การใช้แผนภาพเวน-ออยเลอร์แก้โจทย์ปัญหา ในบทความนี้ผมจะยกตัวอย่างการแก้โจทย์ปัญหาโดยการนำแผนภาพเวน-ออยเลอร์มาช่วยในการแก้ปัญหา  บางปัญหาที่เราใช้แผนภาพเวน-ออยเลอร์มาช่วยก็จะทำให้เรามองเห็นปัญหาได้กว้างและง่ายเห็นภาพชัดเจนมากขึ้น  ทำให้สะดวกในการแก้โจทย์ปัญหา มาดูตัวอย่างโจทย์กันเลยครับ

ตัวอย่างที่ 1  นักเรียนชายชั้น ม. 4/8 จำนวน 50 คน ชอบเล่นฟุตบอล 25 คน ชอบเล่นบาสเกตบอล 20 คน และชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล 5  คน อยากทราบว่า

1) ชอบเล่นฟุตบอลอย่างเดียวกี่คน

2) ชอบเล่นบาสเกตบอลอย่างเดียวกี่คน

3) มีกี่คนที่ไม่ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล

วิธีทำ  มาเคราะห์โจทย์คร่าวๆก่อนครับ จะเห็นว่า มีเซตอยู่ 2  เซต คือ

เซตของนักเรียนที่ชอบเล่นฟุตบอล 

และ 

เซตของนักเรียนที่ชอบเล่นบาสเกตบอล

และอีกอันหนึ่งก็คือมีนักเรียนชายทั้งหมด 50 คน ความหมายก็คือ n(U)=50  ก็จำนวนสมาชิกทั้งหมดในนี้คือ 50 คน

ผมกำหนดให้

  A  คือ เซตของนักเรียนที่ชอบเล่นฟุตบอล

  B  คือ  เซตของนักเรียนที่ชอบเล่นบาสเกตบอล

สังเกตตรงที่โจทย์บอกว่า  ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล 5  คน ตรงนี้สำคัญมาก

จากตรงนี้เราจะได้ว่า \(n(A\cap B)=5\)  อย่าลืมนะอินเตอร์เซค คือการมีสมาชิกร่วมก้ันในที่นี้ก็คือชอบเล่นกีฬาชนิดเดียวกันนั่นเอง 

ลองวาดรูปคร่าวก็จะได้ดังนี้

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

จากรูป

ตรงที่แรเงาสีเหลือคือบริเวณที่นักเรียนชายชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล คือมี  5 คน  เวลาวาดรูปใส่ตัวเลขให้ใส่ในส่วนที่มันซ้ำกันก่อนนะ(ถ้าใส่ได้)

โจทย์บอกว่ามีคนชอบเล่นฟุตบอล 25  คน ก็แสดงว่าชอบเล่นฟุตบอลอย่างเดียว 20  คน เพราะยี่สิบเอาไปรวมกันห้าคนที่เล่นทั้งอย่างเป็นยี่สิบห้า

โจทย์บอกว่ามีคนชอบเล่นบาสเกตบอล 20 คน ก็แสดงว่าชอบเล่นบาสเกตบอลอย่างเดียว 15 คน

ถ้าเราเอาตัวเลขในวงกลมบวกกันดูเราจะได้  20+5+15=40 คน แสดงว่ามีคนชอบเล่นฟุตบอลและบาส 40 คน

จากคนทั้งหมด 50 คน ชอบเล่นกีฬา 40 คน ก็แสดงว่าไม่เล่นฟุตบอลและบาสเกตบอลจำนวน 50-40=10 คน

แค่นี้ก็ตอบคำถามทั้งหมดได้แล้วครับ

1) ชอบเล่นฟุตบอลอย่างเดียวกี่คน  ตอบ 20 คน

2) ชอบเล่นบาสเกตบอลอย่างเดียวกี่คน ตอบ 15  คน

3) มีกี่คนที่ไม่ชอบเล่นทั้งฟุตบอลและบาสเกตบอล  ตอบ 10 คน


ตัวอย่างที่ 2 จากการตรวจสุขภาพของนักเรียนชั้น ม.4/8 จำนวน 40 คน ปรากฎว่าเป็นโรคฟันผุหรือโรคตาแฉะจำนวน 32 คน เป็นทั้งโรงฟันผุและโรคตาแฉะจำนวน 5 คน ถ้ามีนักเรียนเป็นโรคฟันผุอย่างเดียว 17 คน อยากทราบว่า

