ตอนนี้เรารู้จักความหมายของฟังก์ชันแล้วต่อไปเราก็ลองมาทำโจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชันบ้าง เพื่อเป็นการเตรียมตัวและตรวจสอบความเข้าใจของตัวเองหลังจากที่ได้เรียนฟังก์ชันไปแล้ว ผมจะเอาโจทย์ง่ายๆก่อนให้นะครับมาลองเฉลยให้ดู เผื่อบางคนเรียนไม่ทันในห้องหรือไม่มีเงินเรียนพิเศษจะได้มีแหล่งข้อมูลข่าวสารอ่านทำความเข้าใจครับ มาดูตัวอย่างการทำโจทย์ฟังก์ชันเลย

ตัวอย่างที่ 1 กำหนด \(f(x)=x^{2}+2x+5\)  จงหา 

1.1   \(f(0)\)   แทน 0  ลงไปใน x เลยครับก็จะได้

\(f(0)=0^{2}+2(0)+5=5\)

1.2  \(f(2)\)  แทน 2 ลงไปใน  x  เลยครับจะได้

\(f(2)=2^{2}+2(2)+5=13\)

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด \(f(x)=x^{2}-3x+5\)    จงหา

1.1  \(f(x+h)\)     ทำเหมือนข้อข้างบนเลยครับก็คือแทน  x+h   ลงใน x  พูดง่ายๆก็คือตรงไหนมี x  เปลี่ยนเป็น x+h  ครับ

\(f(x+h)=(x+h)^{2}-3(x+h)+5\)

\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)

1.2  \(f(x+h)-f(x)\)    อย่าลืมนะ  \(f(x+h)\)    เราหาไว้แล้วต่อไปก็ไม่ต้องทำอะไรมากก็แค่ลบกันให้ถูกก็พอ

\(f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5\)   และ 

\(f(x)=x^{2}-3x+5\)  

ดังนั้น  

\(f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5)-(x^{2}-3x+5)\)      กระจายลบเข้าไปแล้วลบกันธรรมดาครับ

\(f(x+h)-f(x)=x^{2}+2xh+h^{2}-3x-3h+5-x^{2}+3x-5)\) 

\(f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}-3h\)

\(f(x+h)-f(x)=h(2x+h-3)\)

ลองทำแบบฝึกหัดโจทย์ฟังก์ชันเพิ่มเติมครับ

1.  ถ้า \(f(x)=x^{2}+3x-5\)   จงหา \(f(0),f(3),f(a),f(a+b),f(x+b)\)  และ \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)  เมื่อ \(h\neq 0\)

วิธีทำ

จาก

\(f(x)=x^{2}+3x-5\)

จะได้

\(f(0)=0^{2}+3(0)-5=-5\)

\(f(3)=3^{2}+3(3)-5=13\)

\(f(a)=a^{2}+3(a)-5\)

\(f(a+b)=(a+b)^{2}+3(a+b)-5\)

\(f(x+b)=(x+b)^{2}+3(x+b)-5\)

ทำอันสุดท้ายต่อครับ

\begin{array}{lcl}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&=&\frac{(x+h)^{2}+3(x+h)-5-(x^{2}+3x-5)}{h}\\&=&\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h-5-x^{2}-3x+5}{h}\\&=&\frac{h^{2}+2xh+3h}{h}\\&=&h+2x+3\end{array}

---

2. ถ้า

\(f(x)=\left\{\begin{matrix}
& 1 & when \quad x<1\\
& x & when \quad 1\leq x \leq 3\\
& 2 & when \quad  x>3
\end{matrix}\right.\)

จงหา \(f(-2),f(0),f(1),f(\frac{1}{2}),f(\sqrt{3}),f(9),\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\) เมื่อ h>0

วิธีทำ ข้อนี้เหมือนจะยาก แต่ง่ายที่มองว่ายากเพราะว่าอ่านโจทย์ไม่เข้าใจ เรามาลองทำไปพร้อมก้นช้าๆครับ

หา \(f(-2)\)  แสดงว่า x เรามีค่าเท่ากับ -2   เนื่องจาก -2<1  กลับไปดูที่โจทย์ครับโจทย์บอกว่า

\(f(x)=1\)  เมื่อ  x<1  หมายความว่าถ้า x มีค่าน้อยกว่า 1 ค่าของ f(x) จะเท่ากับ 1 

เนื่องจาก -2<1  ดังนั้น

\(f(-2)=1\)

หา \(f(0)\)

เนื่องจาก 0<1  ดังนั้น

\(f(0)=1\)  ด้วย

หา \(f(1)\)

เราจะเห็นโจทย์เขาบอกว่า  f(x)=x หรือว่าเท่ากับตัวมันเองเมื่อ \(1\leq x \leq 3\) ดังนั้นข้อนี้ x=1 ตรงตามเงื่อนไขนี้พอดี ดังนั้น

\(f(1)=1\)

หา  \(f(\frac{1}{2})\)

เราจะเห็นว่าโจทย์เขาบอกว่า \(f(x)=1\)  เมื่อ x<1  ความหมายคือถ้า x มันน้อยกว่าหนึ่ง f(x) มันจะเท่ากับหนึ่งเสมอ ดังนั้น x เราเท่ากับหนึ่งส่วนสองดังนั้นข้อนี้

