วันนี้เราจะคูณเศษส่วนที่ติดรูทหรือติดกรณฑ์ และจะทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์หรือไม่ติดรูทด้วย มีหลักการง่ายๆ เลยครับ
ลองพิจารณาตัวนี้ดูสมมติผมมีก้อนๆหนึ่งคือก้อนนี้ \((\sqrt{3}+\sqrt{2})\) ผมต้องการทำก่อนนี้ไม่ให้มีติดรูท วิธีการทำคือต้องหาตัวมาคูณครับลองเอาตัวนี้มาคูณดู \((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3-2=1\) เห็นไหมเอ่ยคำตอบคือไม่ติดกรณฑ์แล้วมีค่าเท่ากับ \(1\) ดังนั้นการทำให้ไม่ติดกรณฑ์คือพยายามหาตัวมาคูณกันครับตัวที่เอามาคูณกันแล้วกรณฑ์หาย เขาจะเรียกว่า เป็นคอนจูเกตกัน (conjugate) นั่นก็คือ
คอนจูเกตของ \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) คือ \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) ในทำนองเดียวกัน
คอนจูเกตของ \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) คือ \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
คอนจูเกตของ \(1-\sqrt{2}\) คือ \(1+\sqrt{2}\)
คอนจูเกตของ \(5+\frac{2}{3}\) คือ \(5-\frac{2}{3}\) นั่นเองครับ พอมองออกไหมเอ่ย
สรุปเป็นหลักการง่ายๆคือ
ให้ \(x\) และ \(y\) เป็นจำนวนจริงใดๆ
คอนจูเกตของ \(x+y\) คือ \(x-y\) นั่นเองครับ
ต่อไปเรามาลองทำแบบฝึกหัดกันครับผม
1. จงทำให้จำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์
1) \(\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)
วิธีทำ สังเกตเห็นว่าคอนจูเกตของ \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) คือ \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) ทำต่อเลยครับคือเอา \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) คูณเข้าทั้งเศษและส่วนครับผมจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}&=&\frac{2\times \sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})\times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}\\&=&\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{(5-3)}\\&=&\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2}\\&=&\sqrt{5}+\sqrt{3}\end{array}
2) \(\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับ ทำแค่ก้อนนี้ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ไม่ให้ติดกรณฑ์แล้วก็ทำการบวกกันต่อครับเริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}&=&\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=&\frac{\sqrt{3}\times 2}{3\times 2}+\frac{\sqrt{3}\times 3}{2\times 3}\\&=&\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{6}\\&=&\frac{5\sqrt{3}}{6}\end{array}
3)\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องคิดอะไรมากเพราะง่าย เริ่มทำเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{1}{\sqrt{3}}&=&\frac{1\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\&=&\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}
4) \(\frac{2}{\sqrt{3}+1)}\)
วิธีทำ ทำเหมือนเดิมเอาคอนจูเกตของตัวส่วนคูณเข้าทั้งเศษและส่วน
\begin{array}{lcl}\frac{2}{\sqrt{3}+1}&=&\frac{2\times (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\&=&\frac{2\sqrt{3}-2}{3-1}\\&=&\frac{2\sqrt{3}-2}{2}\\&=&\sqrt{3}-1\end{array}
5) \((\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}\)
วิธีทำ ข้อนี้คงต้องยกกำลังสองก่อนแล้วค่อยทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์
\begin{array}{lcl}(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}&=&(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{2}-2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{6}}{2}+(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}\\&=&\frac{2}{3}-2+\frac{3}{2}\\&=&-\frac{17}{6}\end{array}
6) \(\frac{1}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)