1) มีนักเรียนเป็นโ่รคฟันผุกี่คน

2) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะกี่คน

3) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะอย่างเดียวกี่คน

4) มีกี่คนที่ไม่เป็นทั้งโรคฟันผุและโรคตาแฉะ

วิธีทำ  จะเห็นว่ามีเซตสองเซตนะ คือ เป็นโรคฟันผุ  กับ เป็นโรคตาแฉะ

ผมกำหนดให้

A  คือเซตของคนที่เป็นโรคฟันผุ

B  คือเซตของคนที่เป็นโรคตาแฉะ

ที่สำคัญๆที่โจทย์บอกมาก็คือ

เป็นทั้งโรคฟันผุและโรคตาแฉะจำนวน 5 คน  นั่นคือ \(n(A\cap B)=5\)

เป็นโรคฟันผุหรือโรคตาแฉะจำนวน 32 คน  นั่นคือ \(n(A\cup B)=32\) จากตรงนี้ก็แสดงว่าทั้งวงกลมรวมกันแล้วต้องเท่ากับ 32 คนนะ ดูภาพประกอบ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

มีคนเป็นโรคฟันผุอย่างเดียว 17 คน รวมกับเป็นทั้งโรคฟันผุกับโรคตาแฉะอีก 5 คน เท่ากับ 22 คน

17+5=22  แต่มันต้องรวมกันแล้วให้ได้ 32  ก็แสดงว่าเป็นโรคตาแฉะอย่างเดียว 10 คน

จะได้ว่า

1) มีนักเรียนเป็นโ่รคฟันผุกี่คน  ตอบ  22 คน

2) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะกี่คน  ตอบ 15 คน

3) มีนักเรียนเป็นโรคตาแฉะอย่างเดียวกี่คน  ตอบ 10 คน

4) มีกี่คนที่ไม่เป็นทั้งโรคฟันผุและโรคตาแฉะ  ตอบ 8 คน

 


ตัวอย่างที่ 2   ในการสอบแข่งขันเพื่อชิงทุนการศึกษาของนักเรียนโรงเรียนบ้านหนองหมาว้อ ชั้น ม.5 จำนวน 100 คน ซึ่งทุกคนต้องสอบสองวิชา คือ วิชภาษาไทย และ วิชาภาษาอังกฤษ ผู้ที่จะได้รับทุนต้องสอบผ่านทั้งสองวิชา ปรากฎว่ามีนักเรียนสอบตกวิชาภาษาไทยจำนวน 50 คน สอบตกวิชาภาษาอังกฤษ 42 คน และสอบตกทั้งสองวิชา 20 คน อยากทราบว่ามีนักเรียนกี่คนที่ได้รับทุนการศึกษา

วิธีทำ กำหนดให้

 A คือเซตที่นักเรียนสอบตกวิชาภาษาไทย

 B  คือเซตที่นักเรียนสอบตกวิชาภาษาอังกฤษ

ดูภาพประกอบนะครับ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

ดูจากภาพเลยนะ

ตกไทยจำนวน 50 คน เอาไปลบออกด้วยทั้งตกไทยและอังกฤษคือลบออกด้วย 5

ก็จะเหลือตกไทยอย่างเดียว 30 คน

ตกอังกฤษ  42 คน เอาไปลบออกด้วยทั้งตกไทยและอังกฤษคือลบออกด้วย 5

ก็จะเหลือตกอังกฤษอย่างเดียว 22 คน

ดังนั้นนักเรียนที่ไม่ได้รับทุนเนื่องจากสอบไม่ผ่านทั้งสองวิชาจะมีทั้งหมด 30+20+22=72 คน

ก็แสดงว่ามีคนได้รับทุนการศึกษาจำนวน 100-72=28 คน


ตัวอย่างที่ 3  ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์  วิชาฟิสิกส์  และวิชาเคมี ของนักเรียนชั้น ม.6 จำนวน 100 คน ปรากฎผลดังนี้

