วันนี้เราจะมาพูดถึงสมการเส้นตรงสักหน่อยหนึ่งครับว่าเป็นอย่างไร ซึ่งก่อนที่จะมาเป็นสมการเส้นตรงได้นั้นมันต้องพูดถึงความชันของเส้นตรงดังนั้นให้เราไปอ่านความชันเส้นตรงตามลิงค์ก่อนครับ เริ่มกันเลยนะครับ จากรูปเส้นตรงเส้นหนึ่งเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด \((x_{1},y_{1})\)  และกำหนดให้

\((x,y)\)  เป็นจุดใดๆที่อยู่บนเส้นตรงนี้ 

ซึ่งเราสามารถหาความชัน(m)ของเส้นตรงนี้ได้ตามนิยามก็คือ

\[m=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\]

ซึ่งถ้าลองจัดสมการนิดหนึ่งก็คือย้ายข้างสมการนั่นแหละครับก็จะได้สมการหน้าตาอย่างนี้

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

สมการที่ได้มาใหม่นี้แหละครับเข้าเรียกว่าสมการเส้นตรงและเส้นตรงนี้ยังผ่านจุด \((x_{1},y_{1})\)   ด้วยนะและ m คือความชันของเส้นตรงนี้มาลองทำแบบฝึกหัดกันเล็กน้อยเพื่อความเข้าใจ

ตัวอย่างที่ 1  จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 3 และเส้นตรงนั้นผ่านจุด (4,5)

วิธีทำ  โจทย์ให้ความชันมาแล้ว ก็คือ  m=3  และเส้นตรงนี้ผ่านจุด (4,5)  ซึ่งมันก็คือ \(x_{1}=4,y_{1}=5\)

จากสมการเส้นตรงที่เรามีข้างบนคือ 

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}

แทนค่าลงไปเราก็จะได้

\begin{array}{lcl}y-5=3(x-4)\end{array}

นี่คือหน้าตาของสมการเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 3 และผ่านจุด (4,5)

แต่อย่ากระนั้นเลยเนื่องจากสมการนี้ที่เราได้

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

มันยังไม่สวยงามเท่าไรเขาจึงนำสมการนี้มาจัดรูปใหม่อีกนิดเหมือนนำมาทำศัลยกรรมนั้นแหละครับก็จะได้

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\\y-y_{1}&=&mx-mx_{1}\\y&=&mx+y_{1}-mx_{1}\end{array}

เนื่องจาก   \( y_{1}-mx_{1}\)  เป็นค่าคงที่ตัวหนึ่ง ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงกำหนดให้   \( y_{1}-mx_{1}=C\)  จึงได้สมการใหม่คือ

\begin{array}{lcl}y&=&mx+C\end{array}

สมการนี้เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน โดย m คือความชัน  และ C  คือค่าคงที่หรือก็คือตัวเลขตัวหนึ่ง  

ตัวอย่างของสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเช่น

\(y=4x+3\\y=-3x+8\\y=2x-4\\y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{7}\)   

เป็นต้น ซึ่งถ้าเราจัดสมการเส้นตรงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้เราก็จะหาความชันได้ซึ่งความชันก็คือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x  นั่นเองครับ

เช่น 

\(y=3x+4\)  ความชัน(m) มีค่าเท่ากับ 3

\(2y=10x-2\)  อันนี้ความชันไม่ใช่ 10 นะครับต้องจัดรูปให้อยู่ในแบบมาตรฐานก่อนก็จะได้

\(y=\frac{10x-2}{2}\\y=5x-1\)

นั่นก็คือมีความชันเท่ากับ 5 นั่นเองครับ

\(2y-8x+2=0\)  อันนี้เป็นสมการเส้นตรงเหมือนกันนะครับแต่ยังไม่ได้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราสามารถจัดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ครับก็คือ

\(2y=8x-2\)

\(y=\frac{8x-2}{2}\)

\(y=4x-1\)    แล้วความชันมีค่าเท่ากับ 4  นั่นเอง

จากตรงนี้จะเห็นว่าสมการเส้นตรง \(2y-8x+2=0\) ซึ่งถ้าเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปมันก็คือ \(Ax+By+C=0\)  ซึ่งสมการเส้นตรงที่อยู่ในรูป

\[Ax+By+C=0\]   เรียกว่าสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปครับ

ผมจะลองจัดสมการให้ดูนะครับจากสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปคือ

\begin{array}{lcl}Ax+By+C&=&0\\By&=&-Ax-C\\y&=&\frac{-A}{B}x-\frac{C}{B}\end{array}

จะเห็นว่าถ้าเรามีสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป ความชันของสมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไปมีค่าเท่ากับ \(\frac{-A}{B}\)

ตัวอย่าง เช่น

1.1 \(5x+3y+2=0\)  มี A=5,B=3  ดังนั้นความชัน

\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-5}{3}\)   นั่นเองครับ

1.2  \(-4x+6y-4=0\)   มี A=-4,B=6  ดังนั้นความชัน

\(m=\frac{-A}{B}=\frac{-(-4)}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

