1.กำหนดให้ \(\theta\) เป็นมุนระหว่างเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)
ถ้า \(\vec{u}\cdot \vec{v}=\sqrt{3}\) และ \(|\vec{u}\times \vec{v}|=1\) แล้ว \(sin^{2}\theta\) มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ การทำข้อสอบเวกเตอร์ต้องจำสูตรให้ได้ เพราะใช้สูตรเยอะมาก ซึ่งในข้อนี้ใช้ 2 สูตรนี้
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta\]
\[|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta\]
ดังนั้นจากโจทย์เราจึงได้ว่า
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta=\sqrt{3}\quad\cdots (1)\)
\(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta=1\quad\cdots (2)\)
นำ \((2)\div (1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{|\vec{u}||\vec{v}|sin\theta}{|\vec{u}||\vec{v}|cos\theta}&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\\tan\theta&=&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}
เนื่องจาก มุมระหว่างเวกเตอร์จะอยู่ระหว่าง \(0^{\circ}\) ถึง \(180^{\circ}\)
เนื่องจาก \(tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ดังนั้น \(\theta=30^{\circ}\)
ตอนนี้หาคำตอบได้แล้ว เพราะเรารู้ค่า \(\theta\) แล้ว
จึงได้คำตอบคือ
\begin{array}{lcl}sin^{2}\theta&=&sin^{2}30^{\circ}\\&=&(\frac{1}{2})^{2}\\&=&\frac{1}{4}\quad\underline{Ans}\end{array}
2.ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ใน 3 มิติ โดย \((\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{u}-\vec{v})=2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}\) แล้ว \(|3\vec{u}\times 3\vec{v}|\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
- \(\frac{15}{4}\)
- \(\frac{15}{2}\)
- \(\frac{25}{3}\)
- \(\frac{35}{4}\)
- \(\frac{45}{2}\)
วิธีทำ แนะนำให้ไปอ่านตามลิงก์นี้ก่อนเพราะสูตรเยอะเรื่องเวกเตอร์ สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์ เริ่มทำเลยนะค่อยๆอ่านแล้วกัน
สมบัติที่ต้องใช้เยอะคือ
\(\vec{u}\times\vec{u}=0\)
\((\vec{u}\times\vec{v})=-(\vec{v}\times\vec{u})\)
\begin{array}{lcl}(\vec{u}+\vec{v})\times (\vec{u}-\vec{v})&=&[(\vec{u}+\vec{v})\times \vec{u}]-[(\vec{u}+\vec{v})\times \vec{v}]\\&=&[(\vec{u}\times\vec{u})+(\vec{v}+\vec{u})]-[(\vec{u}\times\vec{v})+(\vec{v}\times\vec{v})]\\&=&(\vec{v}\times\vec{u})-(\vec{u}-\vec{v})\\&=&-(\vec{u}\times\vec{v})-(\vec{u}\times\vec{v})\\&=&-2(\vec{u}\times\vec{v})\end{array}
ดังนั้นจะได้
\begin{array}{lcl}-2(\vec{u}\times\vec{v})&=&2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}\\|-2(\vec{u}\times\vec{v})|&=&|2\vec{i}-4\vec{j}+\sqrt{5}\vec{k}|\\|-2||\vec{u}\times\vec{v}|&=&\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+(\sqrt{5})^{2}}\\2|\vec{u}\times\vec{v}|&=&5\\|\vec{u}\times\vec{v}|&=&\frac{5}{2}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}|3\vec{u}\times3\vec{v}|&=&|(3)(3)(\vec{u}\times\vec{v})|\\&=&|(3)(3)||(\vec{u}\times\vec{v}|\\&=&9|\vec{u}\times\vec{v}|\\&=&9(\frac{5}{2})\\&=&\frac{45}{2}\end{array}
3. กำหนดให้ \(m\) เป็นจำนวนจริงบวก ถ้าเวกเตอร์ \(m\vec{a}+\vec{b}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(m\vec{a}-\vec{b}\) โดยที่ \(|\vec{a}|=2\) และ \(|\vec{b}|=5\) แล้ว \(m\) มีค่าเท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ต้องไปอ่าน สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร์ ก่อนนะคับเรื่องเวกเตอร์ต้องใช้สูตรเยอะมาก เนื่องจากเวกเตอร์สองอันนี้ตั้งฉากกันดังนั้นดอทกันจะได้ 0 นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}(m\vec{a}+\vec{b})\cdot (m\vec{a}-\vec{b})&=&0\\m^{2}(\vec{a}\cdot\vec{a})-m(\vec{a}\cdot\vec{b})+m(\vec{b}\cdot\vec{a})-(\vec{b}\cdot\vec{b})&=&0\\m^{2}|\vec{a}|^{2}-|\vec{b}|^{2}&=&0\\m^{2}(2)^{2}-(5)^{2}&=&0\\4m^{2}-25&=&0\\m^{2}&=&\frac{25}{4}\\m&=&\pm\frac{5}{2}\\m&=&\pm 2.5\end{array}
