ไฮเพอร์โบลา สมการไฮเพอร์โบลามีสมการคล้ายๆกับวงรี แต่หน้าตาของไฮเพอร์โบลาแตกต่างจากวงรีโดยสิ้นเชิงครับ เดี่ยวเราจะมาดูว่าไฮเพอร์โบลามีส่วนประกอบอย่างไรบ้างครับ ค่อยๆดูนะครับ ดูรูปประกอบครับ
รูปแรกเป็นไฮเพอร์โบลานอนครับ มีส่วนประกอบต่างๆดังรูปครับ
ไฮเพอร์โบลา นอนจะมีสมการคือ
\[\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\]
จูดศูนย์กลางคือ \((h,k)\)
จุดยอดคือ \((h-a,k) \quad , \quad (h+a,k)\)
จุดโฟกัสคือ \((h-c,k) \quad , \quad (h+c,k)\)
เมื่อ \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
แกนตามขวางยาว \(2a\) หน่วย
แกนสังยุคยาว \(2b\) หน่วย
สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)
รูปที่สอง เป็นไฮเพอร์โบลาตั้งครับ มีส่วนประกอบต่างๆดังรูปครับ
ไฮเพอร์โบลา ตั้งจะมีสมการคือ
\[\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\]
จุดศูนย์กลางคือ \((h,k)\)
จุดยอดคือ \((h,k-a) \quad ,\quad (h,k+a)\)
จุดโฟกัสคือ \((h,k-c)\quad ,\quad (h,k+c)\)
เมื่อ \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
แกนตามขวางยาว \(2a\) หน่วย
แกนสังยุคยาว \(2b\) หน่วย
สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{a}{b}(x-h)\)
มาทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ
แบบฝึกหัด
1. จงหาจุดศูนย์กลาง โฟกัส จุดยอดและเส้นกำดับไฮเพอร์โบลา แล้วเขียนกราฟ
1) \(\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y+3)^{2}}{16}=1\)
วิธีทำ ถ้าเราลองเทีบบสมการที่โจทย์ให้มากับสมการนี้
\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)
เราจะเห็นว่าสมการที่โจทย์ให้มามันคือไฮเพอร์โบลานอนครับก็คือแกนตามขวางอยู่ในแนวนอนครับ
จะเห็นว่า \(a^{2}=9\quad ,b^{2}=16\)
ดังนั้น \(a=3,b=4\)
จาก \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(c=\sqrt{9+16}\)
\(c=5\)
ดังนั้น
จุดศูนย์กลางคือ \((1,-3)\)
จุดยอดคือ \((1-3,-3) \quad ,\quad (1+3,-3)\) ก็คือ
\((-2,-3) \quad ,\quad (4,-3)\)
จุดโฟกัสคือ \((1-5,-3) \quad ,\quad (1+5,-3)\) ก็คือ
\((-4,-3) \quad , \quad (6,-3)\)
แกนตามขวางยาว \(2a=2(3)=6\) หน่วย
แกนสังยุคยาว \(2b=2(4)=8\) หน่วย
สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\)
\(y+3=\pm\frac{4}{3}(x-1)\)
2) \(\frac{(y-1)^{2}}{25}-(x-3)^{2}=1\)
วิธีทำ สมการที่โจทย์ให้มาถ้าลองเทียบกับสมการนี้
\(\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)
เราจะเห็นว่าสมการที่โจทย์ให้มามันคือไฮเพอร์โบลาตั้งครับก็คือแกนตามขวางอยู่ในแนวตั้งครับ
จะเห็นว่า \(a^{2}=25 \quad ,\quad b^{2}=1\)
ดังนั้น \(a=5 \quad ,\quad b=1\)
จะได้ \(c=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\)
จึงได้ว่า
จุดศูนย์กลางคือ \((3,1)\)
จุดยอดคือ \((h,k-a) \quad ,\quad (h,k+a)\) นั่นคือ
\((3,1-5) \quad ,\quad (3,1+5)\) ก็คือ
\((3,-4) \quad ,\quad (3,6)\)
จุดโฟกัสคือ \((h,k-c)\quad ,\quad (h,k+c)\) นั่นคือ
\((3,1-\sqrt{26}) \quad ,\quad (3,1+\sqrt{26})\)
สมการเส้นกำกับคือ \(y-1=\pm5(x-3)\)
