1.กำหนดให้ \(\theta\) เป็นมุนระหว่างเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)

ถ้า \(\vec{u}\cdot \vec{v}=\sqrt{3}\) และ \(|\vec{u}\times \vec{v}|=1\) แล้ว \(sin^{2}\theta\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ การทำข้อสอบเวกเตอร์ต้องจำสูตรให้ได้ เพราะใช้สูตรเยอะมาก ซึ่งในข้อนี้ใช้  2 สูตรนี้

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\]

\[|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta\]

ดังนั้นจากโจทย์เราจึงได้ว่า

\(\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta=\sqrt{3}\quad\cdots (1)\)

\(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta=1\quad\cdots (2)\)

นำ \((2)\div (1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta}{|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta}&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\\tan\theta&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}

เนื่องจาก มุมระหว่างเวกเตอร์จะอยู่ระหว่าง \(0^{\circ}\) ถึง \(180^{\circ}\) 

เนื่องจาก \(tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ดังนั้น \(\theta=30^{\circ}\)

ตอนนี้หาคำตอบได้แล้ว เพราะเรารู้ค่า \(\theta\) แล้ว

จึงได้คำตอบคือ

\begin{array}{lcl}sin^{2}\theta&=&sin^{2}30^{\circ}\\&=&(\frac{1}{2})^{2}\\&=&\frac{1}{4}\quad\underline{Ans}\end{array}


2.ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ใน 3 มิติ โดย \((\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{u}-\vec{v})=2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}\) แล้ว \(|3\vec{u}\times 3\vec{v}|\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

  1. \(\frac{15}{4}\)
  2. \(\frac{15}{2}\)
  3. \(\frac{25}{3}\)
  4. \(\frac{35}{4}\)
  5. \(\frac{45}{2}\)

วิธีทำ   แนะนำให้ไปอ่านตามลิงก์นี้ก่อนเพราะสูตรเยอะเรื่องเวกเตอร์      สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์  เริ่มทำเลยนะค่อยๆอ่านแล้วกัน

 สมบัติที่ต้องใช้เยอะคือ

\(\vec{u}\times\vec{u}=0\)

\((\vec{u}\times\vec{v})=-(\vec{v}\times\vec{u})\)

\begin{array}{lcl}(\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{u}-\vec{v})&=&[(\vec{u}+\vec{v})\times \vec{u}]-[(\vec{u}+\vec{v})\times \vec{v}]\\&=&[(\vec{u}\times\vec{u})+(\vec{v}+\vec{u})]-[(\vec{u}\times\vec{v})+(\vec{v}\times\vec{v})]\\&=&(\vec{v}\times\vec{u})-(\vec{u}-\vec{v})\\&=&-(\vec{u}\times\vec{v})-(\vec{u}\times\vec{v})\\&=&-2(\vec{u}\times\vec{v})\end{array}

ดังนั้นจะได้

\begin{array}{lcl}-2(\vec{u}\times\vec{v})&=&2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}\\|-2(\vec{u}\times\vec{v})|&=&|2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}|\\|-2||\vec{u}\times\vec{v}|&=&\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+(\sqrt{5})^{2}}\\2|\vec{u}\times\vec{v}|&=&5\\|\vec{u}\times\vec{v}|&=&\frac{5}{2}\end{array}

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}|3\vec{u}\times3\vec{v}|&=&|(3)(3)(\vec{u}\times\vec{v})|\\&=&|(3)(3)||(\vec{u}\times\vec{v}|\\&=&9|\vec{u}\times\vec{v}|\\&=&9(\frac{5}{2})\\&=&\frac{45}{2}\end{array}


3. กำหนดให้ \(m\) เป็นจำนวนจริงบวก ถ้าเวกเตอร์ \(m\vec{a}+\vec{b}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(m\vec{a}-\vec{b}\) โดยที่ \(|\vec{a}|=2\) และ \(|\vec{b}|=5\) แล้ว \(m\) มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องไปอ่าน  สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ ก่อนนะคับเรื่องเวกเตอร์ต้องใช้สูตรเยอะมาก  เนื่องจากเวกเตอร์สองอันนี้ตั้งฉากกันดังนั้นดอทกันจะได้ 0 นั่นก็คือ

\begin{array}{lcl}(m\vec{a}+\vec{b})\cdot (m\vec{a}-\vec{b})&=&0\\m^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a})-m(\vec{a}\cdot\vec{b})+m(\vec{b}\cdot\vec{a})-(\vec{b}\cdot\vec{b})&=&0\\m^{2}|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}&=&0\\m^{2}(2)^{2}-(5)^{2}&=&0\\4m^{2}-25&=&0\\m^{2}&=&\frac{25}{4}\\m&=&\pm\frac{5}{2}\\m&=&\pm 2.5\end{array}

เนื่องจาก \(m\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(m=2.5\)


4. ถ้า \(\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\) และ \(\vec{v}\times\vec{w}=\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k}\) แล้วค่าของ \((\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}\) มีค่าเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรหรือว่าสมบัตของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้เลยไม่มีอะไรก็คือ

\((\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}=(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u}\)

และอีกอันก็คือ \((\vec{w}\times\vec{v})=-(\vec{v}\times\vec{w})\)

เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}&=&(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u}\\&=&-(\vec{v}\times\vec{w})\cdot\vec{u}\\&=&-(\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k})\cdot (2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})\\&=&(-\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k})\cdot (2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})\\&=&(-1)(2)+(-2)(1)+(-4)(-3)\\&=&-2-2+12\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}


5.กำหนดให้ \(O\) เป็นจุดกำเนิด  \(A=(1,-4,-3)\) และ \(B=(3,-6,2)\) ถ้า \(C\) เป็นจุดบน \(OB\) ซึ่งทำให้ \(AC\) ตั้งฉากกับ \(OB\) แล้ว \(OC\) ยากเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้ควรวาดรูปดูคร่าวๆก่อนนะคับก็จะได้รูปประมาณนี้

พิจารณาสามเหลี่ยม \(OCA\) จะได้ว่า \(cos\theta=\frac{|OC|}{|OA|}\) เราจึงได้ว่า \(|OC|=|OA|cos\theta\)

ต่อไปจากรูปเราจะเห็นว่า เวกเตอร์ \(\vec{OA}\) ทำมุม \(\theta\) กับเวกเตอร์ \(\vec{OB}\) ดังนัั้นจากความรู้ผลคูณเชิงสเกลาร์จึงได้ว่า \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|cos\theta\) นั่นก็คือ

\(\vec{OA}cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OB}|}\)

ก่อนจะหาคำตอบ ผมมาทบทวนเกี่ยวกับเวกเตอร์นิดหนึ่ง

\(\vec{OB}=(3-0)\vec{i}+(-6-0)\vec{j}+(2-0)\vec{k}=3\vec{i}-6\vec{j}+2\vec{k}\) ดังนั้น

\(|\vec{OB}|=\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{9+36+4}=7\)

\(\vec{OA}=(1-0)\vec{i}+(-4-0)\vec{j}+(-3-0)\vec{k}=\vec{i}-4\vec{j}-3\vec{k}\) ดังนั้น

\(|\vec{OA}|=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}\)

และ\(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=(3)(1)+(-6)(-4)+(2)(-3)=3+24-6=21\)

ต่อไปเอาข้อมูลข้างบนแทนค่าเพื่อหาคำตอบเลยครับ

\begin{array}{lcl}\vec{OA}cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OB}|}&=&\frac{21}{7}\\&=&3\end{array}

ดังนั้น \(OC=3\quad\underline{Ans}\)

Pin It