เนื่องจาก \(m\) เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น \(m=2.5\)
4. ถ้า \(\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\) และ \(\vec{v}\times\vec{w}=\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k}\) แล้วค่าของ \((\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สูตรหรือว่าสมบัตของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้เลยไม่มีอะไรก็คือ
\((\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}=(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u}\)
และอีกอันก็คือ \((\vec{w}\times\vec{v})=-(\vec{v}\times\vec{w})\)
เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(\vec{v}\times\vec{u})\cdot\vec{w}&=&(\vec{w}\times\vec{v})\cdot\vec{u}\\&=&-(\vec{v}\times\vec{w})\cdot\vec{u}\\&=&-(\vec{i}+2\vec{j}+4\vec{k})\cdot (2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})\\&=&(-\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{k})\cdot (2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k})\\&=&(-1)(2)+(-2)(1)+(-4)(-3)\\&=&-2-2+12\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}
5.กำหนดให้ \(O\) เป็นจุดกำเนิด \(A=(1,-4,-3)\) และ \(B=(3,-6,2)\) ถ้า \(C\) เป็นจุดบน \(OB\) ซึ่งทำให้ \(AC\) ตั้งฉากกับ \(OB\) แล้ว \(OC\) ยากเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ควรวาดรูปดูคร่าวๆก่อนนะคับก็จะได้รูปประมาณนี้
พิจารณาสามเหลี่ยม \(OCA\) จะได้ว่า \(cos\theta=\frac{|OC|}{|OA|}\) เราจึงได้ว่า \(|OC|=|OA|cos\theta\)
ต่อไปจากรูปเราจะเห็นว่า เวกเตอร์ \(\vec{OA}\) ทำมุม \(\theta\) กับเวกเตอร์ \(\vec{OB}\) ดังนัั้นจากความรู้ผลคูณเชิงสเกลาร์จึงได้ว่า \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=|\vec{OA}||\vec{OB}|cos\theta\) นั่นก็คือ
\(\vec{OA}cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OB}|}\)
ก่อนจะหาคำตอบ ผมมาทบทวนเกี่ยวกับเวกเตอร์นิดหนึ่ง
\(\vec{OB}=(3-0)\vec{i}+(-6-0)\vec{j}+(2-0)\vec{k}=3\vec{i}-6\vec{j}+2\vec{k}\) ดังนั้น
\(|\vec{OB}|=\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{9+36+4}=7\)
\(\vec{OA}=(1-0)\vec{i}+(-4-0)\vec{j}+(-3-0)\vec{k}=\vec{i}-4\vec{j}-3\vec{k}\) ดังนั้น
\(|\vec{OA}|=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+16+9}=\sqrt{26}\)
และ\(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=(3)(1)+(-6)(-4)+(2)(-3)=3+24-6=21\)
ต่อไปเอาข้อมูลข้างบนแทนค่าเพื่อหาคำตอบเลยครับ
\begin{array}{lcl}\vec{OA}cos\theta=\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OB}|}&=&\frac{21}{7}\\&=&3\end{array}
ดังนั้น \(OC=3\quad\underline{Ans}\)
6. กำหนด \(A(a,b)\quad , B(4,-6)\) และ \(C(1,-4)\) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) ถ้า \(P\) เป็นจุดบนด้าน \(AB\) ซึ่งอยู่ห่างจากจุด \(A\) เท่ากับ \(\frac{3}{5}\) ของระยะระหว่าง \(A\) และ \(B\) และเวกเตอร์ \(\vec{CP}=\vec{i}+\vec{2j}\) แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1)
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ Pat 1 นะคับ ต้องวาดรูปคร่าวๆเพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ดูภาพประกอบด้านล่างคับ
จากรูปเรากำหนดให้จุด \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((x,y)\)
จากโจทย์จะได้
\begin{array}{lcl}\vec{CP}&=&\vec{i}+\vec{2j}\\\vec{CP}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}x-1\\y-(-4)\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\\so\\x-1=1\\y+4=2\end{array}
จาก \(x-1=1\) จะได้ \(x=2\)
และ \(y+4=2\) จะได้ \(y=-2\)
นั่นคือ \(P\) มีพิกัดอยู่ที่ \((2,-2)\)
ต่อไปเราก็หาค่า \(a\) และ \(b\) จากโจทย์เราจะได้ว่า \(\vec{PA}=\frac{3}{5}\vec{BA}\) เริ่มหาเลย
\begin{array}{lcl}\vec{PA}&=&\frac{3}{5}\vec{BA}\\\begin{bmatrix}a-2\\b+2\end{bmatrix}&=&\frac{3}{5}\begin{bmatrix}a-4\\b+6\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}5a-10\\5b+10\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}3a-12\\3b+18\end{bmatrix}\\so\\5a-10=3a-12\\5b+10=3b+18\end{array}
