1. ถ้า \(a_{n}\) เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก ซึ่ง \(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_{n}\) หาค่าได้ และ \(a_{n}=\sqrt{\frac{1+2n}{n}+a_{n}}\) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}a_{n}\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้หาลิมิตได้แก้สมการเป็นก็หาคำตอบได้แล้วครับ ใครที่จำสูตรพวกลิมิตไม่ได้ไปทบทวนตามลิงก์ก่อนนะคับ
- สูตรลิมิต
- ลิมิตของลำดับ
- ลิมิตของลำดับอนันต์
- การหาค่าลิมิตของลำดับ
- สูตรลิมิตฟังก์ชัน
- สูตรลิมิตฟังก์ชัน
- ลิมิตของฟังก์ชัน
\begin{array}{lcl}a_{n}&=&\sqrt{\frac{1+2n}{n}+a_{n}}\\\displaystyle\lim a_{n}&=&\displaystyle\lim\sqrt{\frac{1+2n}{n}+a_{n}}\\\displaystyle\lim a_{n}&=&\sqrt{\displaystyle\lim\frac{1+2n}{n}+a_{n}}\\\displaystyle\lim a_{n}&=&\sqrt{\displaystyle\lim \frac{1+2n}{n}+\displaystyle\lim a_{n}}\\\displaystyle\lim a_{n}&=&\sqrt{\displaystyle\lim \frac{1}{n}+\displaystyle\lim\frac{2n}{n}+\displaystyle\lim a_{n}}\\\displaystyle\lim a_{n}&=&\sqrt{0+2+\displaystyle\lim a_{n}}\\ กำหนดให้\quad A=\displaystyle\lim a_{n}\\ดังนั้น\\A&=&\sqrt{0+2+A}\\A^{2}&=&2+A\\A^{2}-A-2&=&0\\(A-2)(A-1)&=&0\\so\\A=2\quad ,A=-1\end{array}
ตอนนี้เราได้
\(A=2\) หรือก็คือ \(\displaystyle\lim a_{n}=2\)
และ
\(A=-1\) หรือก็คือ \(\displaystyle\lim a_{n}=-1\)
แต่ \(a_{n}\) เป็นลำดับของจำนวนจริงบวกดังนั้น
\(\displaystyle\lim a_{n}=2\quad\underline{Ans}\)
2. ถ้า \(x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\) แล้ว \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ดูออกเลยว่าต้องเกี่ยวข้องกับอนุกรมเรขาคณิตอนันต์แน่ๆ เริ่มทำเลยนะคับ เริ่มจากการลองแทนค่า \(n\) ลงไปในอนุกรมดูจะได้ดังนี้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n}&=&1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+x^{12}+\cdots\end{array}
เราจะเห็นว่า \(1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+x^{12}+\cdots\) เป็นอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ที่มี \(r=-x^{3}\) ต่อไปเราจะเห็นว่าโจทย์กำหนดค่า \(x\) มาให้แล้วคือ \(x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}=\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}}\) ต่อไปนำค่า \(x\) ไปแทนค่าใน \(r\) ดูจะเห็นว่า
\(r=-x^{3}=-(\frac{1}{3^{\frac{1}{3}}})^{3}=-\frac{1}{3}\) ซึ่งเราจะเห็นได้ว่า \(|r|=|-\frac{1}{3}|<1\) นั่นก็คืออนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้เป็นอนุกรมลู่เข้าซึ่งสามารถหาผลบวกของมันได้จากสูตร \(\frac{a_{1}}{1-r}\) เริ่มหาคำตอบกันเลย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{3n}&=&1-x^{3}+x^{6}-x^{9}+x^{12}+\cdots\\&=&\frac{a_{1}}{1-r}\\&=&\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}\\&=&\frac{1}{1+\frac{1}{3}}\\&=&\frac{1}{\frac{4}{3}}\\&=&\frac{3}{4}\\&=&0.75\quad\underline{Ans}\end{array}
3. กำหนดให้ \(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{9}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่ง ถ้า \(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{9}\) เป็นลำดับเลขคณิต และมีมัธยฐานเท่ากับ \(15\) แล้ว ผลบวกของ \(a_{1},a_{2},\cdots a_{9}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 117
- 125
- 135
- 145
- 153
วิธีทำ ข้อนี้หลักๆ แล้วเกี่ยวข้องกับลำดับเลขคณิต และอนุกรมเลขคณิต ดังนั้นเครื่องมือในการทำโจทย์ข้อนี้คือ
พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ
\[a_{n}=a_{1}+(n-1)d\]
ผลบวก \(n\) พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตคือ
\[S_{n}=\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\]
เริ่มทำเลย โจทย์บอกมัธยฐานเท่ากับ 15 นั่นคือ พจน์ที่อยู่ตรงกลางมีค่าเท่ากับ 15 ลำดับมีทั้งหมด 9 พจน์ ดังนั้นพจน์ที่อยู่ตรงกลางคือ พจน์ที่ 5 ดังนั้น \(a_{5}=15\)
จาก
\begin{array}{lcl}a_{n}&=&a_{1}+(n-1)d\\a_{5}&=&a_{1}+(5-1)d\\15&=&a_{1}+4d\quad\cdots (1)\end{array}
ต่อไปผมจะเอา \(2\) คูณสมการ \((1)\) เหตุผลว่าทำไมถึงต้องเอา \(2\) คูณ อ่านต่อข้างล่างเดี๋ยวรู้เองจะได้
\begin{array}{lcl}15&=&a_{1}+4d\\2\times 15&=&2(a_{1}+4d)\\30&=&2a_{1}+8d\end{array}
ต่อไปโจทย์ให้หาผลบวกของ \(a_{1},a_{2},\cdots a_{9}\) ก็คือให้ค่าของ \(S_{9}\) นั่นเองครับผม
จาก
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{n}{2}\left[2a_{1}+(n-1)d\right]\\S_{9}&=&\frac{9}{2}\left[2a_{1}+(9-1)d\right]\\S_{9}&=&\frac{9}{2}\left[2a_{1}+8d\right]\\S_{9}&=&\frac{9}{2}(30)\\S_{9}&=&135\quad\underline{Ans}\end{array}
3. ถ้า \(a_{n}=\frac{n^{3}}{n^{2}+2}-\frac{n^{2}}{n+3}\) เมื่อ \(n=1,2,3,\cdots \) แล้ว \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มียุ่งยากเลย จัดรูปของ \(a_{n}\) ก่อน แล้วค่อยหาลิมิตแค่นั้นเอง เริ่มทำเลย อย่างไรคนที่พึ่งเข้ามาอ่าน ก็ไปอ่านลิงก์เกี่ยวกับเรื่องลิมิตของลำดับอนันต์ก่อนนะคับ
\begin{array}{lcl}a_{n}&=&\frac{n^{3}}{n^{2}+2}-\frac{n^{2}}{n+3}\\a_{n}&=&\frac{n^{3}(n+3)-n^{2}(n^{2}+2)}{(n^{2}+2)(n+3)}\\a_{n}&=&\frac{n^{4}+3n^{3}-n^{4}-2n^{2}}{n^{3}+2n+3n^{2}+6}\\a_{n}&=&\frac{3n^{3}-2n^{2}}{n^{3}+2n+3n^{2}+6}\\a_{n}&=&\frac{3+\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n}+\frac{6}{n^{3}}}\end{array}
เมื่อจัดรูปของ \(a_{n}\) ต่อไปก็หาค่าลิมิตเลยคับจะได้ว่า แต่จริงๆบางคนถ้าชำนาญก็ สามารถหาลิมิตโดยดูจาก การจัดรูปของ \(a_{n}\) ได้เลย ไม่ต้องทำอะไรเยอะ แต่ถ้าจะเขียนทำให้มันตามหลักการหน่อยก็ดูต่อบรรทัดด้านล่าง
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}&=&\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n}+\frac{6}{n^{3}}}\\&=&\frac{3+0}{1+0+0+0}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}
4. กำหนดให้ \(a_{n}=\frac{n}{1+3+5+\cdots +(2n-1)}\) และ \(b_{n}=\frac{n}{2+4+6+\cdots +2n}\) จะได้ว่าอนุกรม \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-b_{n})\) เป็นอนุกรมข้อใดต่อไปนี้
1. มีผลบวกเท่ากับ \(-\frac{1}{2}\)
2. มีผลบวกเท่ากับ \(0\)
3.มีผลบวกเท่ากับ \(1\)
4. มีผลบวกเท่ากับ \(\frac{1}{2}\)
5. ลู่ออก
วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยากแต่ไม่ยากคับ ให้เราไปดูสองตัวนี้คือ
1. พิจารณา \(1+3+5+\cdots +(2n-1)\) มันเป็นอนุกรมเลขคณิตใช่ไหมทุกคน ดังนั้นผลบวกของมันก็คือเป็นไปตามสูตร \(S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]\) หรือใช้อีกสูตรก็ได้คือ \(S_{n}=\frac{n}{2}[a_{1}+a_{n}]\) เลือกเอาสูตรที่มันใช้ได้ง่ายสุด
ดังนั้นเราจะได้ผลบวกคือ ผมเลือกใช้สูตรที่ 2 นะง่ายสุด
\begin{array}{lcl}1+3+5+\cdots +(2n-1)&=&\frac{n}{2}[1+2n-1]\\&=&\frac{n}{2}+n^{2}-\frac{n}{2}\\&=&n^{2}\end{array}
อีกอันคือ
\begin{array}{lcl}2+4+6+\cdots +2n&=&\frac{n}{2}[2+2n]\\&=&n+n^{2}\end{array}
ดังนั้นตอนนี้เราได้ว่า
