วงกลม บทนี้จะว่าด้วยเรื่องของวงกลมนะครับ เป็นเนื้อหาภาคตัดกรวยซึ่งจะเรียนในตอน ม.4  วงกลม ม.4 เนียะเป็นอะไรที่ยุ่งยากหลายๆคนไม่ชอบทบนี้เพราะยาก แต่ก็ต้องจำใจเรียนเพราะต้องใช้ในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยและที่สำคัญต้องสอบในห้องเรียนให้ผ่านด้วย สิ่งแรกที่ผมว่าเรามาดูนิยามของวงกลมกันก่อนดีกว่าครับ

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงกลม

 วงกลม (Circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุดๆ หนึ่งที่ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดตรึงที่อยู่กับที่นี้เรียกว่าจุดศูนย์กลาง (Center) ของวงกลมและระยะทางคงตัวดังกล่าวเรียกว่า รัศมี (Radius) ของวงกลม

เมื่อรู้จักนิยามหรือความหมายของวงกลมในเชิงเรขคณิตแล้วต่อไปเราก็จะไปดูรูปร่างหน้าตาของสมการวงกลมกันครับ หน้าตาของสมการวงกลมก็จะเป็นแบบนี้

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม

สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h,k)  และรัศมียาว \(r\) หน่วยคือ 

\[(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\]

สมการนี้เรียกว่า  รูปแบบมาตรฐาน ของสมการวงกลม

ตัวอย่างเช่น

\((x-3)^{2}+(y-2)^{2}=4^{2}\)   นี่คือสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3,2) และรัศมียาวเท่ากับ 4 หน่วย ดังรูป

\((x-2)^{2}+(y+4)^{2}=3^{2}\)  นี่คือสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,-4) และรัศมียาวเท่ากับ 3 หน่วย

\((x+5)^{2}+(y+7)^{2}=25\)  นี่คือสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-5,-7)  และรัศมียาวเท่ากับ 5 หน่วยดังรูป

\(x^{2}+y^{2}=4\)  นี่คือสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0)  และรัศมียาวเท่ากับ 2 หน่วย

สรุปหลักการในการเรียนเรื่องนี้คือต้องจำสมการวงกลมให้ได้และต้องบอกให้ได้ว่าเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ไหนและรัศมียาวเท่าไร  ต่อไปเราก็ลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมกันครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหาสมการวงกลมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2,-1) และรัศมียาว 3 หน่วย

วิธีทำ  จากสมการวงกลมคือ

\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)

จากโจทย์จะได้ว่า h=2,k=-1  จะได้สมการวงกลมคือ

\((x-2)^{2}+(y-(-1))^{2}=3^{2}\)

\((x-2)^{2}+(y+1)^{2}=9\)

2) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1,5) และผ่านจุด (-4,-6)

วิธีทำ    จากสมการวงกลมคือ

\((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\)

จากโจทย์จะได้ว่า h=-1,k=5  จะได้สมการวงกลมคือ

\((x-(-1))^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}\) 

\((x+1)^{2}+(y-5)^{2}=r^{2}\) 

ส่วนการหารัศมีของวงกลมนี้ก็หาได้จากระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดที่วงกลมนี้ผ่านครับ ซึ่งก็คือระยะทางจาก (-1,5) ไปยัง (-4,-6) นั่นเองครับ ใครหาไม่เป็นไปอ่านตามนี้ครับ ระยะทางระหว่างจุดสองจุด ไปหากันเลยครับจะได้

\(\sqrt{(-4-(-1))^{2}+(-6-5)^{2}}=\sqrt{9+121}=\sqrt{130}\)

นั่นคือวงกลมนี้มีรัศมียาว \(\sqrt{130}\)  หน่วย

ดังนั้นสมการวงกลมคือ

\((x-(-1))^{2}+(y-5)^{2}=\sqrt{130}^{2}\) 

3)  วงกลมที่อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 และสัมผัสแกน X และแกน Y รัศมียาว 5 หน่วย