วิธีทำ เอาคอนจูเกตขอตัวส่วนคูณเข้าทั้งเศษและส่วนเหมือนเดิมครับผม เริ่มทำเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{1}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}&=&\frac{1\times (2\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(2\sqrt{2}+\sqrt{3})(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}\\&=&\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{8-3}\\&=&\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}\end{array}
7) \(\frac{10\sqrt{6}-2\sqrt{7}}{3\sqrt{6}+2\sqrt{7}}\)
วิธีทำ ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับ เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\frac{10\sqrt{6}-2\sqrt{7}}{3\sqrt{6}+2\sqrt{7}}&=&\frac{(10\sqrt{6}-2\sqrt{7})\times (3\sqrt{6}-2\sqrt{7})}{(3\sqrt{6}+2\sqrt{7})\times (3\sqrt{6}-2\sqrt{7})}\\&=&\frac{180+28-6\sqrt{42}-20\sqrt{42}}{54-28}\\&=&\frac{208-26\sqrt{42}}{26}\\&=&\frac{208}{26}-\frac{26\sqrt{42}}{26}\\&=&8-\sqrt{42}\end{array}
ต่อไปเรามาซ้อมทำข้อสอบ o-net บ้างครับ เรื่องนี้ออกไม่ยากครับแต่ต้องตั้งใจทำดีๆ
2. \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}-1}\div \frac{\sqrt{2}+2}{2-\sqrt{3}}\) มีค่าเท่ากับข้อใด [o-net56/5]
วิธีทำ ข้อนี้ทำตัวส่วนไม่ให้ติดกรณฑ์แล้วจะเจอคำตอบเองครับ
\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}-1}\div \frac{\sqrt{2}+2}{2-\sqrt{3}}&=&(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{2}-1}\times\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1})\div (\frac{\sqrt{2}+2}{2-\sqrt{3}}\times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}})\\&=&[(\sqrt{3}+2)(\sqrt{2}+1)]\div [(\sqrt{2}+2)(2+\sqrt{3})]\\&=&(\sqrt{2}+1)\div (\sqrt{2}+2)\\&=&\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}\\&=&\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+2}\times \frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}-2}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}
3. \(\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}}\right)^{2}\) มีค่าเท่าใด[o-net51/1]
วิธีทำ ข้อนี้ก็ยกกำลังสองก่อนครับ ใช้กำลังสองสมบูรณ์เลยง่ายดี
\begin{array}{lcl}\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}}\right)^{2}&=&(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}})^{2}-2\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}}+(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{15}})^{2}\\&=&\frac{5}{6}-\frac{2}{3}+\frac{2}{15}\\&=&\frac{1}{6}+\frac{2}{15}\\&=&\frac{27}{90}\\&=&\frac{3}{10}\end{array}
4. ถ้า \(a=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\) แล้ว \(\sqrt{a+\frac{1}{a}-2}\) มีค่าเท่ากับเท่าใด [o-net57/4]
วิธีทำ ข้อนี้ใช้ความรู้ทำให้ตัวส่วนไม่ติดกรณฑ์ครับ เริ่มจากทำตัวนี้ก่อนเลยไม่ให้ติดกรณฑ์
\begin{array}{lcl}a&=&\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\\&=&\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\times \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}\\&=&9+4\sqrt{5}\end{array}
ต่อทำต่ออีกคือหาค่า \(\frac{1}{a}\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{1}{a}&=&\frac{1}{9+4\sqrt{5}}\\&=&\frac{1}{9+4\sqrt{5}}\times \frac{9-4\sqrt{5}}{9-4\sqrt{5}}\\&=&9-4\sqrt{5}\end{array}
ดังนั้นจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\sqrt{a+\frac{1}{a}-2}&=&\sqrt{9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}-2}\\&=&\sqrt{16}\\&=&4\end{array}
5.ถ้า \(x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\) และ \(y=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\) แล้ว \(x^{2}-4xy+y^{2}\) เท่ากับเท่าใด [o-net54/23]
วิธีทำ ก็ทำไม่ให้ติดกรณฑ์เหมือนเดิมครับ เริ่มจาก \(x\) ก่อนแล้วกันครับ ค่อยๆดูตามนะผมอ่านจะเขียนลัดบ้าง เอากระดาษมาทดคิดตามแล้วกัน
