ตอน ม.3  เราเคยเรียนพาราโบลา  มาแล้วแหละ ถ้าใครจำไม่ได้ก็สามารถกลับไปทบทวนอ่านได้ตามลิงค์ที่ผมใส่เอาไว้ให้ได้ครับ  ส่วน ม.4  เราก็จะได้เรียนพาราโบลาอีกทีหนึ่งเนื้อหาก็จะเข้มข้นมากยิ่งขึ้นครับ แต่ถ้าใครเข้าใจตอน ม.3 แล้วก็จะสบายๆ พาราโบลา ม.4  ก็คือเป็นการเรียนต่อยอดตอน พาราโบลา ม.3 นั่นเองครับ  ถ้ามีคนถามว่าพาราโบลา คืออะไร ก็ตอบเขาไปว่ามันคือเส้นโค้งๆ เดี่ยวผมจะมีรูปประกอบให้ดูด้านล่างครับ แต่ถ้ามีคนถามอีกว่าเรียนพาราโบลาไปทำไม  ก็ตอบเขาไปว่า เคยเห็นลำโพงไหม หรือเคยเห็น ไฟหน้ารถยนต์ไหม ถ้าเราสังเกตดีๆลำโพงนี้จะมีลักษณะเป็นเหมือนกับจาน จานนี้นักคณิตศาสตร์เรียกกันว่า จานพาราโบลอยด์ ดูรูปประกอบครับ แล้วทำไมต้องเป็นรูปจาน เป็นรูปอย่างอื่นไม่ได้หรอ  คำตอบคือไม่ได้  ทำไมไฟหน้ารถหรือว่าลำโพงจึงต้องไปพาราโบลอยด์(paraboloid)ให้พวกเราไปค้นหาคำตอบเองแล้วกันครับ นี่ก็คือการประยุกต์ใช้ความรู้พวกนี้มาช่วยในด้านประโยชน์ในชีวิตประจำวัน

มาดูรูปกันครับ  นี่คือพาราโบลา(parabolar)  ซึ่งมีทั้งพาราโบลาที่เป็นแบบระฆังหงาย แบบระฆังคว่ำ(อ้นนี้ได้เรียนตอน ม.3)  และมีแบบตะแคงซ้ายกับตะแคงขวา อันนี้จะได้เรียนเพิ่มตอน ม.4 ครับ

ที่นี้เราลองคิดตามนะ ถ้าเราเอาพาราโบลานี้มาหมุนแบบเร็วๆ เราก็จะมองเห็นว่ามันคือแผ่นถ้วยหรือว่าแผ่นจานนั่นเองครับ ซึ่งเรียกแผ่นถ้วยหรือว่าจานนี้ พาราโบลอยด์(paraboloid) ก็จะมีลักษณะเหมือนลำโพงหรือไฟหน้ารถยนต์ครับ ดังรูป

ขอบคุณภาพจาก:https://en.wikipedia.org/wiki/Paraboloid#/media/File:Paraboloid_of_Revolution.svg

นี่คือความรู้เบื้องต้นคร่าวๆที่ต้องรู้ครับ  ต่อไปเราก็จะมาลงเกี่ยวกับสมการพาราโบลาในแบบต่างๆ ก็จะมีแบบระฆังคว่ำ ระฆังหงาย กับแบบตะแคงซ้ายคะแคงขวา มาดูนิยามของพาราโบลาก่อน

บทนิยามเชิงเรขาคณิตของพาราโบลา

 พาราโบลา(parabola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจุด F ที่ตรึงอยู่กับที่จุดหนึ่งและเส้นตรง \(l\) ที่ตรึงอยู่กับที่เส้นหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า โฟกัส และเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า เส้นบังคับ หรือ ไดเรกตริกซ์ (directrix) ของพาราโบลา

ต่อไปเรามาดูสมการพาราโบลากันดีกว่าครับ

สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเป็นรูประฆัง คือ

\[x^{2}=4py\]