สอบได้วิชาคณิตศาสตร์ 40 คน

สอบได้วิชาฟิสิกส์ 50 คน

สอบได้วิชาเคมี 60 คน

สอบได้วิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ 23 คน

สอบได้วิชาคณิตศาสตร์และเคมี  25 คน

สอบได้วิชาฟิสิกส์และเคมี 24 คน

และสอบได้ทั้ง 3 วิชา 20 คน

จงหา

1) สอบได้วิชาคณิตศาสตร์เพียงวิชาเดียวกี่คน

2) สอบได้วิชาเคมีเพียงวิชาเดียวกี่คน

3) สอบได้วิชาฟิสิกส์เพียงวิชาเดียวกี่คน

4) สอบได้วิชาคณิตศาสตร์และวิชาฟิสิกส์แต่สอบตกวิชาเคมี มีกี่คน

5) สอบได้วิชาคณิตศาสตร์และวิชาเคมีแต่สอบตกวิชาฟิสิกส์มีกี่คน

6) สอบได้วิชาฟิสิกส์และวิชาเคมี แต่สอบตกวิชาคณิตศาสตร์ มีกี่คน

7) สอบตกทั้ง 3 วิชามีกี่คน

วิธีทำ ข้อนี้จะมี 3 เซต

ผมกำหนดให้

M  คือเซตของคนที่สอบได้วิชาคณิตศาสตร์

P  คือเซตของคนที่สอบได้วิชาฟิสิกส์

C คือเซตของคนที่สอบได้วิชาเคมี

ข้อนี้ไม่ยากเพราะว่าโจทย์บอกคนที่สอบได้ทั้ง 3 วิชา มาด้วย

ลองดูรูปประกอบนะ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

จากรูป จะขออธิบายคร่าวๆนะครับ สอบได้ 3 วิชาจำนวน 20 คน

จากโจทย์บอกว่าสอบได้วิชาคณิตและฟิสิกส์ 23 คน ทำให้เรารู้ได้เลยว่า สอบได้คณิตและสอบได้ฟิสิกส์แต่ตกเคมีมีจำนวน 3 คนดังรูป

จากโจทย์บอกว่าสอบได้คณิตและเคมี 25 คนทำให้เรารู้ได้เลยว่า สอบได้คณิตและสอบได้เคมีแต่ตกฟิสิกส์มีจำนวน 5 คน

จากโจทย์บอกว่าสอบได้คณิต 40 คน เราจะได้ว่า

40-5-20-3= 12  คน นั่นคือสอบได้คณิตศาสตร์อย่างเดียวคือ 12 คนนั่นเอง

แค่นี้ก็ตอบคำถามได้หมดแล้ว

1) สอบได้วิชาคณิตศาสตร์เพียงวิชาเดียวกี่คน ตอบ     12      คน

2) สอบได้วิชาเคมีเพียงวิชาเดียวกี่คน   ตอบ    31       คน

3) สอบได้วิชาฟิสิกส์เพียงวิชาเดียวกี่คน   ตอบ     23      คน

4) สอบได้วิชาคณิตศาสตร์และวิชาฟิสิกส์แต่สอบตกวิชาเคมี มีกี่คน  ตอบ    3       คน

5) สอบได้วิชาคณิตศาสตร์และวิชาเคมีแต่สอบตกวิชาฟิสิกส์มีกี่คน   ตอบ       5    คน

6) สอบได้วิชาฟิสิกส์และวิชาเคมี แต่สอบตกวิชาคณิตศาสตร์ มีกี่คน  ตอบ      4     คน

7) สอบตกทั้ง 3 วิชามีกี่คน

ส่วนข้อนี้ เอาจำนวนนักเรียนทั้งหมดลบออกด้วยจำนวนนักเรียนที่สอบได้ก็จะได้คนที่สอบตก

100-12-3-20-5-23-4-31=2 คน

ตอบ สอบตกทั้ง 3 วิชามี 2 คน


ตัวอย่างที่ 4  จากการสอบถามพ่อบ้านพบว่า มีผู้ที่ดื่มชาหรือกาแฟเป็นประจำจำนวน 120 คน มีผู้ที่ชอบดื่มชา 60 คน ชอบดื่มกาแฟ 70 คน จงหาจำนวนพ่อบ้านที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ

