ไฮเพอร์โบลา สมการไฮเพอร์โบลามีสมการคล้ายๆกับวงรี แต่หน้าตาของไฮเพอร์โบลาแตกต่างจากวงรีโดยสิ้นเชิงครับ เดี่ยวเราจะมาดูว่าไฮเพอร์โบลามีส่วนประกอบอย่างไรบ้างครับ ค่อยๆดูนะครับ  ดูรูปประกอบครับ

รูปแรกเป็นไฮเพอร์โบลานอนครับ มีส่วนประกอบต่างๆดังรูปครับ

ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา นอนจะมีสมการคือ

\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\]

จูดศูนย์กลางคือ  \((h,k)\)

จุดยอดคือ \((h-a,k) \quad , \quad (h+a,k)\)

จุดโฟกัสคือ \((h-c,k) \quad , \quad (h+c,k)\)

เมื่อ  \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)

แกนตามขวางยาว \(2a\)  หน่วย

แกนสังยุคยาว \(2b\)  หน่วย

สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)

รูปที่สอง เป็นไฮเพอร์โบลาตั้งครับ มีส่วนประกอบต่างๆดังรูปครับ

ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา ตั้งจะมีสมการคือ

\[\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\]

จุดศูนย์กลางคือ \((h,k)\)

จุดยอดคือ \((h,k-a) \quad ,\quad (h,k+a)\)

จุดโฟกัสคือ \((h,k-c)\quad ,\quad (h,k+c)\)

เมื่อ  \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)

แกนตามขวางยาว \(2a\)  หน่วย

แกนสังยุคยาว \(2b\)  หน่วย

สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{a}{b}(x-h)\)

 

มาทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหาจุดศูนย์กลาง โฟกัส จุดยอดและเส้นกำดับไฮเพอร์โบลา แล้วเขียนกราฟ

1)  \(\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y+3)^{2}}{16}=1\)

วิธีทำ ถ้าเราลองเทีบบสมการที่โจทย์ให้มากับสมการนี้

\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)

เราจะเห็นว่าสมการที่โจทย์ให้มามันคือไฮเพอร์โบลานอนครับก็คือแกนตามขวางอยู่ในแนวนอนครับ

จะเห็นว่า \(a^{2}=9\quad ,b^{2}=16\)

ดังนั้น  \(a=3,b=4\)

จาก \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)

\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

\(c=\sqrt{9+16}\)

\(c=5\)

ดังนั้น

จุดศูนย์กลางคือ \((1,-3)\)

จุดยอดคือ \((1-3,-3) \quad ,\quad (1+3,-3)\)  ก็คือ

\((-2,-3) \quad ,\quad (4,-3)\)

จุดโฟกัสคือ \((1-5,-3) \quad ,\quad (1+5,-3)\) ก็คือ

\((-4,-3) \quad , \quad (6,-3)\)  

แกนตามขวางยาว \(2a=2(3)=6\)  หน่วย

แกนสังยุคยาว \(2b=2(4)=8\)  หน่วย

สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)

\(y+3=\pm\frac{4}{3}(x-1)\)


2)  \(\frac{(y-1)^{2}}{25}-(x-3)^{2}=1\)

วิธีทำ  สมการที่โจทย์ให้มาถ้าลองเทียบกับสมการนี้

\(\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)

เราจะเห็นว่าสมการที่โจทย์ให้มามันคือไฮเพอร์โบลาตั้งครับก็คือแกนตามขวางอยู่ในแนวตั้งครับ

จะเห็นว่า \(a^{2}=25 \quad ,\quad b^{2}=1\)

ดังนั้น  \(a=5 \quad ,\quad b=1\)

จะได้ \(c=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\)

จึงได้ว่า

จุดศูนย์กลางคือ \((3,1)\)

จุดยอดคือ \((h,k-a) \quad ,\quad (h,k+a)\) นั่นคือ

\((3,1-5) \quad ,\quad (3,1+5)\)  ก็คือ

\((3,-4) \quad ,\quad (3,6)\)

จุดโฟกัสคือ \((h,k-c)\quad ,\quad (h,k+c)\)   นั่นคือ

\((3,1-\sqrt{26}) \quad ,\quad (3,1+\sqrt{26})\)

สมการเส้นกำกับคือ \(y-1=\pm5(x-3)\)