\begin{array}{lcl}a_{n}&=&\frac{n}{1+3+5+\cdots +(2n-1)}\\&=&\frac{n}{n^{2}}\\&=&\frac{1}{n}\end{array}
\begin{array}{lcl}b_{n}&=&\frac{n}{2+4+6+\cdots +2n}\\&=&\frac{n}{n+n^{2}}\\&=&\frac{1}{1+n}\end{array}
ใกล้ได้คำตอบแล้วทำต่อเลย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-b_{n})&=&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n}-\frac{1}{1+n})\\&=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots\\&=&1\end{array}
ดังนั้นข้อนี้ตอบ 1 (ตัวเลือก 3)
6. กำหนดลำดับซึ่งประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่หารด้วย \(5\) ไม่ลงตัว เรียงจากน้อยไปหามาก ถ้าผลบวก \(n\) พจน์แรกของลำดับนี้เท่ากับ \(9000\) แล้ว \(n\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 100
- 110
- 120
- 130
- 140
วิธีทำ ข้อนี้เราต้องมองเป็น 2 ขั้นตอน ถึงจะทำให้เราเห็นคำตอบ ก็คือ เราจะเห็นว่าพวกจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัวสามารถเขียนเป็นลำดับได้ดังต่อไปนี้
\(1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,\cdots\)
ถ้าเราลองพิจารณาลงไปอีกจะเห็นว่า
\(1+2+3+4=10\)
\(6+7+8+9=30\)
\(16+17+18+19=50\)
\(16+17+18+19=70\)
เห็นไหมเอ่ยว่าเราถ้าเราลองนำ มาบวกคราวละ 4 ตัวจะได้ผลบวกสวยเลยคือ \(10,30,50,70,\cdots\) เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตเลยเห็นไหม ที่นี้พอมองออกหรือยังว่าทำยังไงต่อ
ขั้นตอนต่อไปคือหาว่า บวกไอ้พวกนี้ \(10,30,50,70,\cdot\) ไปกี่พจน์ถึงจะได้ผลบวกเท่ากับ \(9000\) เราลองหาผลบวกกันเลยใชัสูตรการหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิตนะคับ ก็คือ \(S_{n}=\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d\) ซึ่ง \(d=30-10=20\) นั่นเองเริ่มเลย
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]\\9000&=&\frac{n}{2}[2(10)+(n-1)(20)]\\9000&=&n[10+(n-1)10]\\9000&=&n(10+10n-10)\\9000&=&10n^{2}\\n^{2}&=&900\\n&=&30\end{array}
นั่นหมายความว่า ต้องบวก \(10,30,50,70,\cdots\) ไปถึง 30 พจน์ถึงจะได้ผลบวกเป็น 9000 นั้นหมายความว่าคำตอบของเราก็ต้องเอา 30 ไปคูณกับ 4 ใช่ไหม ลองคิดตามดูดีๆนะทำไมต้องคูณ 4 นั่นคือคำตอบคือ \(30\times 4=120\)
7. ถ้า \begin{array}{lcl}a_{n}=\left\{\begin{matrix}n\quad เมื่อ\quad n\quad เป็นจำนวนคี่\\ 2n\quad เมื่อ \quad n\quad เป็นจำนวนคู่\end{matrix}\right.\end{array}
แล้ว \(\displaystyle\sum_{k=1}^{40}a_{k}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- 860
- 1060
- 1080
- 1240
- 1440
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าใครมองออกง่ายเลย ซึ่งจะเห็นว่าถ้าเราเอา \(a_{n}\) เมื่อเขียนเป็นลำดับเราจะได้ว่าดังนี้
\(1,4,3,8,5,12,7,16,9,20,11,24,13,28,15,32,17,36,19,40,\cdots ,80\)
จะเห็นว่า
ถ้า \(n\) เป็นจำนวนคี่เราจะได้ลำดับ
\(1,3,5,7,9,\cdots ,39\) มีทั้งหมด 20 ตัว
ถ้า \(n\) เป็นจำนวนคู่เราจะได้ลำดับคือ
\(4,8,12,16,20,\cdots ,80\) มีทั้งหมด 20 ตัว
จึงได้ว่า \(1+3+5+7+9+\cdots +39\) คือ
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]\\S_{20}&=&\frac{20}{2}[2(1)+(19)(2)]\\S_{20}&=&(10)(40)\\S_{20}&=&400\end{array}
และได้ว่า \(2+8+12+20+\cdots +80\) คือ
\begin{array}{lcl}S_{n}&=&\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]\\S_{20}&=&\frac{20}{2}[2(4)+(19)4]\\S_{20}&=&10[8+76]\\S_{20}&=&840\end{array}
ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{40}a_{k}&=&400+840\\&=&1240\quad\underline{Ans}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์