ถ้า \(p>0\) จะเป็นระฆังหงายตามรูปด้านล่าง

---

ถ้า \(p<0\)  จะเป็นระฆังคว่ำตามรูปด้านล่าง

ทั้งสองรูปจะมี

จุดยอดอยู่ที่ \((0,0)\)

จุดโฟกัสอยู่ที่ \((0,p)\)

สมการเส้นไดเรกตริกส์คือ  \(y=-p\)

สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเป็นระฆังตะแคงซ้ายและระฆังตะแคงขวา คือ

\[y^{2}=4px\]

ถ้า \(p>0\) จะเป็นระฆังตะแคงขวาตามรูปด้านล่าง

---

ถ้า \(p<0\)  จะเป็นระฆังตะแคงซ้ายตามรูปด้านล่าง

ทั้งสองรูปจะมี

จุดยอดอยู่ที่ \((0,0)\)

จุดโฟกัสอยู่ที่ \((p,0)\)

สมการเส้นไดเรกตริกส์คือ  \(x=-p\)

อีกอันหนึ่งที่เราควรรู้คือ ลาตัสเรกตัม (latus rectum) คือคอร์ดที่ตั้งฉากกับแกนพาราโบลาและลากผ่านโฟกัสของพาราโบลา ดูรูปด้านล่างประกอบนะครับ ความยาวของลาตัสเรกตัมใช้วัดความกว้าง ของพาราโบลา ซึ่งความยาวของเส้นลาตัสเรกตัมนี้หาได้จาก \(|4p|\)

ต่อไปลองทำแบบฝึกหัดดีกว่าครับ

แบบฝึกหัด

1.  จงหาโฟกัส ไดเรกตริกซ์ และความยาวของลาตัสเรกตัมของพาราโบลาแล้วเขียนกราฟ

1)  \(y=4x^{2}\)

วิธีทำ  ข้อนี้ลองจัดสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานคือจัดให้อยู่ในรูปของ \(x^{2}=4py\)  

จาก

\(y=4x^{2}\)

\(x^{2}=\frac{1}{4}y\)

\(x^{2}=4\frac{1}{16}y\)    หน้าตาเปลี่ยนแต่ค่าเท่าเดิมไม่เชื่อลองตัดทอนดูครับ

เราจึงได้ว่าสมการนี้คือพาราโบลาระฆังหงายและมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0,0) เพราะ \(p=\frac{1}{16}>0\)

จุดโฟกัสคือ \((0,p)\) คือ \((0,\frac{1}{16})\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=-p\)  คือ  \(y=-\frac{1}{16}\)

ความยาวของลาตัสเรกตัมคือ \(|4p|=4\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\)

---

2) \(8x+12y^{2}=0\)

วิธีทำ จัดสมการเหมือนเดิมครับ

จาก 

\(8x+12y^{2}=0\)

\(12y^{2}=-8x\)

\(y^{2}=-\frac{8}{12}x\)

\(y^{2}=-\frac{4\times 2}{12}x\)

\(y^{2}=-4\frac{1}{6}x\)     จัดรูปให้อยู่ในสมการมาตรฐานคือ \(y^{2}=4px\)  

จากหน้าตาของสมการแล้วจะได้ว่า สมการนี้เป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) เป็นพาราโบลาตะแคงซ้ายเนื่องจากค่า \(p=-\frac{1}{6}<0\)

จุดโฟกัสคือ \((p,0)\)  คือ  \((-\frac{1}{6},0)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=-p\)  คือ  \(x=-(-\frac{1}{6})=\frac{1}{6}\)

ความยาวของลาตัสเรกตัมคือ \(|4p|=|4(-\frac{1}{6})|=\frac{2}{3}\)

ต่อไปเราก็มาดูเกี่ยวกับพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k) ก็คือจุดยอดอยู่ที่ไหนก็ได้ครับ

