ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์นั้นจะได้เรียนในคณิตศาสตร์ ม.4 โดยจะกล่าวถึงฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ที่อยู่ในรูป \(y=|x-a|+c \) เมื่อ \(c\) และ \(a\) เป็นจำนวนจริงครับ

เรามาทบทวน นิยามของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง \(a\) นิดหนึ่งครับ  ให้ \(a\) เป็นจำนวนจริงๆใดๆ ค่าสัมบูรณ์ของ \(a\) เขียนแทนด้วย \(|a|\)  ครับ ซึ่ง

\[|a|=\left\{\begin{matrix}
& a & when \quad a \geq 0\\ 
& -a & when \quad a< 0 
\end{matrix}\right.\]

ในบทเรียนฟังก์ชันของค่าสัมบูรณ์นี้จะสนใจกราฟของฟังชันค่าสัมบูรณ์และสนใจพวกโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ซึ่งถ้าเราวาดกราฟเป็น โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ก็ดูได้จากกราฟนั่นแหละครับ

โดเมน ก็ดูจากแกน X

เรนจ์ ก็ดูจากแกน Y 

เอาละเรามาลองทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นครับ

1. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ เมื่อกำหนดให้ 

เมื่อ \(c\in \{-3,1\}\)

1) \(y=|x|+c\)

วิธีทำ เริ่ม วาดกราฟเลยครับ ใครจะหาโปรแกรมมาช่วยวาดก็ได้ไม่ว่ากันครับ แนะนำให้โปรแกรม geogebra ครับเพราะวาดง่ายดีครับ ส่วน \(c\) เป็นค่าคงตัวที่เป็นสมาชิกในเซต \(\{-3,1\}\) ครับ

พิจารณา กรณีที่ \(c=-3\) ก่อนครับจะได้

\(y=|x|+(-3)\)  ลองเขียน ตารางออกมาครับ โดยกำหนด ค่า \(x\) แล้วหาค่า \(y\) ออกมาครับก็จะได้ประมาณนี้ครับ

x y
-3 0
-2 -1
-1 -2
0 -3
1 -2
2 -1
3 0

จากตารางก็คือ  เมื่อ \(x=-3\) จะได้ ค่า \(y\) คือ

\begin{array}{lcl}y&=&|x|+(-3)\\&=&|-3|+(-3)\\&=&3+(-3)\\&=&0\end{array}

จากตาราง เมื่อ \(x=-2\) จะได้ ค่า \(y\) คือ

\begin{array}{lcl}y&=&|x|+(-3)\\&=&|-2|+(-3)\\&=&2+(-3)\\&=&-1\end{array}

ผมทำให้ดูแค่นี้นะครับ สำหรับค่า \(x\) ตัวอื่นๆก็คำนวณเองครับไม่ยากครับ ต่อไปก็นำค่านี้ไป plot graph ครับผมก็จะได้

จากกราฟจะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ จำนวนจริงใดๆ หรือถ้าเขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ให้ดูเท่ๆหน่อยก็คือ 

\(\{x|x\in R\}\)

และเรนจ์ของฟังก์ชันนี้คือ ดูจากแกน Y ในรูปครับจะเห็นว่าเรนจ์คือจำนวนจริงมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับลบสาม หรือถ้าเขียนให้เท่ๆคือ

\(\{y|y\geq -3\}\)

พิจารณาในกรณีที่ \(c=1\)  จะได้

\(y=|x|+1\)  ทำเหมือนเดิมครับ เขียนตารางออกมาแล้วกำหนดค่า \(x\) แล้วหาค่า \(y\) ครับ จะได้

x y
-3 4
-2 3
-1 2
0 1
1 2
2 3
3 4

จากตารางก็คือ ถ้าเราให้ \(x=-3\) จะได้ \(y\) คือ

\begin{array}{lcl}y&=&|x|+1\\&=&|-3|+1\\&=&4\end{array}

ถ้า \(x=-2\) จะได้ \(y\) คือ

\begin{array}{lcl}y&=&|x|+1\\&=&|-2|+1\\&=&3\end{array}

นำข้อมูลในตารางมา plot graph จะได้ดังนี้ครับ

จากรูปจะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ \(\{x|x\in R\}\)

เรนจ์ของฟังก์ชันคือ \(\{y|y\geq 1\}\)


2. จงแก้สมการต่อไปนี้โดยอาศัยความรู้เรื่อง กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

1) \(|3+x|=0\)

วิธีทำ ข้อนี้เขาให้เราใช้กราฟในการมาช่วยแก้สมการคือต้องวาดกราฟนั่นเอง แต่เราก็มองๆคำตอบได้โดยง่ายเลย เพราะเข้าถามว่าค่าสัมบูรณ์ของอะไรเอ่ยบวกกับ 3 แล้วมีค่าเท่ากับ 0  นั่นก็คืออะไรเอ่ยหรือว่า \(x\) ต้องมีค่าเท่ากับ -3 นั่นเอง หรือถ้าวาดกราฟและดูคำตอบจากกราฟจะได้ดังนี้

จากกราฟจะเห็นว่า  \(y=0\)  เมื่อ \(x=-3\)  ดังนั้น \(|3+x|=0\)  เมื่อ \(x=-3\)

2) \(|x|-1=0\)

วิธีทำ  ข้อนี้แน่นอนตอบได้เลยว่า \(x=\pm 1\) แต่ถ้าวาดกราฟเพื่อหาคำตอบก็จะได้ดังนี้

จากกราฟจะเห็นว่า \(y=0\) เมื่อ \(x=1\) และ \(x=-1\) ดังนั้น \(|x|-1=0\) เมื่อ \(x=\pm 1\)


3. จงใช้ความรู้เรื่องกราฟเพื่อหาค่าต่อไปนี้

1) \(|x+7| \)  เมื่อ  \(x\geq -7\)

วิธีทำ ข้อนี้ลองว่ากราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ \(y=|x+7|\)  ดูครับ  แล้วลองวิเคราะห์กราฟในช่วงที่ \(x\geq -7\) ก็จะได้กราฟดังรูปครับ

จากกราฟจะเห็นว่า เมื่อ \(x\geq -7\) ทำให้เส้นสีเขียวมันพุ่งขึ้นบนไปทางบวก ซึ่งเส้นสีเขียวก็คือ กราฟของ \(y=|x+7|\) นั่นเอง นั่นก็คือ  ถ้า \(x\geq -7\)  จะทำให้ \(|x+7|\geq 0\) ครับผม