โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน ก็จะเหมือนกันกับ โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
ผมจะยกตัวอย่างการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันให้ดู เยอะๆ ทั้งที่เป็นแบบฝึกหัดในหนังสือเรียน และข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย ก่อนที่จะทำแบบฝึกหัด เรามาทำเข้าใจสัญลักษณ์ต่างๆกันก่อน
\(D_{f}\) คือ โดเมนของฟังก์ชัน \(f\)
\(R_{f}\) คือ เรนจ์ของฟังก์ชัน \(f\)
ความหมายของโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน
สมมติเรามีฟังก์ชัน \(f\) คือ \(f=\{(1,2),(3,4),(-5,0),(-2,11)\}\)
โดเมนของ \(f\) คือ \(D_{f}=\{1,3,-5,-2\}\) คือสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน \(f\)
เรนจ์ของ \(f\) คือ \(R_{f}=\{2,4,0,11\}\) คือสมาชิกตัวหลังของคูอันดับใน \(f\)
EX.1 กำหนดฟังก์ชัน \(g\) ซึ่ง \(g=\{(4,5),(0,8),(-3,8),(\frac{1}{2},0)\}\) จงหา \(D_{g}\) และ \(R_{g}\)
วิธีทำ
\(D_{g}=\{4,0,-3,\frac{1}{2}\}\)
\(R_{g}=\{5,8,0\}\)
EX.2 กำหนดฟังก์ชัน \(f\) ซึ่ง \(f(x)=3x+1\) เมื่อ \(-4 \leq x \leq 3\) จงหา \(D_{f}\) และ \(R_{f}\)
วิธีทำ
ข้อนี้ผมจะวาดกราฟของฟังก์นี้ให้ดูด้วยนะคับ เพื่อให้มองเห็นภาพชัดเจน ว่าโดเมนและเรนจ์อยู่ในช่วงไหน แต่จริงๆถ้าเข้าใจก็ไม่ยากคับ
เนื่องจาก โจทย์เขากำหนด \(-4 \leq x \leq 3\) ดังนั้น \(D_{f}=\{x| -4 \leq x \leq 3\}\)
และถ้า \(x=-4\) จะได้ \(f(-4)=3(-4)+1=-11\)
และถ้า \(x=3\) จะได้ \(f(3)=3(3)+1=10\)
นั่นคือค่าของ \(y\) จะอยู่ในช่วงนี้ \(-11\leq y\leq 10\) ดังนั้น \(R_{f}=\{y| -11\leq y\leq 10\}\)
ดูรูปประกอบด้านล่างนะคับ
EX.3 กำหนดฟังก์ชัน \(f\) ซึ่ง \(f(x)=\frac{6x+7}{2x+3}\) จงหา \(D_{f}\) และ \(R_{f}\)
วิธีทำ ถ้าโจทย์ให้ฟังก์ชันมาเป็นสมการแบบนี้ ซึ่งเป็นสมการเศษส่วน วิธีการหาโดเมนและเรนจ์จะใช้วิธีการจัดสมการให้อยู่ในรูปของ \(y=?\) และ \(x=?\) แล้วก็พิจาณาหาค่า \(x\) และ \(y\) ที่เป็นไปได้ เป็นไปไม่ได้ เริ่มทำเลยคับ
หาโดเมน (x)
จาก \( y=\frac{6x+7}{2x+3}\)
จะเห็นได้ว่า ถ้า \(x=\frac{-3}{2}\) จะทำให้ตัวส่วนในฟังก์ชันมีค่าเท่า \(0\) ซึ่งเศษส่วน ตัวส่วนจะต้องไม่เป็น \(0\) ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชันนี้เป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ แต่ต้องไม่ใช่ \(\frac{-3}{2}\)
นั่นคือ \(\color{red}{D_{f}=R-\{\frac{-3}{2}\}}\)
หาเรนจ์ (y)
เราจะจัดสมการฟังก์ชัน \( y=\frac{6x+7}{2x+3}\) ให้อยู่ในรูปของสมการ \(x=?\) แล้วก็วิเคราะห์หาค่า \(y\) ที่สามารถเป็นไปได้และเป็นไปไม่ได้ เริ่มเลยคับ
\begin{array}{lcl}y&=&\frac{6x+7}{2x+3}\\y(2x+3)&=&6x+7\\2xy+3y&=&6x+7\\2xy-6x&=&7-3y\\x(2y-6)&=&7-3y\\x&=&\frac{7-3y}{2y-6}\quad\cdots (1)\end{array}