จาก \(5a-10=3a-12\) แก้สมการจะได้ \(a=-1\)
จาก \(5b+10=3b+18\) แก้สมการจะได้ \(b=4\)
นั่นคือ \(a+b=-1+4=3\quad\underline{AnS}\)
7. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย ถ้าเวกเตอร์ \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) แล้วเวกเตอร์ \(5\vec{u}-\vec{v}\) มีขนาดเท่ากับเท่าใด (PAT 1 ก.ค. 52/24)
วิธีทำ ข้อนี้เนื่องจาก \(3\vec{u}+\vec{v}\) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ \(\vec{u}+3\vec{v}\) ดังนั้นสองเวกเตอร์นี้ดอทกันจะเท่ากับศูนย์ นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}(3\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}+3\vec{v})&=&0\\3\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}+9\vec{u}\cdot\vec{v}+3\vec{v}\cdot\vec{v}&=&0\\3|\vec{u}|^{2}+10\vec{u}\cdot\vec{v}+3|\vec{v}|^{2}&=&0\\3(1)+10\vec{u}\cdot\vec{v}+(3)(1)&=&0\\6+10\vec{u}\cdot\vec{v}&=&0\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{6}{10}\\\vec{u}\cdot\vec{v}&=&-\frac{3}{5}\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าของ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) แล้วนะคับ เก็บค่านี้ไว้ก่อนเดี๋ยวค่อยเอามาใช้คับ
ต่อไปหาค่าของ \(5\vec{u}-\vec{v}\) เริ่มหากันเลยคับ
\begin{array}{lcl}|5\vec{u}-\vec{v}|^{2}&=&|5\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-2(5\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&5^{2}|\vec{u}|^{2}+|\vec{v}|^{2}-10(\vec{u}\cdot\vec{v})\\&=&25(1)+1-10(-\frac{3}{5})\\&=&26+6\\&=&32\\so\\|5\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{32}\\&=&4\sqrt{2}\quad\underline{AnS}\end{array}
12. กำหนดให้ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) เป็นเวกเตอร์สามมิติซึ่งทำมุมป้านต่อกัน และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประกอบมุมเป็น \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีค่าเท่ากับ \(3\) ตารางหน่วย ถ้า \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) มีขนาด \(1\) และ \(5\) หน่วย ตามลำดับแล้ว \((2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (วิชาสามัญ 55)
- -27
- -19
- 0
- 19
- 27
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าเราวาดรูปคร่าวๆ ก็จะได้ประมาณนี้คับ
จากโจทย์ \(|\vec{u}|=1\) และ \(|\vec{v}|=5\)
เราสามารถหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้จาก \(|\vec{u}\times\vec{v}|\) ซึ่ง
\(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\) เริ่มหาเลยคับผม
\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\\3&=&(1)(5)\sin\theta\\\sin\theta&=&\frac{3}{5}\quad\cdots\quad (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะคับ เดี๋ยวค่อยเอาไปใช้คับ แต่เดี๋ยวก่อนจากสมการที่ \((1)\) ถ้าเราคิดต่อหรือว่าวาดสามเหลี่ยมมุมฉากดูเราจะได้ว่า \(\cos\theta=\frac{4}{5}\) จริงไหม
อีกอันหนึ่งที่เราควรหาเก็บไว้คือ \(\vec{u}\cdot\vec{v}\)
จาก \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) เราจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\vec{u}\cdot\vec{v}&=&|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\\&=&(5)(1)\frac{4}{5}\\&=&4\end{array}
ต่อไปเราเริ่มหาคำตอบกันเลยคับ
\begin{array}{lcl}(2\vec{u}+\vec{v})\cdot (\vec{u}-\vec{v})&=&\left[(2\vec{u}+\vec{v})\cdot \vec{u}\right]-\left((2\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{v}\right)\\&=&(2\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v})\\&=&(2|\vec{u} |^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v} |^{2})\\&=&(2(1)^{2}+\vec{v}\cdot\vec{u})-(2\vec{u}\cdot\vec{v}+5^{2})\\&=&(2+4)-(2(4)+25)\\&=&6-33\\&=&-27\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์