3) \(9y^{2}+18y=x^{2}+6x+18\)
วิธีทำ อันนี้เราจะต้องจัดสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐานก่อนครับไม่อย่างนั้นไม่รู้จุดศูนย์กลางแน่ครับ เริ่มจัดเลย
\begin{array}{lcl}9y^{2}+18y&=&x^{2}+6x+18\\9(y^{2}+2y)-(x^{2}+6x)&=&18\\9(y^{2}+2(y)1+1^{2})-(x^{2}+2(x)3+3^{2})&=&18+9-9\\9(y+1)^{2}-(x+3)^{2}&=&18\\\frac{(y+1)^{2}}{2}-\frac{(x+3)^{2}}{18}&=&1\end{array}
จากสมการก็คือไฮเพอร์โบลา ตามแนวตั้งนั่นเองครับ
\(a^{2}=2 \quad ,\quad b^{2}=18\)
ดังนั้น
\(a=\sqrt{2} \quad ,\quad b=3\sqrt{3}\)
จาก \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(c=\sqrt{2+18}\)
\(c=2\sqrt{5}\)
จุดศูนย์กลางคือ \((-3,-1)\)
จุดยอดคือ \((h,k-a) \quad ,\quad (h,k+a)\) นั่นก็คือ
\((-3,-1-\sqrt{2}) \quad ,\quad (-3,-1+\sqrt{2})\)
จุดโฟกัสคือ \((h,k-c) \quad ,\quad (h,k+c)\) นั่นก็คือ
\((-3,-1-2\sqrt{5}) \quad ,\quad (-3,-1+2\sqrt{5})\)
สมการเส้นกับกับคือ \(y+1=\pm\frac{1}{3}(x+3)\)
4) \(x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1\)
วิธีทำ ถ้าดูจากโจทย์ที่กำหนดให้มันคือไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) ก็คือ h=0 และ k=0
คือมันเข้ากับสมการนี้ครับเป็นสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดหรือ (0,0) นั่นเองครับ ดูให้ออกนะครับ
\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)
จะได้
\(a^{2}=1,b^{2}=9\) ดังนั้น
\(a=1,b=3\)
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
\(c=\sqrt{1+9}\)
\(c=\sqrt{10}\)
จุดยอดคือ \((h-a,k)\quad ,\quad (h+a,k)\) ก็คือ
\((0-1,0) \quad ,\quad (0+1,0)\) นั่นคือ
\((-1,0) \quad ,\quad (1,0)\)
จุดโฟกัสคือ \((h-c,k) \quad ,\quad (h+c,k)\) ก็คือ
\((0-\sqrt{10},0) \quad ,\quad (0+\sqrt{10},0)\) นั่นคือ
\((-\sqrt{10},0) \quad ,\quad (\sqrt{10},0)\)
สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{b}{a}(x-h)\) นั่นคือ
\(y-0=\pm \frac{3}{1}(x-0)\)
\(y=\pm 3x\)
5) \(25y^{2}-9x^{2}=225\)
วิธีทำ ต้องจัดสมการครับมันคือสมการไฮเพอร์โบลาแหละแต่ต้องจัดสมการเพื่อหาค่า เอและบีออกมาครับเริ่มจุดเลยครับ
\begin{array}{lcl}25y^{2}-9x^{2}&=&225\\\frac{1}{225}(25y^{2}-9x^{2})&=&\frac{1}{225}\times 225\\\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{25}&=&1\end{array}
ลองไปเอาไปเทียบกับสมการนี้ดูครับ
\(\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)
มันก็คือสมการไฮเพอร์โบลาแนวตั้งที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) ก็คือ h=0,k=0
และ \(a^{2}=9 \quad , b^{2}=25\)
นั่นคือ \(a=3 \quad , b=5\)
\(c=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\)
จุดยอดคือ \(h,k-a) \quad ,\quad (h,k+a)\) จะได้
\((0,0-3) \quad ,(0,0+3)\) นั่นคือ
\((0,-3) \quad ,(0,3)\)
จุดโฟกัสคือ \((h,k-c) \quad ,(h,k+c)\)
\((0,0-\sqrt{34}) \quad ,(0,0+\sqrt{34})\)
สมการเส้นกำกับคือ \(y-k=\pm \frac{a}{b}(x-h)\)
\(y-0=\pm \frac{3}{5}(x-0)\)
\(y=\pm \frac{3}{5}x\)