การดำเนินการของฟังก์ชันก็คือการนำฟังก์ชันมาบวก มาลบ มาคูณและมาหารกันครับ  ซึ่งการบวก ลบ คูณและหารของฟังก์ชันนั้นเขาทำกันอย่างไร เดี่ยวเรามาเรียนรู้นิยามของเรื่องนี้ไปพร้อมๆกันครับ ไปกันเลย

นิยาม  

ให้   \(f\)     และ    \(g\)  เป็นฟังก์ชันใดๆที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง ผลบวก(f+g)  ผลลบ(f-g) ผลคูณ(fg)และผลหาร\(\frac{f}{g}\)    ของฟังก์ชัน  \(f\)    และ   \(g\)  หาได้โดย

\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)

\((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)

\(fg(x)=f(x)g(x)\)

\(\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)        เมื่อ    \(g(x) \neq 0\)

โดยกำหนดให้โดเมนของการบวก การลบ  การคูณและการหารของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริง x ทั้งหมดที่อยู่ทั้งในโดเมนของ f  และโดเมนของ  g   หรือถ้าเขียนเป็นภาษาคณิตศาสตร์ก็คือ  \(x\in D_{f}\cap D_{g}\)

อ่านนิยามแล้วอาจจะงงมาดูตัวอย่างประกอบกันครับ

ตัวอย่าง 1

1. จงหา   \(f+g , f-g  ,   fg\)     และ    \(\frac{f}{g}\)     พร้อมทั้งหาโดเมนของแต่ละฟังก์ชัน

1)    \(f(x)=x^{2}, g(x)=x-2\)

วิธีทำ  จาก  \(f(x)=x^{2}  ,  D_{f}=R\)

\(g(x)=x-2  ,  D_{g}=R\)     ดังนั้น

โดเมนของ  f+g , f-g , fg  คือ  \(D_{f}\cap D_{g}=R \cap R=R\)      ก็คือโดเมนของเอฟบวกจี  เอฟลบจี  เอฟคูณจีคือจำนวนจริงนั่นเองครับ

โดเมนของ  \(\frac{f}{g}\)   คือ  \(D_{f}\cap D_{g}\)   และ  \(g(x)\neq 0\)  ซึ่งจากข้อนี้จะเห็นว่า  g(2)=2-2=0

นั่นคือโดเมนของ \(\frac{f}{g}\)     ไม่เอาเลข  2   นะครับเพราะทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ก็คือโดเมนของเอฟหารจี เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ 2  หรือถ้าเขียนให้สวยงาม 

โดเมนของ \(\frac{f}{g}\)     คือ   \(\{x\in R | x\neq 2\}\)

ต่อไปหาพวกนี้

\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^{2}+x-2\)

\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^{2}-(x-2)=x^{2}-x+2\)

\(fg(x)=x^{2}(x-2)=x^{3}-2x^{2}\)

\(\frac{f}{g}(x)=\frac{x^{2}}{x-2}\)

---

2)  \(f(x)=\sqrt{9-x^{2}} ,g(x)=\sqrt{x^{2}-2}\)

วิธีทำ  ดูจากโจทย์ที่กำหนดมาให้มีสแควร์รูท  สิ่งที่เราต้องทราบก็คือข้างในรูทติดลบไม่ได้นะครับซึ่งถ้าเราลองคิดเล่นๆจะเห็นว่า  ถ้าให้ x=3   จะได้   \(9-x^{2}=9-(3)^{2}=0\)  ไม่ติดลบ  แต่ถ้า x เกิน 3  เมื่อไรจะทำให้ค่านี้ติดลบจริงไหม ไม่เชื่อลองแทน x=4  ดู

และ ถ้าให้ x=-3  ดูบ้างจะได้     \(9-x^{2}=9-(-3)^{2}=0\)    ไม่ติดลบ   แต่ถ้า x  น้อยกว่า -3 เช่น x  เป็น -4 , -5  จะทำให้ค่านี้ติดลบนะครับลองคิดตามด้วยนะ  ดังนั้น

โดเมนของ  f(x)   คือจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง    \(x\in\left[-3,3\right]\)

ดูรูปประกอบครับ

ต่อไปมาดูโดเมนของ g บ้างครับ ผมจะหาโดเมนของ g โดยทำให้ดูอีกวิธีนะครับไม่ทำเหมือนข้างบนนะ

เรารู้มาว่าข้างในรูทห้ามติดลบ นั่นก็คือต้องเป็น 0 หรือไม่ก็เป็นเลขบวก ซึ่งก็คือต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์นั่นเอง ก็คือค่าข้างในรูปต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

\(x^{2}-2\geq 0\)

\(x^{2}-(\sqrt{2})^{2} \geq 0 \)    ใช้ผลต่างกำลังสองนะ

\((x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \geq 0\)

เขียนคำตอบบนเส้นจำนวนจะได้  ค่าของ  x  ที่ทำให้ข้างในรูทไม่ติดลบคือ

\(x\in \left(-\infty,-\sqrt{2}\right] \cup  \left[\sqrt{2},\infty\right)\)    

นั่นก็คือ

โดเมนของ g(x)  คือจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง   \(x\in \left(-\infty,-\sqrt{2}\right] \cup  \left[\sqrt{2},\infty\right)\) 

ต่อไปหานะ

โดเมนของ f+g ,f-g, fg  คือ  \(D_{f}\cap D_{g}\)  คือเอาโดเมนของเอฟและจีมาอินเตอร์เซกกันครับ ดูรูปจะง่ายกว่า