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\\&=&\frac{5+2\sqrt{6}}{-1}\\&=&-5-2\sqrt{6}\end{array}
ต่อไปหาค่าของ \(x^{2}\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}x^{2}&=&(-5-2\sqrt{6})^{2}\\&=&49+20\sqrt{6}\end{array}
ต่อไปทำ \(y\) ไม่ให้ตัวส่วนติดกรณฑ์บ้างครับ จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\\&=&\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\\&=&\frac{5-2\sqrt{6}}{-1}\\&=&-5+2\sqrt{6}\end{array}
ต่อไปหาค่าของ \(y^{2}\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}y^{2}&=&(-5+2\sqrt{6})^{2}\\&=&49-20\sqrt{6}\end{array}
ต่อไปหาค่าของ \(-4xy\) บ้างจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}-4xy&=&4(-5-2\sqrt{6})(-5+2\sqrt{6})\\&=&-4(25-24)\\&=&-4\end{array}
ต่อไปก็เริ่มกระบวนการหาคำตอบคับ
\begin{array}{lcl}x^{2}-4xy+y^{2}&=&49+20\sqrt{6}-4+49-20\sqrt{6}\\&=&98-4\\&=&94\end{array}
6. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
1) \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\)
วิธีทำ ข้อนี้เราจะทำให้เป็นรูปอย่างง่ายโดยการ คูณไขว้นะครับผม การคูณไขว้ เป็นอย่างไรนั้นไม่ยากลอง ค่อยๆอ่านดูครับผม เริ่มทำกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}&=&\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}\\&=&\frac{3-2\sqrt{3}+1+3+2\sqrt{3}+1}{3-1}\\&=&\frac{8}{2}\\&=&4\end{array}
2) \(\frac{4(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1}-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้การคูณไขว้เหมือนเดิมครับ ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับ เริ่มทำกันเลยครับผม
\begin{array}{lcl}\frac{4(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1}-\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}&=&\frac{(4\sqrt{3}+4)(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{3})}\\&=&\frac{(8\sqrt{3}-4\sqrt{3}+8-12)-(2\sqrt{3}-\sqrt{3}+3-2)}{2\sqrt{3}+\sqrt{3}-2-3}\\&=&\frac{8\sqrt{3}-4\sqrt{3}+8-12-2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3+2}{3\sqrt{3}-5}\\&=&\frac{3\sqrt{3}-5}{3\sqrt{3}-5}\\&=&1\end{array}
7. ถ้า \(x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\) และ \(y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\) แล้ว \(x^{2}-4xy+y^{2}\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่อง conjugate มาช่วยนะครับผม เริ่มทำเลยครับ
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\\&=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\\&=&\frac{6+2\sqrt{18}+3}{6-3}\\&=&\frac{9+6\sqrt{2}}{3}\\&=&3+2\sqrt{2}\end{array}
ต่อไปหา \(x^{2}\) นะครับ
\begin{array}{lcl}x&=&3+2\sqrt{2}\\x^{2}&=&(3+2\sqrt{2})^{2}\\x^{2}&=&3^{2}+2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})&{2}\\x^{2}&=&9+12\sqrt{2}+8\\x^{2}&=&17+12\sqrt{2}\end{array}
ทำต่อเลยครับคือ หา \(y^{2}\) ต่อเลยครับผม
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\\&=&\frac{6-2\sqrt{18}+3}{6-3}\\&=&\frac{9-6\sqrt{2}}{3}\\&=&3-2\sqrt{2}\end{array}
เริ่มหา \(y^{2}\) กันเลยนะครับ
\begin{array}{lcl}y&=&3-2\sqrt{2}\\y^{2}&=&(3-2\sqrt{2})^{2}\\y^{2}&=&3^{2}-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^{2}\\y^{2}&=&9-12\sqrt{2}+8\\y^{2}&=&17-12\sqrt{2}\end{array}
ต่อไปหาสิ่งที่โจทย์ต้องการเลยครับ แค่เอาสิ่งที่เราหาไว้ไปแทนค่า ก็จะได้แล้วครับ
\begin{array}{lcl}x^{2}-4xy+y^{2}&=&17+12\sqrt{2}-4\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}+17-12\sqrt{2}\\&=&17+12\sqrt{2}-4+17-12\sqrt{2}\\&=&13+17\\&=&30\quad\underline{Ans}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์