วิธีทำ ข้อนี้วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยจะทำให้มองเห็นภาพชัดเจนขึ้นครับ แต่ไม่ยากหรอกข้อนี้ แต่ผมจะวาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ให้ดูแล้วกันครับ เผื่อบางคนไม่เข้าใจ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ผมให้ x คือจำนวนพ่อบ้านที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟ  ดังนั้นจะได้ว่ามีพ่อบ้านทึี่ชอบดื่มชาอย่างเดียว จำนวน 60-x คน  มีพ่อบ้านที่ชอบดื่มกาแฟอย่างเดียวจำนวน 70-x คน  แต่โจทย์บอกว่ามีคนชอบดื่มชาหรือกาแฟจำนวน 120 คน จำนวนสมาชิกของเซตของผู้ดืมชาชอบดื่มกาแฟรวมมีทั้งหมด 120 คน

นั่นคือ \(60-x+x+70-x=120\)

                    \(130-x=120\)

                    \(     -x=-10\)

                           \(x=10\)

ดังนั้นจำนวนพ่อบ้านที่ชอบดื่มทั้งชาและกาแฟคือ 10 คน


ตัวอย่างที่ 5  ร้านค้าแห่งหนึ่งได้ทำการสำรวจความนิยมของลูกค้าเกี่ยวกับการใช้พัดลม พบว่า 60% ใช้พัดลมชนิดตั้ง

โต๊ะ  45% ใช้ชนิดแขวนเพดาน และ 15% ใช้ทั้งสองชนิด อยากทราบว่า

1) ลูกค้าที่ไม่ใช้พัดลมทั้งสองชนิดนี้มีกี่เปอร์เซ็นต์

2) ลูกค้าที่ใช้พัดลมเพียงชนิดเดียวมีกี่เปอร์เซ็นต์

วิธีทำ โจทย์บอกว่าใช้พัดลมทั้งสองชนิดมี 15% ง่ายละทีนี้เพราะเรารู้ตรงที่มันอินเตอร์เซคกัน ดูแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์เลยครับ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แสดงว่ามีลูกค้าที่ใช้พัดลมตั้งโต๊ะอย่างเดียว 60-15=45%

มีลูกค้าที่ใช้พัดลมเพดานอย่างเดียว 45-15=30%

จากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ยังได้อีกว่า มีคนใชัพัดลมคิดเป็นเปอร์เซ็นต์ทั้งหมดคือ 45+15+30=90%  นั่นแสดงว่าลูกค้าที่ไม่ใช้พัดลมทั้งสองชนิดมี  10%

ลูกค้าที่ใช้พัดลมเพียงชนิดเดียว ก็คือเอาที่ใช้พัดลมตั้งโต๊ะอย่างเดียว  บวกกับที่ใช้พัดลมเพดานอย่างเดียวนั่นคือ 45+30=75% 


ตัวอย่างที่ 6  จาก การสำรวจผู้ถือหุ้นในตลาดหลักทรัพย์ ฯ จำนวน  3,000 คน พบว่า

มีผู้ถือหุ้นของบริษัท  ก,ข และ  ค  ดังนี้

ผู้ถือหุ้นบริษัท  ก  มีจำนวน  200 คน

ผู้ถือหุ้นบริษัท  ข   มีจำนวน 250 คน 

ผู้ถือหุ้นบริษัท  ค   มีจำนวน 300 คน 

ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ข มีจำนวน 50 คน 

ผู้ถือหุ้นบริษัท  ข และ ค มีจำนวน 40 คน  

ผู้ถือหุ้นบริษัท ก และ ค มีจำนวน 30 คน  

และไม่มีผู้ถือหุ้นทั้งสามบริษัท

จากจำนวนผู้ทีี่ถือหุ้นสำรวจ ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่น ๆ

ที่ไม่ใช่หุ้นทั้งสามบริษัท มีจำนวนเท่าไร

วิธีทำ ข้อนี้ข้อมูลยาวมากต้องวาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์จะช่วยได้เยอะมาก บอกไว้ก่อนนะครับการทำโจทย์แบบนี้

อย่าพยายามใช้สูตร ใช้สูตรให้น้อยเพราะถ้าเราใช้สูตรมากไป สูตรยาวครับจำได้ไม่หมดหรอก พยายามทำความเข้าใจ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ดีกว่า เห็นในหนังสือที่เขาสอนกัน สูตรอะไรก็ไม่รู้เยอะแยะบางทีมันไม่จำเป็นเลย มาดูแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ดีกว่า

