1.กำหนดให้ \(P(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+12\)  เมื่อ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(2i\) เป็นคำตอบของสมการ \(P(x)=0\) แล้ว \(P(1)\) มีค่าเท่ากับข้อใด

วิธีทำ ข้อนี้ทบทวนความรู้ก่อนนะ ที่ต้องใช้ก็คือ \(i^{2}=-1\)  ดังนั้น \(i^{3}=i^{2}\dot i=(-1)i=-i\) ทบทวนก่อนอาจมีบางคนลืม

เริ่มทำเลยนะคับ ก็คือหาค่า \(a\) กับ \(b\) ให้ได้ก่อนครับ

\begin{array}{lcl}P(x)&=&2x^{3}+ax^{2}+bx+12\\P(2i)&=&2(2i)^{3}+a(2i)^{2}+b(2i)+12\\0&=&2(8i^{3})+a4i^{2}+2bi+12\\0&=&-16i-4a+2bi+12\\0+0i&=&-4a+12+(-16+2b)i\\ ดังนั้นจะได้ว่า \\ -4a+12=0\\ และ \\-16+2b=0\end{array}

 

พิจารณา \(-4a+12=0\) จะได้

\begin{array}{lcl}-4a+12&=0\\a&=&\frac{-12}{-4}\\a&=&3\end{array}

พิจารณา \(-16+2b=0\) จะได้

\begin{array}{lcl}-16+2b&=&0\\b&=&\frac{16}{2}\\b&=&8\end{array}

ต่อไปโจทย์ให้หา \(P(1)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}P(x)&=&2x^{3}+ax^{2}+bx+12\\P(1)&=&2(1)^{3}+(3)(1)^{2}+8(1)+12\\P(1)&=&2+3+8+12\\P(1)&=&25\end{array}


2. กำหนดให้ \(z_{1},z_{2}\) และ \(z_{3}\) เป็นรากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง ถ้า \(z_{1}=\sqrt{2}(cos15^{\circ}+isin15^{\circ})\) แล้วผลคูณ \(z_{2}z_{3}\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(2\)
  2. \(\sqrt{2}-i\sqrt{2}\)
  3. \(\sqrt{2}+i\sqrt{2}\)
  4. \(\sqrt{3}-i\)
  5. \(\sqrt{3}+i\)

วิธีทำ ข้อนี้ใครรู้เทคนิคง่ายเลยข้อนี้  เขาให้รากหรือว่าคำตอบมาแล้วหนึ่งอันคือ \(z_{1}\) ก็หาค่า \(z_{2},z_{3}\) ก็ไม่ยากแล้ว กล่าวคือหามุมของ \(z_{2}\) กับ \(z_{3}\) วิธีการหาก็คือ ให้เอา \(360^{\circ}\) หารด้วยค่าราก  อย่างเช่นข้อนี้ให้เอา \(frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}\) นั่นก็คือ

มุมของ \(z_{2}=15^{\circ}+120^{\circ}=135^{\circ}\) 

มุมของ \(z_{3}=135^{\circ}+120^{\circ}=155^{\circ}\)

ดังนั้นตอนนี้เราได้ว่า

\(z_{2}=\sqrt{2}(cos135^{\circ}+isin135^{\circ})\)

\(z_{3}=\sqrt{2}(cos155^{\circ}+isin155^{\circ})\)

โจทย์ให้ค่า \(z_{2}z_{3}\) ก็คือ ให้เอามาคูณกันนั่นเอง ใครที่ยังไม่รู้ว่าคูณยังไงให้ไปอ่านการคูณจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วก่อนนะคับ ตามลิงก์นี้  การคูณและการหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

เริ่มหาคำตอบเลย

\begin{array}{lcl}z_{1}z_{2}&=&\sqrt{2}\sqrt{2}[cos(135^{\circ}+155^{\circ})+isin(135^{\circ}+155^{\circ})]\\&=&2[cos390^{\circ}+isin390^{\circ}]\\&=&2[\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}]\\&=&\sqrt{3}+i\quad\underline{Ans}\end{array}

ข้อนี้ตอบตัวเลือกที่ 5


3.ถ้า \(z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งมี \(Im(z)>0\) และสอดคล้องกับสมการ \(\left(z+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}\) แล้ว \(z^{8}\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\)
  2. \(-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\)
  3. \(\frac{1}{2}\)
  4. \(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\)
  5. \(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องแก้สมการหาค่า \(z\) ก่อน ซึ่งจะได้ค่า \(z\) ออกมา 2 ตัว แต่ต้องเลือกเอาค่า \(z\) ที่มีส่วนจินตภาพมากกว่า 0 เท่านั้นเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}\left(z+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}&=&-\frac{1}{4}\\z^{2}+2(z)\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}&=&-\frac{1}{4}\\z^{2}+\sqrt{3}z+1&=&0\end{array}

เราจะเห็นว่า \(z^{2}+\sqrt{3}z+1=0\) เป็นสมการกำลังสอง(quadratic equation) การแก้สมการนี้ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ก็ใช้สูตรนี้เลย

\[z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]

ในที่นี้ \(a=1,b=\sqrt{3},c=1\) เอาไปแทนค่าในสูตรเลยจะะได้

\begin{array}{lcl}z&=&\frac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{3-4(1)(1)}}{(2)(1)}\\&=&\frac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{-1}}{2}\\&=&\frac{-\sqrt{3}\pm i}{2}\end{array}

ดังนั้น \(z\) ของเรามี 2 ตัวคือ

\(z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\)

\(z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\)

แต่เราต้องเอาอันนี้นะ  \(z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\) เพราะส่วนจินตภาพ(Im(z)) ของ \(z\) ตัวนี้มากกว่า 0 ต่อไปเราก็ไปหา \(z^{8}\) กันเลยครับ


4. กำหนดให้ \(z\) เป็นจำนวนเชิงซ้อน \(z=i^{-7}+i^{-5}+i^{-3}+i\) ค่าของ \(|z^{2}|\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้แค่รู้ว่า \(i^{2}=-1\) แค่นี้ก็พอแล้วครับ ดังนั้นเราจะได้ว่า

\(i^{7}=-i\)

\(i^{5}=i\)

\(i^{3}=-i\)

จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}z&=&i^{-7}+i^{-5}+i^{-3}+i\\&=&\frac{1}{i^{7}}+\frac{1}{i^{5}}+\frac{1}{i^{3}}\\&=&-\frac{1}{i}+\frac{1}{i}-\frac{1}{i}+i\\&=&i-\frac{1}{i}\\so\\z^{2}&=&(i-\frac{1}{i})^{2}\\&=&i^{2}-(2)(i)\frac{1}{i}+\frac{1}{i^{2}}\\&=&-1-2-1\\&=&-4\\so\\|z^{2}|&=&|-4|\\&=&4\end{array}

Pin It