สรุป อีกทีหนึ่งนะครับท่านผู้ชม สมการเส้นตรงโดยตามหนังสือทั่วไปนั้นมีจะมีอยู่ 3 แบบคือ

1) \[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]

สมการนี้เป็นสมการตั้งต้นนะครับ ถ้าโจทย์กำหนดความชันมาให้และกำหนดจุดที่เส้นตรงนั้นผ่าน เราสามารถหาสมการเส้นตรงได้โดยใช้สูตรอันนี้ครับดังที่ผมได้เขียนตัวอย่างให้ดูด้านบนครับ

2) \[y=mx+C\]

สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบมาตรฐาน   ความชันคือสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร x

3) \[Ax+By+C=0\] 

สมการนี้มีชื่อเรียกว่า สมการเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป    ความชันคือ \(m=\frac{-A}{B}\)

มาลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมครับ

1. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5)  และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\)

วิธีทำ  เส้นตรง \(x+2y+12=0\)  มีความชัน \(m=\frac{-A}{B}=\frac{-1}{2}\)   ดังนั้นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรงนี้ต้องมีความชันเท่ากับ  \(\frac{-1}{2}\)   ด้วยครับ จากสมการเส้นตรง

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]  

จะเห็นว่า  \(m=\frac{-1}{2},x_{1}=7,y_{1}=5\)   แทนค่าลงไปเลยครับจะได้

\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{-1}{2}(x-7)\end{array}

จัดสมการนิดหนึ่งเพื่อความสวยงามจะได้

\begin{array}{lcl}2(y-5)&=&-1(x-7)\\2y-10&=&7-x\\x+2y-10-7&=&0\\x+2y-17&=&0\end{array}

ดังนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (7,5)  และขนานกับเส้นตรง \(x+2y+12=0\)  คือ  \(x+2y-17=0\)


2. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4)

วิธีทำ  ผมจะใช้สมการนี้  \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\)  ในการหาคำตอบ ก่อนอื่นต้องหา m หรือความชันของเส้นตรง หากันเลยครับ

\begin{array}{lcl}m=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\\m&=&\frac{5-4}{3-(-2)}\\m&=&\frac{1}{5}\end{array}   

เมื่อได้ความชันแล้วก็หาสมการเส้นตรงได้ครับเลือกจุดหนึ่งจุด จุดไหนก็ได้ที่เส้นตรงนี้ผ่านผมเลือกจุด (3,5) แล้วกันเพื่อเอาไปแทนในสมการ

\begin{array}{lcl}y-y_{1}&=&m(x-x_{1})\end{array}

จะได้สมการเส้นตรงคือ

\begin{array}{lcl}y-5&=&\frac{1}{5}(x-3)\\y-5&=&\frac{x-3}{5}\\5(y-5)&=&x-3\\5y-25&=&x-3\\5y-x-25+3&=&0\\5y-x-22&=&0\end{array}

ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (-2,4) คือ  \(5y-x-22=0\)


3.จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4)  และตั้งฉากกับ(-1,3)  และ (-2,-2)

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากครับพยายามอ่านโจทย์ช้าๆ 

ขั้นตอนแรก  เขาให้เราหาสมการเส้นตรงซึ่งเส้นตรงที่ให้เราหานั้นมันตั้งฉากกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (-1,3)  และ (-2,-2) จากตรงนี้เราสามารถหาความชันได้ใช้ไหมครับ

ความชันของเส้นตรงจุด(-1,3)  และ (-2,-2) คือ

\begin{array}{lcl}m&=&\frac{3-(-2)}{-1-(-2)}\\m=\frac{5}{1}\\m&=&5\end{array}

อย่าลืมนะเส้นตรงที่เรากำลังหาตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3)  และ (-2,-2)  เนื่องจากเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,3)  และ (-2,-2) มีความชันเท่ากับ 5  ดังนั้นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ย่อมมีความชันเท่ากับ  \(-\frac{1}{5}\)   ใกล้ได้คำตอบแล้วครับ

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าเส้นตรงที่เราต้องการมีความชันเท่ากับ \(-\frac{1}{5}\) และผ่านจุด (-1,4)   ดังนั้นเรานำข้อมูลนี่แหละไปหาสมการเส้นตรง  จาก

\[y-y_{1}=m(x-x_{1})\]     เมื่อ  \(m=-\frac{1}{5},\quad x_{1}=-1,\quad y_{1}=4\)     แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}y-4=-\frac{1}{5}(x-(-1))\\y-4&=&\frac{x+1}{-5}\\-5(y-4)&=&x+1\\-5y+20&=&x+1\\-5y-x+20-1&=&0\\-5y-x+19&=&0\end{array}

ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (-1,4)  และตั้งฉากกับ(-1,3)  และ (-2,-2)  คือ \(-5y-x+20-1=0\)

 

Pin It