วิธีทำ  ข้อนี้ลองวาดรูปดูคราวๆครับไม่ยาก วาดรูปดูก็จะหาสมการได้เองครับ

ดังนั้นเราจะได้ว่าวงกลมนี้มีสมการคือ \((x-5)^{2}+(y-5)^{2}=5^{2}\)  นั่นเองครับ

---

2. จงแสดงว่าสมการนี้เป็นสมการวงกลมพร้อมทั้งหารัศมีและจุดศูนย์กลางของวงกลม

1)  \(x^{2}+y^{2}+4x-2y+1=0\)

วิธีทำ ข้อนี้จัดรูปให้ได้สมการวงกลมนะ ค่อยๆดูใช้วิธีการทำคือใช้ความรู้เรื่องวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์  นะครับอ่านตามลิงค์ที่ผมให้มาก่อนก็ได้ครับ

\begin{array}{lcl}x^{2}+4x+y^{2}-2y&=&-1\\x^{2}+2(2)x+y^{2}-2(1)y&=&-1\\\left(x^{2}+2(2)x+2^{2}\right)+\left(y^{2}-2(1)y+1^{2}\right)&=&-1+(2)^{2}+(1)^{2}\\(x+2)^{2}+(y-1)^{2}&=&4\\(x+2)^{2}+(y-1)^{2}&=&2^{2}\end{array}

ดังนั้นสมการนี้เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-2,1)  และมีรัศมีเท่ากับ 2

2) \(x^{2}+y^{2}+10x-4y+13=0\)

วิธีทำ  จัดรูปเหมือนเดิมครับผมไม่เข้าใจตรงไหนเม้นต์ถามได้ครับ

\begin{array}{lcl}x^{2}+y^{2}+10x-4y+13&=&0\\x^{2}+10x+y^{2}-4y&=&-13\\x^{2}+2(5)x+y^{2}-2(2)y&=&-13\\\left(x^{2}+2(5)x+5^{2}\right)+\left(y^{2}-2(2)y+2^{2}\right)&=&-13+5^{2}+2^{2}\\(x+5)^{2}+(y-2)^{2}&=&16\\(x+5)^{2}+(y-2)^{2}&=&4^{2}\end{array}

ดังนั้นสมการนี้เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-5,2)  และมีรัศมีเท่ากับ 4

3) \(x^{2}+y^{2}+6x+2=0\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมครับ 

\begin{array}{lcl}x^{2}+y^{2}+6x+2&=&0\\x^{2}+6x+y^{2}&=&-2\\(x^{2}+2(3)x+3^{2})+y^{2}&=&-2+(3)^{2}\\(x+3)^{2}+(y-0)^{2}&=&7\\(x+3)^{2}+(y-0)^{2}&=&(\sqrt{7})^{2}\end{array}

ดังนั้นสมการนี้เป็นสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-3,2)  และมีรัศมีเท่ากับ \(\sqrt{7}\)

---

3. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1,1) และสัมผัสกับเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น  \(3x-2y+18=0\)

วิธีทำ  จากที่โจทย์กำหนดมาให้แน่นอนเรารู้คร่าวๆว่าสมการนี้ต้องเป็นประมาณนี้

\(x-(-1))^{2}+(y-1)^{2}=r^{2}\)

\((x+1)^{2}+(y-1)^{2}=r^{2}\)

ที่นี้สิ่งที่เราต้องหาคือรัศมีของวงกลมนี้ครับ เนื่องจากวงกลมนี้สัมผัสกับเส้นตรงที่มีสมการเป็น \(3x-2y+18=0\) ดังนั้นรัศมีก็คือ ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด(-1,1) นั่นเองครับผม เริ่มหากันเลยนะครับ

จากสูตร

และเราต้องรู้ด้วยนะว่า \(x_{1}=-1,\quad y_{1}=1\)   แล้วเอาไปแทนค่าในสูตรเลยครับ

\begin{array}{lcl}d&=&\frac{|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\d&=&\frac{|3(-1)-2(1)+18|}{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}}\\d&=&\frac{|13|}{\sqrt{13}}\\d&=&\frac{13}{\sqrt{13}}\\d&=&\sqrt{13}\end{array}

