=&L+\left(\frac{\frac{kN}{100}-F_{p}}{f_{p}}\right)I\\&=&80.5+\left(\frac{72-69}{8}\right)\\&=&80.5+(\frac{3}{4})5\\&=&84.25\end{array}

คะแนนต่ำสุดของนักเรียนที่จะได้เกรด A คือ 84.25 คะแนน

---

5. ตารางแจกแจงความถี่สะสมของคะแนนของสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้

คะแนนสอบ	ความถี่สะสม (คน)
10-19	10
20-29	35
30-39	80
40-49	145
50-59	185
60-69	195
70 ขี้นไป	200

ถ้าสุ่มนักเรียนมาหนึ่งคนจากกลุ่มนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนที่ได้คะแนนสอบในช่วง \(50-59\) คะแนน เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เราแค่หาว่านักเรียนที่สอบได้คะแนน \(50-59\) คะแนนมีกี่คน แค่นี้ก็ตอบได้แล้ว ซึ่งจากตารางเขาให้ความถี่สะสมมา เราก็นำตรงนี้ไปหาความถี่ จึงได้ว่า

คะแนนสอบ	ความถี่ (คน)	ความถี่สะสม (คน)
10-19	10	10
20-29	25	35
30-39	45	80
40-49	65	145
50-59	40	185
60-69		195
70 ขี้นไป		200

จากตารางนักเรียนที่ได้คะแนนในช่วง 50-59 คะแนน มีอยู่ 40 คน ดังนั้นถ้าสุ่มนักเรียนมาหนึ่งคนความน่าจะเป็นที่จะได้นักเรียนได้คะแนนสอบในช่วง 50-59 คะแนนเท่ากับ \(\frac{40}{200}=0.2\) นั่นเอง