ถ้าเราต้องการหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง \(l_{1}\)  ซึ่งขนานกับเส้นตรง  \(l_{2}\) ทำได้โดยการเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง \(l_{1}\) และหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง \(l_{2}\)  กับจุดนั้น (หรือเลือกจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นตรง \(l_{2}\) แล้วหาระยะห่างระหว่างเส้นตรง \(l_{1}\) กับจุดนั้น )  หรืออาจจะหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทนี้ก็ได้ครับ จำสูตรไปใช้เลย

ทฤษฎีบท ระยะห่างระหว่างเส้นตรง  \(Ax+By+C_{1}=0\)  และเส้นตรง \(Ax+By+C_{2}=0\)  เท่ากับ

\[\frac{|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\]

สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สามารถหาอ่านได้ตามหนังสือ สสวท. ได้ครับสำหรับคนที่สนใจการพิสูจน์ แต่ในระดับนี้ต้องนำไปใช้ให้เป็นก่อนครับมาลองทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหาระยะห่างระหว่างกราฟของสมการแต่ละคู่ต่อไปนี้

1.1  \(3x+4y-7=0,\quad 3x+4y+3=0\)

วิธีทำ   จะเห็นว่า

\(A=3,B=4,C_{1}=-7,C_{2}=3\)

เอาไปแทนค่าในสูตรเลยนะครับ 

จากสูตร

\begin{array}{lcl}\frac{|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}&=&\frac{|-7-3|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}\\&=&\frac{|-10|}{\sqrt{9+16}}\\&=&\frac{10}{5}\\&=&2\end{array}

---

1.2  \(3x-4y-7=0,\quad 6x-8y+16=0\)

วิธีทำ  จะเห็นว่าข้อนี้ต่างจากข้อที่ 1.1 นะสังเกตดูดีๆยังใช้สูตรเลยไม่ได้เพราะสัมประสิทธิ์หน้า x และ y ของทั้งสองสมการยังไม่เท่ากันครับต้องทำให้เท่ากันก่อน โดยการนำสองมาหารสมการหลังครับจะได้

\[\frac{6x-8y+16}{2}=\frac{0}{2}\]

\[3x-4y+8=0\]

หลังจากหารด้วยสองเสร็จจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์หน้า x และ y ของทั้งสองสมการเท่ากันแล้วครับก็คือ

\(A=3,B=-4,C_{1}=-7,C_{2}=8\)

นำไปแทนค่าในสูตรเลยครับ จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}&=&\frac{|-7-8|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\\&=&\frac{|-15|}{\sqrt{9+16}}\\&=&\frac{15}{\sqrt{25}}\\&=&\frac{15}{5}\\&=&3\end{array}

---

2.  จงหาสมการของเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง  \(3x-4y-5=0\) และอยู่ห่างจากเส้นตรงนี้ 1 หน่วย

วิธีทำ แทนค่าลงไปในสูตรข้างบนเลยก็ได้ครับ แน่นอนสมการที่เราต้องการหาต้องมีหน้าตาประมาณนี้

\(3x-4y+C=0\)  เราก็แค่หาค่าของ C  ก็จะได้คำตอบที่สมบูรณ์ครับและเส้นตรงสองเส้นห่างกัน 1 หน่วย แทนค่าลงไปในสูตรจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{|-5-C|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}&=&1\\\frac{|-5-C|}{5}&=&1\\|-5-C|&=&5\\C&=&0,-10\end{array}

ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง  \(3x-4y-5=0\) และอยู่ห่างจากเส้นตรงนี้ 1 หน่วย คือ

\(3x-4y+0=0\) 

และ

\(3x-4y-10=0\) 

---

3. จงหาสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง \(12y=5x-7\)  และอยู่ห่างจากจุด (-1,2)  3 หน่วย

วิธีทำ จากสมการที่เขากำหนดมาให้คือ  \(12y=5x-7\)  สมการนี้มีความชันเท่ากับ  \(\frac{5}{12}\) ดังนั้นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ย่อมมีความชันเท่ากับ \(-\frac{12}{5}\)  เหตุผลก็คือเส้นตั้งฉากกันเอาความชันมาคูณกันจะเท่ากับ -1   ดังนั้นเราจึงได้สมการเส้นตรงนี้คร่าวๆคือ

\(12x+5y+C=0\)    ต่อไปก็หาค่า C  ครับ โดยโจทย์บอกว่าเส้นตรงนี้อยู่ห่างจากจุด (-1,2)  3 หน่วย ดังนั้นเราจะได้

\begin{array}{lcl}d&=&\frac{|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\3&=&\frac{|(12)(-1)+5(2)+C|}{\sqrt{(12)^{2}+5^{2}}}\\3&=&\frac{|-2+C|}{\sqrt{144+25}}\\3&=&\frac{|-2+C|}{\sqrt{169}}\\3&=&\frac{|-2+C|}{13}\\|-2+C|&=&3\times 13\\|-2+C|&=&39\\C&=&41,-37\end{array}

ดังนั้นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง \(12y=5x-7\)  และอยู่ห่างจากจุด (-1,2)  3  หน่วย มีสมการเป็น

\(12x+5y+41=0\)  และ

\(12x+5y-37=0\) 

ดังรูปด้านล่างครับ