จากตรงนี้เราจึงได้ว่าวงกลมนี้มีรัศมีเท่ากับ \(\sqrt{13}\)  นั่นคือสมการวงกลมข้อนี้คือ

\((x+1)^{2}+(y-1)^{2}=(\sqrt{13})^{2}\)

ดูรูปประกอบด้านล่างครับ

4. จงหาจุดตัดของกราฟของสมการ \(x+y=1\) และ  \(x^{2}+y^{2}-x-3y=0\)  

วิธีทำ  ข้อนี้ถ้าดูจากสมการแล้วเป็นการหาจุดตัดของเส้นตรงกับวงกลม ก็ใช้วิธีทางพีชคณิตทำได้เลย หรือถ้าใครรู้จักเจ้าโปรแกรม Geogebra เราก็สามารถหาคำตอบได้เลยแค่คีย์สมการเข้าไปก็จะเห็นคำตอบ สามารถหาดาวน์โหลดโปรแกรมได้ตาม internet เลยครับ เป็นโปรแกรมที่ช่วยได้มากครับและดีมากด้วย มาเริ่มลองทำกันเลยครับ

กำหนดให้  

\(x+y=1 \quad ...(1)\)

\(x^{2}+y^{2}-x-3y=0\quad ...(2)\)

จาก

\begin{array}{lcl}x+y&=&1\\x&=&1-y \quad ....(3)\end{array}

แทน \(x\) ด้วย \((1-y)\) ลงไปในสมการที่ 2 จะได้

\begin{array}{lcl}(1-y)^{2}+y^{2}-(1-y)-3y&=&0\\1^{2}-2(1)y+y^{2}+y^{2}-1+y-3y&=&0\\2y^{2}-2y+y-3y&=&0\\2y^{2}-4y&=&0\\2y(y-2)&=&0\end{array}

ดังนั้นเราจะได้

\[2y=0\]

\[y=0\]

หรือ

\[y-2=0\]

\[y=2\]

ต่อไปหาค่า \(x\)  ครับ

แทน  y ด้วย 0  ในสมการที่ (1) จะได้

\[x+0=1\]

\[x=1\]

แทน y ด้วย 2 ในสมการที่ (2)  จะได้

\[x+2=1\]

\[x=-1\]

ดังนั้นเราจะได้คำตอบคือ ตอบเป็นคู่อันดับ (x,y) นะครับก็คือ ทั้งเส้นตรงและวงกลมตัดกันสองจุดคือ (1,0)  และ (-1,2)  ดูรูปประกอบด้านล่างครับ

---

5. จงเขียนกราฟของอาณาบริเวณซึ่งกำหนดโดยเซตต่อไปนี้

1) \(\{(x,y) | x^{2}+y^{2}\leq 4\}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ ถ้าเราดูสมการนี้เป็นจุดเริ่มต้น คือ

\(x^{2}+y^{2}=4\)  มันคือสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) และมีรัศมียาวเท่ากับ 2  นั่นเอง

แต่โจทย์เป็นอสมการก็คือ

\(x^{2}+y^{2}\leq 4\)  มันก็คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับสองและจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) หรือก็คือพื้นที่อยู่ในวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 2 มาดูรูปกันเลย ครับผมใช้โปรแกรม Geogebra วาดรูปนะครับลองไปโหลดใช้ดูครับ 

---

6. จงเขียนกราฟของอาณาบริเวณที่สอดคล้องกับอสมการ  \(x^{2}+y^{2}\leq\)  และ \(y\geq |x|\)  แล้วจงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณนี้

วิธีทำ  วาดรูปแล้วหาพื้นที่ครับ ใครวาดเองไม่เป็นก็พยายามหาโปรแกรมมาช่วยครับ จะได้รูปอย่างนี้

เนื่องจาก พื้นที่ส่วนที่โจทย์ต้องการให้หามันคือ หนึ่งในสี่ของพื้นที่วงกลม ดังนั้นจะได้

พื้นที่เท่ากับ  \(\frac{1}{4}\pi r^{2}=\frac{1}{4}\pi (3)^{2}=\frac{9}{4}\pi\)