การคูณ การหาร จำนวนติดรูทหรือบางคนอาจจะเรียกว่าการคูณ การหารของจำนวนที่ติดกรณฑ์ ติดรากอะไรก็ว่าไปครับ มาดูตัวอย่างกันค่อยๆฝึกไม่ยากครับ ง่ายถึงง่ายมากๆ ไปดูกันเลย
1. จงหาผลคูณของจำนวนที่ติดรูทต่อไปนี้
1) \(\sqrt{6}\times\sqrt{2}\)
วิธีทำ ตัวไหนถอดรูปได้ก็ถอดก่อน แล้วค่อยคูณกัน แต่ถ้าถอดไม่ได้ก็ลองคูณกันดูก่อนแล้วค่อยถอดรูทครับ ไปดูการทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\sqrt{6}\times\sqrt{2}&=&\sqrt{6\times 2}\\&=&\sqrt{12}\\&=&\sqrt{4\times 3}\\&=&2\sqrt{3}\quad\underline{Ans}\end{array}
2) \(3\sqrt{2}\times \sqrt{8}\)
วิธีทำ อันไหนพอถอดรูทได้ให้ถอดก่อนนะคับ
\begin{array}{lcl}3\sqrt{2}\times\sqrt{8}&=&3\sqrt{2}\times\sqrt{4\times 2}\\&=&3\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}\\&=&3\times 2\times \sqrt{2}\times\sqrt{2}\\&=&6\times 2\\&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}
3) \(\sqrt[3]{3}\times\sqrt[3]{9}\)
วิธีทำ สองพจน์นี้เป็นรากที่สามเหมือนกัน แสดงว่าจับมาคูณกันได้ครับ
\begin{array}{lcl}\sqrt[3]{3}\times\sqrt[3]{9}&=&\sqrt[3]{3\times 9}\\&=&\sqrt[3]{27}\\&=&3\quad\underline{Ans}\end{array}
4) \(\sqrt[3]{-2}\times 3\sqrt[3]{4}\)
วิธีทำ เป็นรากที่สามเหมือนกันจับตัวเลขข้างในรากที่สามคูณกันได้เลยครับ
\begin{array}{lcl}\sqrt[3]{-2}\times3\sqrt[3]{4}&=&3\sqrt[3]{-2\times 4}\\&=&3\sqrt[3]{-8}\\&=&3\times (-2)\\&=&-6\end{array}
5)\(\sqrt{3}\times \sqrt[3]{2}\)
วิธีทำ จะเห็นว่ามันคนละราก คือรากที่สองกับรากที่สามคูณกัน ดังนั้นต้องทำให้เป็นรากเดียวกันคือ คือต้องทำให้เป็นรากที่ 6 อย่าลืมไปอ่านลิงค์นี้นะ เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะเผื่อบางคนไม่เข้าใจ เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\sqrt{3}\times \sqrt[3]{2}&=&3^{\frac{1}{2}}\times 2^{\frac{1}{3}}\\&=&3^{\frac{1}{2}\times \frac{3}{3}}\times 2^{\frac{1}{3}\times \frac{2}{2}}\\&=&3^{\frac{3}{6}}\times 2^{\frac{2}{6}}\\&=&\sqrt[6]{3^{3}}\times \sqrt[6]{2^{2}}\\&=&\sqrt[6]{27}\times\sqrt[6]{4}\\&=&\sqrt[6]{108}\end{array}
6) \(\sqrt[4]{9}\times\sqrt{5}\)
วิธีทำ ข้อนี้มันคนละรากต้องทำให้เป็นรากเดียวกันก่อน ค่อยคูณกันครับ ต้องทำให้เป็นรากที่ 4 ครับจะได้
\begin{array}{lcl}\sqrt[4]{9}\times\sqrt{5}&=&9^{\frac{1}{4}}\times 5^{\frac{1}{2}}\\&=&9^{\frac{1}{4}}\times 5^{\frac{1}{2}\times\frac{2}{2}}\\&=&9^{\frac{1}{4}}\times 5^{\frac{2}{4}}\\&=&\sqrt[4]{9\times 25}\\&=&\sqrt[4]{225}\\&=&\sqrt[4]{15^{2}}\\&=&15^{\frac{2}{4}}\\&=&15^{\frac{1}{2}}\\&=&\sqrt{15}\end{array}
7)\(\sqrt[5]{3}\times \sqrt{2}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมทำให้เป็นรากเดียวกันก่อนครับ
\begin{array}{lcl}\sqrt[5]{3}\times\sqrt{2}&=&3^{\frac{1}{5}}\times 2^{\frac{1}{2}}\\&=&3^{\frac{1}{5}\times\frac{2}{2}}\times 2^{\frac{1}{2}\times\frac{5}{5}}\\&=&3^{\frac{2}{10}}\times 2^{\frac{5}{10}}\\&=&\sqrt[10]{3^{2}}\times \sqrt[10]{2^{5}}\\&=&\sqrt[10]{9}\times\sqrt[10]{32}\\&=&\sqrt[10]{9\times 32}\\&=&\sqrt[10]{288}\end{array}
8)\((\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+\sqrt{3})\)
วิธีทำ เป็นการคูณกันครับ ก็เหมือนคูณพหุนามธรรมดาเนียะแหละครับ หน้าคูณหน้า หลังคูณหลัง ใกล้คูณใกล์ ไกลคูณไกล เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+\sqrt{3})&=&(\sqrt{2}\sqrt{2})+(-1)\sqrt{3}+(-1)\sqrt{2}+(\sqrt{2})\sqrt{3}\\&=&2-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}\end{array}
9)\((3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^{2}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมคือคูณกันนั่นเอง
\begin{array}{lcl}(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})^{2}&=&(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})\\&=&(3\sqrt{2})3\sqrt{2}+(2\sqrt{3})2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})2\sqrt{3}\\&=&(9\times 2)+(4\times 3)+6\sqrt{6}+6\sqrt{6}\\&=&18+12+12\sqrt{6}\\&=&30+12\sqrt{6}\end{array}