3) \(9y^{2}+18y=x^{2}+6x+18\)

วิธีทำ อันนี้เราจะต้องจัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐานก่อนครับไม่อย่างนั้นไม่รู้จุดศูนย์กลางแน่ครับ เริ่มจัดเลย

\begin{array}{lcl}9y^{2}+18y&=&x^{2}+6x+18\\9(y^{2}+2y)-(x^{2}+6x)&=&18\\9(y^{2}+2(y)1+1^{2})-(x^{2}+2(x)3+3^{2})&=&18+9-9\\9(y+1)^{2}-(x+3)^{2}&=&18\\\frac{(y+1)^{2}}{2}-\frac{(x+3)^{2}}{18}&=&1\end{array}

จากสมการก็คือไฮเพอร์โบลา ตามแนวตั้งนั่นเองครับ

\(a^{2}=2 \quad ,\quad b^{2}=18\)

ดังนั้น

\(a=\sqrt{2} \quad ,\quad b=3\sqrt{3}\)

จาก \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)

\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

\(c=\sqrt{2+18}\)

\(c=2\sqrt{5}\)

จุดศูนย์กลางคือ \((-3,-1)\)

จุดยอดคือ \((h,k-a) \quad ,\quad (h,k+a)\) นั่นก็คือ

\((-3,-1-\sqrt{2}) \quad ,\quad (-3,-1+\sqrt{2})\)

จุดโฟกัสคือ \((h,k-c) \quad ,\quad (h,k+c)\)  นั่นก็คือ

\((-3,-1-2\sqrt{5}) \quad ,\quad (-3,-1+2\sqrt{5})\)

สมการเส้นกับกับคือ \(y+1=\pm\frac{1}{3}(x+3)\)

 


4) \(x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\)

วิธีทำ  ถ้าดูจากโจทย์ที่กำหนดให้มันคือไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)  ก็คือ h=0 และ k=0

คือมันเข้ากับสมการนี้ครับเป็นสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดหรือ (0,0) นั่นเองครับ ดูให้ออกนะครับ

\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)

จะได้

\(a^{2}=1,b^{2}=9\)  ดังนั้น

\(a=1,b=3\)

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)

\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

\(c=\sqrt{1+9}\)

\(c=\sqrt{10}\)

จุดยอดคือ \((h-a,k)\quad ,\quad (h+a,k)\)  ก็คือ

\((0-1,0) \quad ,\quad (0+1,0)\)  นั่นคือ

\((-1,0)  \quad ,\quad (1,0)\)

จุดโฟกัสคือ \((h-c,k) \quad ,\quad (h+c,k)\)  ก็คือ

\((0-\sqrt{10},0) \quad ,\quad (0+\sqrt{10},0)\) นั่นคือ

\((-\sqrt{10},0) \quad ,\quad (\sqrt{10},0)\)

สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\) นั่นคือ

\(y-0=\pm \frac{3}{1}(x-0)\)

\(y=\pm 3x\)


5) \(25y^{2}-9x^{2}=225\)

วิธีทำ ต้องจัดสมการครับมันคือสมการไฮเพอร์โบลาแหละแต่ต้องจัดสมการเพื่อหาค่า เอและบีออกมาครับเริ่มจุดเลยครับ

\begin{array}{lcl}25y^{2}-9x^{2}&=&225\\\frac{1}{225}(25y^{2}-9x^{2})&=&\frac{1}{225}\times 225\\\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{25}&=&1\end{array}

ลองไปเอาไปเทียบกับสมการนี้ดูครับ

\(\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)

มันก็คือสมการไฮเพอร์โบลาแนวตั้งที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) ก็คือ h=0,k=0

และ \(a^{2}=9 \quad , b^{2}=25\)

นั่นคือ \(a=3 \quad , b=5\)

\(c=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\)

จุดยอดคือ \(h,k-a) \quad ,\quad (h,k+a)\) จะได้

\((0,0-3) \quad ,(0,0+3)\) นั่นคือ

\((0,-3) \quad ,(0,3)\)

จุดโฟกัสคือ \((h,k-c) \quad ,(h,k+c)\)

\((0,0-\sqrt{34}) \quad ,(0,0+\sqrt{34})\)

สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{a}{b}(x-h)\)

\(y-0=\pm \frac{3}{5}(x-0)\)

\(y=\pm \frac{3}{5}x\)