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

โจทย์บอกว่าถือหุ้นบริษัท จำนวน 200 คน ดังนั้นถ้าเรานำมาลบออกด้วยพวกที่ถือหุ้นสองบริษัทคือ ถือ ทั้ง บริษัท และบริษัท   และ ถือทั้ง บริษัท และ บริษัท จะได้ว่าถือหุ้นบริษัท อย่างเดียวจำนวน 200-50-30=120  คนนะ

และก็ทำเหมือนเดิม ทำให้เรารู้ว่าคนที่ถือหุ้นบริษัท อย่างเดียวมีจำนวน 250-50-40=160 คน

ถือหุ้นบริษัท อย่างเดียวมีจำนวน 300-30-40=230  คน

โจทย์ถามว่าผู้ที่ถือหุ้นบริษัทอื่นๆที่ไม่ใช่หุ้นของสามบริษัทนี้มีจำนวนเท่าไร

ง่ายๆเลยครับ เอาจำนวนผู้ที่เล่นหุ้นทั้งหมดในตลาดหลักทรัพย์ซึ่งมีจำนวน 3000 คน ลบออกด้วย จำนวนผู้ที่ถือหุ้นทั้งสามบริษัทนี้ก็จะได้คำตอบ จริงไหม

คำนวนหาผู้ถือหุ้นทั้งสามบริษัทนี้ก่อน ไม่ต้องใช้สูตรให้ปวดหัวนะครับดูรูปเอา

ผู้ถือหุ้นบริษัท ก มีทั้งหมด 200  คน  สองร้อยคนนี้หมายรวมทั้งที่ถือทั้งสองบริษัทด้วยนะ คือพูดง่ายๆทั้งวงกลม ก คือ 200  คน  บวกกับ ถือหุ้นบริษัท ข  อย่างเดียว 160  คน บวกกับถือหุ้นทั้งบริษัท ข แลบริษัท ค จำนวน 40 คน บวกกับถือหุ้นบริษัท ค อย่างเดียวจำนวน 230 คน ฉะนั้นจำนวนผู้ถือหุ้นทั้ง 3 บริษัทคือ

200+160+40+230=630  คน

ผู้ถือหุ้นบริษัทอื่น ที่ไม่ได้ถือหุ้นทั้งสามบริษัท  

                   =     ผู้ถือหุ้นทั้งหมด   -  ผู้ถือหุ้นทั้งสามบริษัท

                   =   3,000  -   630   =   2,370   คน   

เป็นอย่างไรบ้างครับอ่านให้เข้าใจ concept นะ ก็จะทำข้อสอบได้เองไม่ยากหรอกแต่โจทย์ยาวบอกเลยเรื่องนี้ไม่ต้องไปจำสูตรอะไรมากมาย เข้าใจมาเป็นอับดับแรก


วันนี้มาเพิ่มเติมแบบฝึกหัดนะคับหลังจาก ไม่ได้เขียนเพิ่มมานานมากแล้ว

7. โรงพยาบาลแห่งหนึ่งทำการสำรวจข้อมูลจากผู้ป่วยที่มีอายุเกิน 40 ปี จำนวน 1,000 คน ปรากฎว่ามีคนสูบบุหรี่ 312 คน มีคนเป็นมะเร็งปอด 180 คน และมี 660 คนไม่สูบบุหรี่และไม่เป็นมะเร็งปอด จงหาว่า มีผู้สูบบุหรีและเป็นมะเร็งปอดจำนวนเท่าใด และคิดเป็นร้อยละเท่าใดของจำนวนผู้สอบบุหรี่ทั้งหมด

วิธีทำ  เรามาวิเคราะห์โจทย์ข้อนี้กันครับผม โจทย์บอกว่ามีคนสอบบุหรี่ 312 คน มีคนเป็นมะเร็งปอด 180 คน จากข้อความตรงนี้เราจะได้ว่า คนที่สูบบุหรี่นี้ สูบแล้วบางคนก็เป็นมะเร็งปอด และบางคนสูบแล้วก็ไม่เป็นมะเร็งปอดใช่ไหม เราจึงสามารถนำตรงนี้ไปสร้างเป็นแผนภาพ เวนน์ ออยเลอร์ได้ครับ

