มาดูความรู้เกี่ยวกับเส้นขนานกันครับ เป็นความรู้เส้นขนานของ ม.4 นะครับ มาไปดูทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนานกันเลย
ทฤษฎีบท เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน Y จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากัน
นี่คือทฤษฎีบทเกี่ยวกันเส้นขนาน ถ้าอธิบายเป็นภาษาชาวบ้านก็คือ เส้นตรงมันจะขนานกันเนี่ยะมันต้องมีความชันเท่ากัน ในทำนองเดียวกันถ้าเรารู้ว่าความชันของเส้นตรงสองเส้นนั้นเท่ากันก็แสดงว่าไอ้เส้นตรงสองเส้นนั้นมันขนานกัน มีแค่นี้แหละครับ ใครต้องการพิสูจน์ทฤษฎีนี้หาอ่านเพิ่มเติมได้ครับตามหนังสือ สสวท. พิสูจน์ไม่ยากครับ
มาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเส้นขนานกันดีกว่าครับ
1. จงแสดงว่าเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2,-4) และ (3,3) ขนานกันเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (1,-2) และ (6,5)
วิธีทำ การทำข้อนี้คือทำให้เห็นว่าความชันที่ผ่านจุดดังกล่าวเท่ากันครับ
กำหนดให้ \(m_{1}\) คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2,-4) ละ (3,3) จะได้
\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{-4-3}{-2-3}\\&=&\frac{-7}{-5}\\&=&\frac{7}{5}\end{array}
กำหนดให้ \(m_{2}\) คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1,-2) และ (6,5) จะได้
\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{-2-5}{1-6}\\&=&\frac{-7}{-5}\\&=&\frac{7}{5}\end{array}
จะเห็นว่า \(m_{1}=m_{2}\) นั่นคือเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2,-4) และ (3,3) ขนานกันเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (1,-2) และ (6,5)
2.จงหาความชันของเส้นตรงซึ่งขนานกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด \(P_{1}(x_{1},y_{1}) และ P_{2}(x_{2},y_{2})\) เมื่อ \(x_{1}\neq x_{2}\)
วิธีทำ เส้นตรงซึ่งผ่านจุด \(P_{1}(x_{1},y_{1}) และ P_{2}(x_{2},y_{2})\) มีความชันเท่ากับ
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\end{array}
ดังนั้นความชันของเส้นตรงซึ่งขนานกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด \(P_{1}(x_{1},y_{1}) และ P_{2}(x_{2},y_{2})\) จึงมีค่าเท่ากับ
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\end{array}
ด้วย
3.ถ้าเส้นตรงผ่านจุด (k,7) และ (-3,-2) ขนานกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (3,2) และ (1,-4) จงหาค่า k
วิธีทำ เส้นตรงที่ผ่านจุด (3,2) และ (1,-4) มีความชันคือ
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{2-(-4)}{3-1}\\&=&\frac{6}{2}\\&=&3\end{array}
เนื่องจากโจทย์บอกว่า เส้นตรงที่ผ่านจุด (k,7) และ (-3,-2) ขนานกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (3,2) และ (1,-4) เพราะฉะนั้น เส้นตรงที่ผ่านจุด (k,7) และ (-3,-2) ย่อมมีความชันเท่ากับ 3 ด้วย จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}3&=&\frac{7-(-2)}{k-(-3)}\\3&=&\frac{9}{k+3}\\(k+3)\times 3&=&9\\k+3&=&\frac{9}{3}\\k+3&=&3\\k&=&3-3\\k&=&0\end{array}
นั่นคือ ค่า k=0 ครับ
4.จุด (1,2) ,(6,7) และ (-3,4) อยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่เพราะเหตุใด
วิธีทำ ถ้าจุดที่กำหนดมาให้มันอยู่บนเส้นตรงเดียวกันแสดงว่าถ้านำจุดเหล่านี้มาหาความชันต้องได้ความชันเท่ากัน จับคู่หาความชันกันเลยครับ
คู่นี้ก่อนแล้วกัน (1,2) กับ (6,7)
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{2-7}{1-6}\\&=&1\end{array}
ต่อไป (1,2) กับ (-3,4)
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{2-4}{1-(-3)}\\&=&\frac{-2}{4}\\&=&-\frac{1}{2}\end{array}
ต่อไป (6,7) กับ (-3,4)
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{7-4}{6-(-3)}\\&=&\frac{3}{9}\\&=&\frac{1}{3}\end{array}
จะเห็นความชันไม่เท่ากันเลยแสดงว่าจุดเหล่านี้ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันครับฟันธง ดูรูปประกอบครับไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
5. ให้ p,q และ r เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าจุด (p,q+r),(q,r+p) และ (r,p+q) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
วิธีทำ ถ้าจุดเหล่านี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันแสดงว่าถ้าจับคู่ของแต่ละจุดที่อยู่บนเส้นตรงหาความชันออกมาจะได้ความชันเท่ากัน ถูกไหม