ดังนั้น โดเมนของ f+g,f-g,fg คือจำนวนจริงซึ่งอยู่ในช่วง 

 \(x\in\left[-3,-\sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2},3\right]\)

โดเมนของ  \(\frac{f}{g}\)   คือ   \(D_{f}\cap D_{g}\)    โดยที่   \(g(x)\neq 0\)

ซึ่งเราจะเห็นว่า  \(g(x)=\sqrt{x^{2}-2}=0\)    เมื่อ  \(x=\sqrt{2},-\sqrt{2}\)

ดังนั้น โดเมนของ เอฟหารจี ต้องตัดสองตัวนี้ทิ้งครับ  นั่นคือต้องเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง

 \(x\in\left[-3,-\sqrt{2}\right) \cup \left(\sqrt{2},3\right]\)

ต่อไปหาพวกนี้

\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=\sqrt{9-x^{2}}+\sqrt{x^{2}-2}\)

\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{9-x^{2}}-\sqrt{x^{2}-2}\)

\(fg(x)=f(x)g(x)=\sqrt{9-x^{2}}\times \sqrt{x^{2}-2}\)

\(\frac{f}{g}(x)=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{\sqrt{x^{2}-2}}\)

---

ตัวอย่าง 2 ให้  \(f=\{(-3,1),(0,4),(2,0)\} ,  g=\{(-3,2),(1,2),(2,6)\}\)      และ   \(h=\{(2,4),(1,0)\}\)        จงหาฟังก์ชันต่อไปนี้

1)  \(f+g\)

วิธีทำ   

โดเมนของ f คือ    \(\{-3,0,2\}\)     อย่าลืมนะโดเมนคือสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ

โดเมนของ g  คือ   \(\{-3,1,2\}\)

ดังนั้น   \(D_{f}\cap D_{g}=\{-3,2\}\)

จากนิยามของการบวกลบ คูณ หารฟังก์ชัน  โดเมนของการบวกลบ คูณหารฟังก์ชันคือเอาเอาแต่ละโดเมนของฟังก์ชันมาอินเตอร์เซกกันจะเห็นว่าเมื่อลองเอามาอินเตอร์เซกกันแล้วได้ค่าคือ  \(D_{f}\cap D_{g}=\{-3,2\}\)

ดังนั้นโดเมนของ f+g  คือ  \(\{-3,2\}\)   ต่อไปเราก็หาผลบวกของฟังก์ชันเลยครับ

จำนิยามของการบวกของฟังก์ชันได้ไหมเอ่ย ก็คือ

\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)     เมื่อ x  คือโดเมน  ดังนั้นเราก็ไปหาเลยครับ

(f+g)(-3)=f(-3)+g(-3)=1+2=3      ตรงนี้ความหมายของมันก็คือถ้าโดเมนของเอฟบวกจีคือ -3 เรนจ์ของเอฟบวกจีคือ 3

\((f+g)(2)=f(2)+g(2)=0+6=6\)         ตรงนี้ความหมายของมันก็คือถ้าโดเมนของเอฟบวกจีคือ 2 เรนจ์ของเอฟบวกจีคือ 6

ดังนั้น   \(f+g=\{(-3,3),(2,6)\}\)

การหา f(-3)  กับ  g(-3)  ดูที่ดอกจันทน์ด้านล่างครับ

*** \(f=\{(-3,1),(0,4),(2,0)\}\)

*** \(g=\{(-3,2),(1,2),(2,6)\}\) 

 

2)  \(f-g\)

วิธีทำ  โดเมนของเอฟลบจีเหมือนกับโดเมนของเอฟบวกจีคือ  \(D_{f}\cap D_{g}=\{-3,2\}\)

\((f-g)(-3)=f(-3)-g(-3)=1-2=-1\)

\((f-g)(2)=f(2)-g(2)=0-6=-6\)

ดังนั้น   \(f-g=\{(-3,-1),(2,-6)\)

3) \(\frac{g}{f}\)

วิธีทำ  การหารระวังด้วยตัวหาร ห้ามเป็นศูนย์เด็ดขาด

\(\frac{g}{f}(-3)=\frac{g(-3)}{f(-3)}=\frac{2}{1}=2\)

\(\frac{g}{f}(2)=\frac{g(2)}{f(2)}=\frac{6}{0}\)          ตรงนี้จะเห็นว่าส่วนเป็นศูนย์ดังนั้น  2    ไม่เป็นโดเมนของจีหารเอฟ นั่นคือในกรณีที่เป็นจีหารเอฟ โดเมนคือ  \(\{-3\}\)

ดังนั้น   \(\frac{g}{f}=\{(-3,2)\}\)

4)  \(\frac{f}{g}\)

วิธีทำ  เหมือนเดิมการหารระวังตัวส่วนเป็นศูนย์

\(\frac{f}{g}(-3)=\frac{f(-3)}{g(-3)}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{f}{g}(2)=\frac{f(2)}{g(2)}=\frac{0}{6}=0\)

ดังนั้น    \(\frac{f}{g}=\{(-3,\frac{1}{2}),(2,0)\}\)

5) \(fg\)

วิธีทำ  

\(fg(-3)=f(-3)g(-3)=(1)(2)=2\)

\(fg(2)=f(2)(g(2)=(0)(6)=0\)

ดังนั้น   \(fg=\{(-3,2),(2,0)\}\)