ให้  เซต A คือจำนวนคนที่สูบบุรี่ ดังนั้น n(A)=312

เซต B คือจำนวนคนที่เป็นมะเร็งปอด ดังนั้น n(B)=180

และจากโจทย์เขาบอกเราอีกว่ามี 660 คนไม่สูบบุหรี่และไม่เป็นมะเร็งนั่นหมายความว่าจำนวนคนที่สูบบุหรี่แล้วที่เป็นมะเร็งและไม่เป็นมะเร็งจะมีทั้งหมด 1000-660=340 คน นั่นเอง เอาละเขียนแผนภาพออกมาก่อนคับ

จากแผนภาพข้างบนเราจึงได้สมการออกมาคือ

\((312-x)+x+(180-x)=340\)  เราแก้สมการหาค่า \(x\) เลยคับ อย่าลืมนะว่า \(x\) คือจำนวนคนที่สูบบุรี่และก็เป็นมะเร็งด้วย

\begin{array}{lcl}(312-x)+x+(180-x)&=&340\\492-x&=&340\\-x&=&340-492\\x&=&152\end{array}

นั่นคือ มีคนที่สูบบุหรี่และเป็นมะเร็งจำนวนทั้งหมด 152 คน

และคิดเป็นร้อยละ \(\frac{152}{312}\times 100=48.42\) ของจำวนผู้สูบบุหรี่ทั้งหมด


8. ในการสอบของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายห้องหนึ่ง พบว่า มีผู้สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์ 37 คน วิชาสังคม 48 คน วิชาภาษาไทย 45 คน และมีผู้ที่สอบผ่านวิชาคณิตและสังคมศึกษา 15 คน ผู้ที่สอบผ่านวิชาสังคมศึกษาและภาษาไทยมี 13 คน ผู้ที่สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยมี 7 คน และมีผู้ที่สอบผ่านทั้งสามวิชา 5 คน จงหาจำนวนผู้ที่สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา

วิธีทำ อ่านโจทย์แล้วข้อมูลเยอะและสับสนแบบนี้ให้รีบว่าแผนภาพก่อนเลยคับ ข้อนี้ไม่ยากนะคับ เพราะว่าคนให้จำนวนตรงกลางมา ก็คือให้จำนวนของผู้ที่สอบผ่านทั้ง 3 วิชามาแล้ว เราก็แค่วาดแผนภาพให้ถูกก็จะได้คำตอบเอง เราจะกำหนดให้

M คือเซตจำนวนผู้ที่สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์

S คือ เซตจำนวนผู้ที่สอบผ่านวิชาสังคมศึกษา

T คือ เซตจำนวนผู้ที่สอบผ่านวิชาภาษาไทย

จากโจทย์จะได้ว่า \(n(M\cap S\cap T)=5\) (สอบผ่านทั้ง 3 วิชา)

ดังนั้น

จำนวนคนที่สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และสังคมอย่างเดียวคือ  15-5=10 คน

จำนวนคนที่สอบผ่านวิชาสังคมและภาษาไทยอย่างเดียวคือ 13-5=8 คน

จำนวนคนที่สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์และภาษาไทยอย่างเดียวคือ 7-5=2 คน

จำนวนคนที่สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์อย่างเดียวคือ \(37-10-5-2=20\) คน

จำนวนคนที่สอบผ่านวิชาสังคมศึกษาอย่างเดียวคือ \(48-10-5-8=25\) คน

จำนวนคนที่สอบผ่านวิชาภาษาไทยอย่างเดียวคือ \(45-5-8-2=30\) คน

โจทย์ถามหาจำนวนผู้สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา ตรงนี้อ่านดีๆนะคับสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชาแสดงว่าสอบผ่าน หนึ่งวิชาก็ได้  สอบผ่านสองวิชาก็ได้ สอบผ่านสามวิชาก็ได้ ดังนั้น

จำนวนคนที่สอบผ่าน 1 วิชาคือจำนวนคนที่สอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์  สังคมและภาษาไทยอย่างเดียว คือ \(20+25+30=75\) คน

จำนวนคนที่สอบผ่าน 2 วิชาคือ \(10+8+2=20\) คน

จำนวนคนที่สอบผ่าน 3 วิชาคือ \(5\) คน

ดังนั้นจำนวนคือที่สอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชาเท่ากับ \(75+20+5=100\) คน