พาราโบลาระฆังหงายและระฆังคว่ำที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) จะมีสมการคือ

\[(x-h)^{2}=4p(y-k)\]

เมื่อ \(p>0\) พาราโบลาจะเป็นระฆังหงาย

เมื่อ \(p<0\)  พาราโบลาจะเป็นระฆังคว่ำ

จุดยอดคือ (h,k)

จุดโฟกัสคือ \((h,k+p)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=k-p\)

พาราโบลาคะแคงซ้ายและขวาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k)  จะมีสมการคือ

\[(y-k)^{2}=4p(x-h)\]

เมื่อ \(p>0\)  พาราโบลาจะตะแคงขวา

เมื่อ \(p<0\)  พาราโบลาจะตะแคงซ้าย

จุดยอดคือ (h,k)

จุดโฟกัสคือ \((h+p,k)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p\)

มาลองทำแบบฝึกหัดกันครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหา จุดยอด โฟกัส และไดเรกตริกส์ของพาราโบลาและเขียนกราฟ

1) \((x-3)^{2}=8(y+2)\)

วิธีทำ  ถ้าเราลองเทียบสมการที่โจทย์ให้มากับสมการนี้

\[(x-h)^{2}=4p(y-k)\]

เราจะเห็นว่ามันคือพาราโบลานั่นเองครับ จัดสมการนิดหนึ่ง

\begin{array}{lcl}(x-3)^{2}&=&8(y+2)\\(x-3)^{2}&=&4(2)(y+2)\end{array}

จะเห็นว่า \(p=2\)  นั่นมันเป็นพาราโบลาระฆังหงายนั่นเองครับ

จุดยอดคือ เนื่องจาก h=3 ,k=-2  ดังนั้น

จุดยอดคือ (3,-2)

จุดโฟกัสคือ \((h,k+p)\)  นั่นคือ  \((3,-2+2)\) 

จุดโฟกัสคือ \((3,0)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(y=k-p=-2-2=-4\)

---

2) \(y^{2}=16x+8\)

วิธีทำ ต้องลองจัดสมการดูครับ

จาก

\begin{array}{lcl}y^{2}&=&16x+8\\y^{2}&=&16(x+\frac{8}{16})\\y^{2}&=&16(x+\frac{1}{2})\\(y-0)^{2}&=&4(4)(x+\frac{1}{2})\end{array}

ลองเอาสมการที่จัดมาเทียบกันสมการนี้ดูครับ

\[(y-k)^{2}=4p(x-h)\]

จะเห็นว่าเป็นสมการพาราโบลาตะแคงขวา เพราะมี \(p=4\)  

มีจุดยอดคือ \((-\frac{1}{2},0)\)

จุดโฟกัสคือ \((-\frac{1}{2}+4,0)\)  ซึ่งก็คือ \((\frac{7}{2},0)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p=-\frac{1}{2}-4=-\frac{9}{2}\)

---

3) \(x-y^{2}+4y-2=0\)

วิธีทำ ข้อนี้ต้องจัดรูปครับใช้กำลังสองสมบูรณ์มาช่วยครับ

\begin{array}{lcl}x-y^{2}+4y&=&0\\-y^{2}+4y&=&2-x\\y^{2}-4y&=&x-2\\y^{2}-2(2)y+2^{2}&=&x-2+2^{2}\\(y-2)^{2}&=&x+2\\(y-2)^{2}&=&4(\frac{1}{4})(x+2)\end{array}

สมการนี้คือพาราโบลาครับ เป็นพาราโบลาตะแคงขวาเพราะ  \(p=\frac{1}{4}>0\)

จุดยอดคือ  \((-2,2)\)

จุดโฟกัสคือ \((h+p,k)=(-2+\frac{1}{4},2)=(-\frac{7}{4},2)\)

สมการไดเรกตริกส์คือ \(x=h-p=-2-\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}\)