ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์นั้นจะได้เรียนในคณิตศาสตร์ ม.4 โดยจะกล่าวถึงฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ที่อยู่ในรูป \(y=|x-a|+c \) เมื่อ \(c\) และ \(a\) เป็นจำนวนจริงครับ
เรามาทบทวน นิยามของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง \(a\) นิดหนึ่งครับ ให้ \(a\) เป็นจำนวนจริงๆใดๆ ค่าสัมบูรณ์ของ \(a\) เขียนแทนด้วย \(|a|\) ครับ ซึ่ง
\[|a|=\left\{\begin{matrix}
& a & when \quad a \geq 0\\
& -a & when \quad a< 0
\end{matrix}\right.\]
ในบทเรียนฟังก์ชันของค่าสัมบูรณ์นี้จะสนใจกราฟของฟังชันค่าสัมบูรณ์และสนใจพวกโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ซึ่งถ้าเราวาดกราฟเป็น โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ก็ดูได้จากกราฟนั่นแหละครับ
โดเมน ก็ดูจากแกน X
เรนจ์ ก็ดูจากแกน Y
เอาละเรามาลองทำแบบฝึกหัดกันเลยครับ เพื่อความเข้าใจมากยิ่งขึ้นครับ
1. จงเขียนกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ เมื่อกำหนดให้
เมื่อ \(c\in \{-3,1\}\)
1) \(y=|x|+c\)
วิธีทำ เริ่ม วาดกราฟเลยครับ ใครจะหาโปรแกรมมาช่วยวาดก็ได้ไม่ว่ากันครับ แนะนำให้โปรแกรม geogebra ครับเพราะวาดง่ายดีครับ ส่วน \(c\) เป็นค่าคงตัวที่เป็นสมาชิกในเซต \(\{-3,1\}\) ครับ
พิจารณา กรณีที่ \(c=-3\) ก่อนครับจะได้
\(y=|x|+(-3)\) ลองเขียน ตารางออกมาครับ โดยกำหนด ค่า \(x\) แล้วหาค่า \(y\) ออกมาครับก็จะได้ประมาณนี้ครับ
x | y |
-3 | 0 |
-2 | -1 |
-1 | -2 |
0 | -3 |
1 | -2 |
2 | -1 |
3 | 0 |
จากตารางก็คือ เมื่อ \(x=-3\) จะได้ ค่า \(y\) คือ
\begin{array}{lcl}y&=&|x|+(-3)\\&=&|-3|+(-3)\\&=&3+(-3)\\&=&0\end{array}
จากตาราง เมื่อ \(x=-2\) จะได้ ค่า \(y\) คือ
\begin{array}{lcl}y&=&|x|+(-3)\\&=&|-2|+(-3)\\&=&2+(-3)\\&=&-1\end{array}
ผมทำให้ดูแค่นี้นะครับ สำหรับค่า \(x\) ตัวอื่นๆก็คำนวณเองครับไม่ยากครับ ต่อไปก็นำค่านี้ไป plot graph ครับผมก็จะได้
จากกราฟจะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ จำนวนจริงใดๆ หรือถ้าเขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ให้ดูเท่ๆหน่อยก็คือ
\(\{x|x\in R\}\)
และเรนจ์ของฟังก์ชันนี้คือ ดูจากแกน Y ในรูปครับจะเห็นว่าเรนจ์คือจำนวนจริงมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับลบสาม หรือถ้าเขียนให้เท่ๆคือ
\(\{y|y\geq -3\}\)
พิจารณาในกรณีที่ \(c=1\) จะได้
\(y=|x|+1\) ทำเหมือนเดิมครับ เขียนตารางออกมาแล้วกำหนดค่า \(x\) แล้วหาค่า \(y\) ครับ จะได้
x | y |
-3 | 4 |
-2 | 3 |
-1 | 2 |
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | 3 |
3 | 4 |
จากตารางก็คือ ถ้าเราให้ \(x=-3\) จะได้ \(y\) คือ
\begin{array}{lcl}y&=&|x|+1\\&=&|-3|+1\\&=&4\end{array}
ถ้า \(x=-2\) จะได้ \(y\) คือ
\begin{array}{lcl}y&=&|x|+1\\&=&|-2|+1\\&=&3\end{array}
นำข้อมูลในตารางมา plot graph จะได้ดังนี้ครับ
จากรูปจะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ \(\{x|x\in R\}\)
เรนจ์ของฟังก์ชันคือ \(\{y|y\geq 1\}\)
2. จงแก้สมการต่อไปนี้โดยอาศัยความรู้เรื่อง กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
1) \(|3+x|=0\)
วิธีทำ ข้อนี้เขาให้เราใช้กราฟในการมาช่วยแก้สมการคือต้องวาดกราฟนั่นเอง แต่เราก็มองๆคำตอบได้โดยง่ายเลย เพราะเข้าถามว่าค่าสัมบูรณ์ของอะไรเอ่ยบวกกับ 3 แล้วมีค่าเท่ากับ 0 นั่นก็คืออะไรเอ่ยหรือว่า \(x\) ต้องมีค่าเท่ากับ -3 นั่นเอง หรือถ้าวาดกราฟและดูคำตอบจากกราฟจะได้ดังนี้
จากกราฟจะเห็นว่า \(y=0\) เมื่อ \(x=-3\) ดังนั้น \(|3+x|=0\) เมื่อ \(x=-3\)
2) \(|x|-1=0\)
วิธีทำ ข้อนี้แน่นอนตอบได้เลยว่า \(x=\pm 1\) แต่ถ้าวาดกราฟเพื่อหาคำตอบก็จะได้ดังนี้
จากกราฟจะเห็นว่า \(y=0\) เมื่อ \(x=1\) และ \(x=-1\) ดังนั้น \(|x|-1=0\) เมื่อ \(x=\pm 1\)
3. จงใช้ความรู้เรื่องกราฟเพื่อหาค่าต่อไปนี้
1) \(|x+7| \) เมื่อ \(x\geq -7\)
วิธีทำ ข้อนี้ลองว่ากราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ \(y=|x+7|\) ดูครับ แล้วลองวิเคราะห์กราฟในช่วงที่ \(x\geq -7\) ก็จะได้กราฟดังรูปครับ
จากกราฟจะเห็นว่า เมื่อ \(x\geq -7\) ทำให้เส้นสีเขียวมันพุ่งขึ้นบนไปทางบวก ซึ่งเส้นสีเขียวก็คือ กราฟของ \(y=|x+7|\) นั่นเอง นั่นก็คือ ถ้า \(x\geq -7\) จะทำให้ \(|x+7|\geq 0\) ครับผม