อินเวอร์ของความสัมพันธ์  คำว่า inverse ถ้าแปลเป็นไทยให้เข้าใจง่ายๆก็คือกลับด้าน คนละทางกัน

มาดูตัวอย่างเลยดีกว่า พูดมากเดี๋ยวงง

ตัวอย่าง 1 กำหนดความพันธ์ \(r=\{(1,2),(3,4),(5,6)\}\)

จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ r 

อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r  เราเขียนแทนด้วย \(r^{-1}\)

ดังนั้น เอาคู่อันดับใน r มาสลับที่กันก็จะเป็นอินเวอร์สของ r  จึงได้ว่า

\(r^{-1}=\{(2,1),(4,3),(6,5)\} \quad Ans \)

เป็นไงง่ายไหม

จากตัวอย่างที่ผมยกให้ดูข้างบนความสัมพันธ์เขียนในรูปเซตแบบแจงแจงสมาชิก

แต่ถ้าความสัมพันธ์เขียนรูปเซตที่เป็นแบบบอกเงื่อนไข เราก็จะมีวิธีการหาอินเวอร์อีกแบบดังนี้

ตัวอย่าง 2 กำหนดความสัมพันธ์ \(r=\{(x,y)\in R \times R | y=3x+1\}\)

จงหาอินเวอร์ของความสัมพันธ์ r

วิธีทำ จะเห็นได้ว่าความสัมพันธ์ r ที่โจทย์กำหนดมาให้เป็นเซตแบบบอกเงื่อนไข

วิธีการหาอินเวอร์สของ r ทำได้โดยง่ายคือเข้าไปสลับตัวแปรในเงื่อนไขเซต

คือ สลับ y  เป็น x   หรือ สลับ  x  เป็น  y

เราจึงได้ว่า

\(r^{-1}=\{(x,y)\in R \times R | x=3y+1\}\)

จัดสมการนิดหนึ่งให้อยู่ในรูป y เท่ากับ ก็จะได้

\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R |y=\frac{x-1}{3}\}\)

เนียะละครับ ง่ายๆ

ตัวอย่าง 3 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของ \(r\)  และ \(r^{-1}\)

เมื่อกำหนดความสัมพันธ์คือ  \(r=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}\)

\(r^{-1}=\{(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)\}\)

\(D_{r}=\{1,2,3,4,5\}\)

\(R_{r}=\{2,3,4,5,6\}\)

\(D_{r^{-1}}=\{2,3,4,5,6\}\)

\(R_{r^{-1}}=\{1,2,3,4,5\}\)

ข้อนี้ถ้าสังเกตดีจะเห็นว่า โดเมนของ r  คือ เรนจ์ของ \(r^{-1}\)

และ เรนจ์ของ r คือ โดเมนของ \(r^{-1}\)  ไม่มีไรมากถ้าเข้าใจมันก็คือการสลับกันไปสลับกันมานั่นเอง

ตัวอย่าง 4 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของ \(r\)  และ \(r^{-1}\)

เมื่อกำหนดความสัมพันธ์คือ

\(r=\{(x,y)\in R \times R | y=x+5\}\)

\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R | x=y+5\}\)  \(\quad\)     จัดสมการนิดหนึ่ง

\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R | y=x-5 \}\)

\(D_{r} \in R\)  จะเห็นว่าเราสามารถนำตัวเลขอะไรก็ได้ไปแทนใน x แสดงว่าโดเมนต้องเป็นจำนวนจริงใดๆ

\(R_{r} \in R\)  เรนจ์ของก็เป็นจำนวนจริงใดๆก็ได้ เพราะเมื่อแทนค่า x ลงไปในสมการเงื่อนไขสามารถหาค่า y ได้

\(D_{r^{1}}\in R\)

\(R_{r^{1}}\in R\)

ตัวอย่าง 5 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของ \(r\)  และ \(r^{-1}\)

เมื่อกำหนดความสัมพันธ์คือ

\(r=\{(x,y)\in R \times R | y=\sqrt{x}\}\)

\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R | x=\sqrt{y}\}\) \(\quad\)      จัดสมการนิดหนึ่ง

\(r^{-1}=\{(x,y) \in R \times R | y=x^{2}\}\)

หาโดเมนของ r เนื่องจาก x อยู่ในรูทดังนั้นต้องมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์

\(D_{r} =R_{1^{1}}\in [0,\infty)\)

เนื่องจาก

\(\sqrt{x} \geq 0\)

\(y=\sqrt{x} \geq 0\)

ดังนั้น \(R_{r}=D_{r^{-1}} \in [0,\infty )\)

ตัวอย่าง 6 จงหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกโดเมนและเรนจ์ของ \(r\)  และ \(r^{-1}\)

เมื่อกำหนดความสัมพันธ์คือ

\(r=\{(x,y)\in R \times R | xy=1\}\)

\(r_{-1}=\{(x,y)\in R \times R | xy=1\}\)

หาโดเมนของ r ลองจัดสมการให้อยู่ในรูป y เท่ากับ จะได้ว่า

\(y=\frac{1}{x}\)

จะเห็นว่าเกิดเศษส่วนขึ้น นั่นคือ \(x \neq 0\) จึงได้ว่า

\(D_{r} =R_{r^{-1}}=R-\{0\}\)

หาเรนจ์ของ r ลองจัดสมการให้อยู่ในรูป x เท่ากับจะได้ว่า

\(x=\frac{1}{y}\)  นั่นคือ \(y\neq 0\)  จึงได้ว่าเรนจ์คือ

\(R_{r}=D_{r^{-1}}=R-\{0\}\)

อ่านเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์นี้อีกครับ ตัวผกผันของความสัมพันธ์พอดีว่าเขียนไว้หลายที่ครับ อย่างไรก็ค่อยๆอ่านค่อยๆวิเคราะห์แล้วกันครับขอให้สนุกกับการอ่านครับทุกท่านนักเรียนทุกคน