\(f\frac{1}{2}=1\)

หา \(f(\sqrt{3})\)

เนื่องจาก \(\sqrt{3}\) มีค่าประมาณ 1.732 ดังนั้นต้องใช้ อันนี้ครับ

\(f(x)=x\)  นั่นคือ

\(f(\sqrt{3})=\sqrt{3}\)

หา  \(f(9)\)

ดูที่โจทย์บอกมาครับโจทย์บอกว่า \(f(x)=2\)  เมื่อ x มีค่ามากกว่า 3 ซึ่งเอ็กซ์คือเราคือเก้ามากกว่าสามอยู่แล้วดังนั้น

\(f(9)=2\)

หา \(\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\)  เมื่อ h>0

เราจะเห็นว่า h มันมากกว่าศูนย์ อาจะเป็น หนึ่ง สอง สาม เมื่อนำ h+3  มันต้องมากกว่า 3 จริงไหมครับ เมื่อ มันมากกว่าสาม เราต้องใช้อันนี้ครับ

\(f(x)=2\)  เมื่อ x>3  ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\(f(3+h)=2\) นั่นเอง

ส่วน f(3) ใช้อันนี้ครับ \(f(x)=x\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า

\(f(3)=3\)

สรุปก็คือ

\begin{array}{lcl}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}&=&\frac{2-3}{h}\\&=&-\frac{1}{h}\end{array}

---

3. กำหนด \(U=\{0,1,2,3,4,5\}\)  ฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นสับเซตของ  \(U\times U\) จงเขียนกราฟพร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

1)  \(f(x)=2x-3\)

2) \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\)

วิธีทำ ลองหาค่าของ \(U\times U\)  ก่อนครับใครทำไม่เป็นก็ไปดูนี่ครับ ผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product) ก็จะได้

\(\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),\\(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\\(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),\\(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),\\(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),\\(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)\}\)

นี่คือ \(U\times U\)  มีสมาชิกทั้งหมด 36 ตัวครับ  ต่อไปมาดูฟังก์ชันแรกก่อนครับ

1)  ก็คือ \(f(x)=2x-3\)  หรือก็คือ \(y=2x-3\)  นั่นเองครับซึ่งก็คือ

ถ้า \(x=0\)  จะได้ว่า \(y=-3\)  ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((0,-3)\)   แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)

ถ้า \(x=1\) จะได้ว่า  \(y=-1\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((1,-1)\)   แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)

ถ้า \(x=2\) จะได้ว่า \(y=1\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((2,1)\)  อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)

ถ้า \(x=3\) จะได้ว่า \(y=3\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((3,3)\)  อันนี้อยู่ใน \(U\times U\)

ถ้า \(x=4\) จะได้ว่า \(y=5\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((4,5)\)   อันนี้อยู่ใน  \(U\times U\)

ถ้า \(x=5\) จะได้ว่า \(y=7\) ถ้าเขียนเป็นคู่อันดับคือ \((5,7)\)   แต่จะเห็นว่าคู่อับดับนี้ไม่อยู่ในอยู่ใน \(U\times U\)

ดังนั้นฟังก์ชัน

\(f(x)=2x-3\)  เขียนใหม่ได้คือ

\(f(x)=\{(2,1),(3,3),(4,5)\}\)

โดเมนของฟังก์ชันนี้คือ \(\{2,3,4\}\)

เรนจ์ของฟังก์ชันนี้คือ \(\{1,3,5\}\)

กราฟของฟังก์ชันคือ

 

มาดูข้อที่สองกันครับจากฟังก์ชัน ข้อที่ 2 คือ

2) \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\)

ดูที่เงื่อนไขฟังก์ชันนะ ก็คือทั้งเอ็กซ์และวายยกกำลังสองบวกกันแล้วต้องได้ 25  เราก็ไปดูที่ \(U\times U\) ว่ามีตัวไหนบ้างที่ยกกำลังสองแล้วบวกกันได้ 25 บ้าง เช่น

\((3,4)\)  จะเห็นว่า \(3^{2}=9\)  และ \(4^{2}=16\)  เห็นว่า \(9+16=25\)  ตามเงื่อนไขในฟังก์ชันเลย

\((0,1)\) จะเห็นว่า \(0^{2}=0\)  และ \(1^{2}=1\)  เห็นว่า \(0+1=1\)  ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขฟังก์ชันที่กำหนดให้

ถ้าลองๆไปดูที่ \(U\times U\) ด้านบนก็จะเห็นว่าคู่อันดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขคือ

\((3,4),(4,3),(0,5),(5,0)\)

ดังฟังก์ชัน  \(f=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=25\}\) เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้คือ

\(f=\{(3,4),(4,3),(0,5),(5,0)\}\)

จะได้

โดเมนคือ \(\{3,4,0,5\}\)

เรนจ์คือ \(\{4,3,0,5\}\)

กราฟหน้าตาก็เป็นแบบนี้ครับ

---

4. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}

ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

---

5. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้

\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\)

และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\)

ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)

แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 6
2. 7
3. 10
4. 17

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ  เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ

\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}

จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น

\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย

\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ

โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}

ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว

จากสมการที่ \((1)\)  คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}