2. ถ้า \(a=-5\) และ \(b=8\) แล้ว \(\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}\) มีค่าเท่าใด [o-net59/4]
วิธีทำ ข้อนี้เวลาทำต้องระวังนะครับ โดยเฉพาะอันนี้ \(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\) เมื่อ\(n\) เป็นจำนวนคู่
เริ่มทำกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\sqrt[6]{a^{2}b}\sqrt[6]{a^{4}b}&=&\sqrt[6]{a^{2}ba^{4}b}\\&=&\sqrt[6]{a^{6}b^{2}}\\&=&\sqrt[6]{(-5)^{6}(8)^{2}}\\&=&\sqrt[6]{(-5)^{6}}\sqrt[6]{8^{2}}\\&=&|-5|8^{\frac{2}{6}}\\&=&(5)8^{\frac{1}{3}}\\&=&(5)\sqrt[3]{8}\\&=&(5)(2)\\&=&10\end{array}
3. \((\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}})^{2}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด[o-net51/1]
วิธีทำ กระจายกำลังสองโดยใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์ก็ได้หรือคูณเหมือนข้อข้างบนก็ได้ เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}})^{2}&=&\frac{5}{6}-2\sqrt{\frac{5}{6}}\sqrt{\frac{2}{15}}+\frac{2}{15}\\&=&\frac{5}{6}+\frac{2}{15}-2\sqrt{\frac{5}{6}\times\frac{2}{15}}\\&=&\frac{75+12}{90}-2\sqrt{\frac{1}{9}}\\&=&\frac{87}{90}-\frac{2}{3}\\&=&\frac{87-60}{90}\\&=&\frac{27}{90}\\&=&\frac{3}{10}\end{array}
4.\(|\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}|-|2-\sqrt{2}|\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [o-net50/1]
วิธีทำ ข้อนี้ต้องมีความรู้เรื่องค่าสัมบูรณ์(Absolute) ด้วยนะครับถึงจะทำได้ใครที่ลืมแล้วก็ไปอ่านทบทวนตามลิงค์คร้บ ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกถึงจะทำต่อได้วิธีการถอดก็อ่านตามลิงค์ครับ เริ่มทำกันเลยครับ
พิจารณา \(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\begin{array}{lcl}\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}&=&\frac{1}{2}-\frac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\&=&\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}
จะเห็นว่า \(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}<0\) ดังนั้น ถอดค่าสัมบูรณ์ออกมาจะได้ดังนี้
\[|\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}|=|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}|=-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})\]
พิจารณา \(2-\sqrt{2}\)
เนื่องจาก \(2-\sqrt{2}>0\) ดังนั้น \(|2-\sqrt{2}|=2-\sqrt{2}\)
พอถอดค่าสัมบูรณ์ออกได้แล้วเริ่มหาคำตอบกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}|\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}|-|2-\sqrt{2}|&=&|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-|2-\sqrt{2}|\\&=&-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-(2-\sqrt{2})\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}-2+\sqrt{2}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}-\frac{4}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}\\&=&\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{5}{2}\end{array}
15. \((1-\sqrt{2})^{2}(2+\sqrt{8})^{2}(1+\sqrt{2})^{3}(2-\sqrt{8})^{3}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด [o-net50/3]
วิธีทำ ข้อนี้ดูเผินๆถ้ามองไม่ออกนี้ยากครับ แต่ถ้ามองออกข้อนี้ง่ายมากครับ เดี๋ยวผมจะแนะวิธีในการทำครับ ดูตรงนี้นะลองเอาอันนี้คูณกันดูครับ
\((1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1\) แต่มันมี 2 คู่นะและจะเหลือ \((1+\sqrt{2})\) หนึ่งตัวที่ไม่มีคู่ครับอีกอันก็คือเอาคู่นี้คูณกันดู
\((2+\sqrt{8})(2-\sqrt{8})=(-4)\) แต่มันมี 2 คู่นะและจะเหลือ \((2-\sqrt{8})\) หนึ่งตัวที่ไม่มีคู่
เพราะฉะนั้นเรามาดูวิธีการทำแบบเต็มๆเลย ค่อยๆคิดตามนะครับ
\begin{array}{lcl}(1-\sqrt{2})^{2}(2+\sqrt{8})^{2}(1+\sqrt{2})^{3}(2-\sqrt{8})^{3}&=&(-1)(-1)(-4)(-4)(1+\sqrt{2})(2-\sqrt{8})\\&=&(16)(2-\sqrt{16}+2\sqrt{2}-\sqrt{8})\\&=&(16)(-2)\\&=&-32\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์