มาดูคู่นี้ก่อน (p,q+r) กับ (q,r+p)
\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{(q+r)-(r+p)}{p-q}\\&=&\frac{q-p}{p-q}\\&=&\frac{-(p-q)}{(p-q)}\\&=&-1\end{array}
ต่อไปคู่นี้ (p,q+r) กับ (r,p+q)
\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{(q+r)-(p+q)}{p-r}\\&=&\frac{r-p}{p-r}\\&=&\frac{-(p-r)}{(p-r)}\\&=&-1\end{array}
ต่อไปคู่นี้ (q,r+p) กับ (r,p+q)
\begin{array}{lcl}m_{3}&=&\frac{(r+p)-(p+q)}{q-r}\\&=&\frac{r-q}{q-r}\\&=&\frac{-(q-r)}{(q-r)}\\&=&-1\end{array}
จะเห็นว่าความชันของจุดทุกจุดบนเส้นตรงมีค่าเท่ากันคือเท่ากับ -1 ดังนั้นจุดทั้ง 3 จุด นี้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
6. จงแสดงว่าจุด A(-6,6) , B(6,6) , C(12,0) และ D(6,-6) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
วิธีทำ การทำข้อนี้ลองวาดรูปคร่าวๆก่อนครับ ใช้โปรแกรมในการช่วยวาดก็ได้ครับ อย่างเช่น GeoGebra
จากรูปที่เราวาดออกมาคราวๆ มันจะเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูได้ มันต้องมีคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูคือมีด้านคู่หนึ่งขนานกันครับ เราก็มาตรวจสอบว่ามีด้านคู่ไหนขนานกันไหม คือตรวจสอบด้านที่เป็นสีแดง กับ ด้านที่เป็นสีเขียว การตรวจสอบก็คือ หาความชันของด้านสองด้านนี้ออกมาถ้าความชันเท่ากันก็แสดงว่าด้านสองด้านนี้หรือเส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน
หาความชันของด้านสีแดงหรือเส้นตรงสีแดงก่อนครับ
\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{6-0}{6-12}\\&=&\frac{6}{-6}\\&=&-1\end{array}
หาความชันของด้านสีเขียวหรือเส้่นตรงสีเขียว
\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{6-(-6)}{-6-6}\\&=&\frac{12}{-12}\\&=&-1\end{array}
จะเห็นว่า ความชันของด้านสองด้านนี้มีค่าเท่ากันคือ เท่ากับ -1 ดังนั้นด้านสองด้านนี้ขนานกัน จึงทำให้รูปนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู นั่นคือจุดที่โจทย์กำหนดให้เป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมู
7. จงแสดงว่า จุดกึ่งกลางด้านของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
วิธีทำ ผมกำหนดให้ \(\square ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ดูรูปประกอบนะครับ จุด E,G,H,F เป็นจุดกึ่งกลางบนด้านของ \(\square ABCD\) จากความรู้เรื่อง จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด จึงทำให้ได้ว่า
พิกัดของจุด E คือ
\((\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})\)
พิกัดของจุด G คือ
\((\frac{c+e}{2},\frac{d+f}{2})\)
พิกัดของจุด H คือ
\((\frac{g+e}{2},\frac{h+f}{2})\)
พิกัดของจุด F คือ
\((\frac{a+g}{2},\frac{b+h}{2}\)
ต่อไปเราจะแสดงว่า \(\square EGHF\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน นั่นคือต้องแสดงว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามกันขนานกันการแสดงว่ามันขนานกันก็คือทำให้เห็นว่ามันมีความชันเท่ากันนั่นเอง ดูตามรูปนะครับ
ขั้นแรก ผมจะทำให้เห็นว่าเส้นตรงสีเขียว ขนานกันเส้นตรงสีแดง ก็คือจะทำให้เห็นว่าเส้นตรงทั้งสองมีความชันเท่ากัน
หาความชันของเส้นตรงสีเขียวก่อน
\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{\frac{b+d}{2}-\frac{b+h}{2}}{\frac{a+c}{2}-\frac{a+g}{2}}\\&=&\frac{\frac{d-h}{2}}{\frac{c-g}{2}}\\&=&\frac{d-h}{c-g}\end{array}
หาความชันของเส้นตรงสีแดง
\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{\frac{h+f}{2}-\frac{d+f}{2}}{\frac{g+e}{2}-\frac{c+e}{2}}\\&=&\frac{\frac{h-d}{2}}{\frac{g-c}{2}}\\&=&\frac{h-d}{g-c}\\&=&\frac{-(d-h)}{-(c-g)}\\&=&\frac{d-h}{c-g}\end{array}
จะเห็นว่าเส้นตรงสีเขียวกันเส้นตรงสีแดง มีความชันเท่ากัน ดังนั้น เส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน
ส่วนเส้นตรง สีน้ำเงิน กับ สีชมพู ก็ทำเหมือนกันกับข้างบนถ้าทำถูกจะได้ว่าเส้นตรงสีน้ำเงินกับสีชมพูมีความชันเท่ากันนั่นคือเส้นตรงสองเส้นนี้ขนานกัน ดังนั้นสี่เหลี่ยม EGHF เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน นั่นคือสามารถสรุปได้เลยว่าจุดกึ่งกลางของด้านของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานครับ พยายามทำความเข้าใจเองนะครับ ไม่ยากแต่ต้องโยงความรู้หลายๆเรื่องที่เราได้เรียนไปแล้วมาใช้ครับ
สนับสนุนเว็บไซต์