วันนี้เราจะมาพูดถึงสมการเส้นตรงสักหน่อยหนึ่งครับว่าเป็นอย่างไร ซึ่งก่อนที่จะมาเป็นสมการเส้นตรงได้นั้นมันต้องพูดถึงความชันของเส้นตรงดังนั้นให้เราไปอ่านความชันเส้นตรงตามลิงค์ก่อนครับ เริ่มกันเลยนะครับ จากรูปเส้นตรงเส้นหนึ่งเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \((x_{1},y_{1})\) และกำหนดให้
\((x,y)\) เป็นจุดใดๆที่อยู่บนเส้นตรงนี้
ซึ่งเราสามารถหาความชัน(m)ของเส้นตรงนี้ได้ตามนิยามก็คือ
\[m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\]
ซึ่งถ้าลองจัดสมการนิดหนึ่งก็คือย้ายข้างสมการนั่นแหละครับก็จะได้สมการหน้าตาอย่างนี้
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
สมการที่ได้มาใหม่นี้แหละครับเข้าเรียกว่าสมการเส้นตรงและเส้นตรงนี้ยังผ่านจุด \((x_{1},y_{1})\) ด้วยนะและ m คือความชันของเส้นตรงนี้มาลองทำแบบฝึกหัดกันเล็กน้อยเพื่อความเข้าใจ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 3 และเส้นตรงนั้นผ่านจุด (4,5)
วิธีทำ โจทย์ให้ความชันมาแล้ว ก็คือ m=3 และเส้นตรงนี้ผ่านจุด (4,5) ซึ่งมันก็คือ \(x_{1}=4,y_{1}=5\)
จากสมการเส้นตรงที่เรามีข้างบนคือ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}
แทนค่าลงไปเราก็จะได้
\begin{array}{lcl}y-5=3(x-4)\end{array}
นี่คือหน้าตาของสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 3 และผ่านจุด (4,5)
แต่อย่ากระนั้นเลยเนื่องจากสมการนี้ที่เราได้
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
มันยังไม่สวยงามเท่าไรเขาจึงนำสมการนี้มาจัดรูปใหม่อีกนิดเหมือนนำมาทำศัลยกรรมนั้นแหละครับก็จะได้
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-y_{1}&=&mx-mx_{1}\\y&=&mx+y_{1}-mx_{1}\end{array}
เนื่องจาก \( y_{1}-mx_{1}\) เป็นค่าคงที่ตัวหนึ่ง ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงกำหนดให้ \( y_{1}-mx_{1}=C\) จึงได้สมการใหม่คือ
\begin{array}{lcl}y&=&mx+C\end{array}
สมการนี้เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน โดย m คือความชัน และ C คือค่าคงที่หรือก็คือตัวเลขตัวหนึ่ง
ตัวอย่างของสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเช่น
\(y=4x+3\\y=-3x+8\\y=2x-4\\y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{7}\)
เป็นต้น ซึ่งถ้าเราจัดสมการเส้นตรงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้เราก็จะหาความชันได้ซึ่งความชันก็คือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x นั่นเองครับ
เช่น
\(y=3x+4\) ความชัน(m) มีค่าเท่ากับ 3
\(2y=10x-2\) อันนี้ความชันไม่ใช่ 10 นะครับต้องจัดรูปให้อยู่ในแบบมาตรฐานก่อนก็จะได้
\(y=\frac{10x-2}{2}\\y=5x-1\)
นั่นก็คือมีความชันเท่ากับ 5 นั่นเองครับ
\(2y-8x+2=0\) อันนี้เป็นสมการเส้นตรงเหมือนกันนะครับแต่ยังไม่ได้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราสามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ครับก็คือ
\(2y=8x-2\)
\(y=\frac{8x-2}{2}\)
\(y=4x-1\) แล้วความชันมีค่าเท่ากับ 4 นั่นเอง
จากตรงนี้จะเห็นว่าสมการเส้นตรง \(2y-8x+2=0\) ซึ่งถ้าเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปมันก็คือ \(Ax+By+C=0\) ซึ่งสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป
\[Ax+By+C=0\] เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปครับ
ผมจะลองจัดสมการให้ดูนะครับจากสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปคือ
\begin{array}{lcl}Ax+By+C&=&0\\By&=&-Ax-C\\y&=&\frac{-A}{B}x-\frac{C}{B}\end{array}
จะเห็นว่าถ้าเรามีสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป ความชันของสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปมีค่าเท่ากับ \(\frac{-A}{B}\)
ตัวอย่าง เช่น
1.1 \(5x+3y+2=0\) มี A=5,B=3 ดังนั้นความชัน
\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-5}{3}\) นั่นเองครับ
1.2 \(-4x+6y-4=0\) มี A=-4,B=6 ดังนั้นความชัน
\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-(-4)}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