จากสมการ \((1)\) เราจะเห็นว่าค่า \(y\) จะเท่ากับ \(3\) ไม่ได้ เพราะจะทำให้ตัวส่วนเป็น \(0\) ดังนั้น เรนจ์เป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ยกเว้น \(3)\)
นั่นคือ \(\color{red}{R_{f}=R-\{3\}}\)
Ex.3 กำหนดฟังก์ชัน \(f\) ซึ่ง \(f(x)=\sqrt{x^{2}+2}\) จงหา \(D_{f}\) และ \(R_{f}\)
วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่าตัวฟังก์ชันเราจะมีเครื่องหมายรูท และสิ่งที่เราควรคำนึงถึงก็คือ ข้างในรูทต้องไม่ติดลบ คือต้อง \(\geq 0\)
หาโดเมน (x)
จาก \(y=\sqrt{x^{2}+2}\)
จะเห็นได้ว่าการที่เราจะหาค่า \(y\) ได้ \(x^{2}+2\) ต้อง \(\geq 0\) นั่นคือ
\(x^{2}+2\geq 0\) ซึ่งเราจะเห็นได้ว่า ไม่ว่า \(x\) จะเป็นจำนวนจริงอะไรก็ตาม นำมายกกำลังสองแล้วบวก 2 ยังไงก็มากกว่า 0 แน่นอน ดังนั้น \(x\) ของเราเป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ ดังนั้น \(\color{red}{D_{f}=R}\)
หาเรนจ์ (y)
เนื่องจาก \(y=\sqrt{x^{2}+2}\) ดังนั้น \(y \geq 0\) เสมอ
\begin{array}{lcl}y&=&\sqrt{x^{2}+2}\\y^{2}&=&x^{2}+2\\x^{2}&=&y^{2}-2\\x&=&\pm\sqrt{y^{2}-2}\end{array}
เนื่องจาก \(y^{2}-2\) ต้อง \(\geq 0\) เสมอ นั้นคือ
\begin{array}{lcl}y^{2}-2&\geq&0\\y^{2}&\geq&2\\y&\geq&\pm\sqrt{2}\end{array}
แต่ \(y\geq 0\) ดังนั้น \(y\geq\sqrt{2}\) จึงทำให้ได้ว่า \(R_{f}=\{y|y\geq \sqrt{2}\}\)
Ex.4 ถ้า \(r_{1}=\{(x,y)\in R\times R |y=\sqrt{10-\sqrt{x+3}}\}\) และ
\(r_{2}=\{(x,y)\in R\times R |y=\frac{9}{\sqrt{x^{2}-3x-4}}\}\) แล้ว \(D_{r_{1}} \cap D_{r_{2}}\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (กสพท คณิต 1 (มี.ค.2565))
- \([-3,-1]\cup (4,97]\)
- \([-3,-1)\cup (3,97)\)
- \([-3,-1]\)
- \((3,97)\)
- \(4,97]\)
วิธีทำ
หา Domain ของ \(r_{1}\)
จาก \(y=\sqrt{10-\sqrt{x+3}}\) นั่นคือ \(10-\sqrt{x+3}\) และ \(x+3\) ต้อง \(\geq 0\)
พิจารณา \(10-\sqrt{x+3}\)
\begin{array}{lcl}10-\sqrt{x+3}&\geq&0\\\sqrt{x+3}&\leq& 10\\x+3&\leq & 100\\x&\leq&97\end{array}
พิจารณา \(\sqrt{x+3}\)
\begin{array}{lcl}x+3&\geq&0\\x&\geq& -3\end{array}
ดังนั้น \(D_{r_{1}}\) ต้องเอาคำตอบมาอินเตอร์เซคกันจะได้ดังรูป
\(D_{r_{1}}=[-3,97]\)
หา Domain ของ \(r_{2}\)
จาก \(y=\frac{9}{\sqrt{x^{2}-3x-4}}\) นั่นคือ \(x^{2}-3x-4\) ต้อง \(\geq 0\)
\begin{array}{lcl}x^{2}-3x-4&\geq&0\\(x-4)(x+1)&\geq 0\end{array}
ดังนั้น Domain ของ \(r_{2}\) อยู่ในช่วง \( (-\infty ,-1]\cup [4,\infty )\) ดังรูป
นั่นคือ \(D_{r_{1}}\cap D_{r_{2}}=[-3,97] \cap ([-\infty ,-1]\cup [4,\infty ])\) ซึ่งจะได้ดังรูป ใช้รูปในการหาคำตอบจะง่ายกว่าครับ