สรุป อีกทีหนึ่งนะครับท่านผู้ชม สมการเส้นตรงโดยตามหนังสือทั่วไปนั้นมีจะมีอยู่ 3 แบบคือ
1) \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
สมการนี้เป็นสมการตั้งต้นนะครับ ถ้าโจทย์กำหนดความชันมาให้และกำหนดจุดที่เส้นตรงนั้นผ่าน เราสามารถหาสมการเส้นตรงได้โดยใช้สูตรอันนี้ครับดังที่ผมได้เขียนตัวอย่างให้ดูด้านบนครับ
2) \[y=mx+C\]
สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน ความชันคือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x
3) \[Ax+By+C=0\]
สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป ความชันคือ \(m=\frac{-A}{B}\)
มาลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมครับ
1. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5) และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\)
วิธีทำ เส้นตรง \(x+2y+12=0\) มีความชัน \(m=\frac{-A}{B}=\frac{-1}{2}\) ดังนั้นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงนี้ต้องมีความชันเท่ากับ \(\frac{-1}{2}\) ด้วยครับ จากสมการเส้นตรง
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]
จะเห็นว่า \(m=\frac{-1}{2},x_{1}=7,y_{1}=5\) แทนค่าลงไปเลยครับจะได้
\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{-1}{2}(x-7)\end{array}
จัดสมการนิดหนึ่งเพื่อความสวยงามจะได้
\begin{array}{lcl}2(y-5)&=&-1(x-7)\\2y-10&=&7-x\\x+2y-10-7&=&0\\x+2y-17&=&0\end{array}
ดังนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5) และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\) คือ \(x+2y-17=0\)
2. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4)
วิธีทำ ผมจะใช้สมการนี้ \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) ในการหาคำตอบ ก่อนอื่นต้องหา m หรือความชันของเส้นตรง หากันเลยครับ
\begin{array}{lcl}m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\m&=&\frac{5-4}{3-(-2)}\\m&=&\frac{1}{5}\end{array}
เมื่อได้ความชันแล้วก็หาสมการเส้นตรงได้ครับเลือกจุดหนึ่งจุด จุดไหนก็ได้ที่เส้นตรงนี้ผ่านผมเลือกจุด (3,5) แล้วกันเพื่อเอาไปแทนในสมการ
\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}
จะได้สมการเส้นตรงคือ
\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{1}{5}(x-3)\\y-5&=&\frac{x-3}{5}\\5(y-5)&=&x-3\\5y-25&=&x-3\\5y-x-25+3&=&0\\5y-x-22&=&0\end{array}
ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4) คือ \(5y-x-22=0\)
3.จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4) และตั้งฉากกับ(-1,3) และ (-2,-2)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับพยายามอ่านโจทย์ช้าๆ
ขั้นตอนแรก เขาให้เราหาสมการเส้นตรงซึ่งเส้นตรงที่ให้เราหานั้นมันตั้งฉากกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) จากตรงนี้เราสามารถหาความชันได้ใช้ไหมครับ
ความชันของเส้นตรงจุด(-1,3) และ (-2,-2) คือ
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{3-(-2)}{-1-(-2)}\\m=\frac{5}{1}\\m&=&5\end{array}
อย่าลืมนะเส้นตรงที่เรากำลังหาตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) เนื่องจากเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3) และ (-2,-2) มีความชันเท่ากับ 5 ดังนั้นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ย่อมมีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}{5}\) ใกล้ได้คำตอบแล้วครับ
ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเส้นตรงที่เราต้องการมีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}{5}\) และผ่านจุด (-1,4) ดังนั้นเรานำข้อมูลนี่แหละไปหาสมการเส้นตรง จาก
\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\] เมื่อ \(m=-\frac{1}{5},\quad x_{1}=-1,\quad y_{1}=4\) แทนค่าลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}y-4=-\frac{1}{5}(x-(-1))\\y-4&=&\frac{x+1}{-5}\\-5(y-4)&=&x+1\\-5y+20&=&x+1\\-5y-x+20-1&=&0\\-5y-x+19&=&0\end{array}
ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4) และตั้งฉากกับ(-1,3) และ (-2,-2) คือ \(-5y-x+20-1=0\)
สนับสนุนเว็บไซต์