ตัวผกผันของความสัมพันธ์หรือหนังสือบางเล่มใช้คำว่าอินเวอร์สของความสัมพันธ์ เป็นเนื้อหาที่ต่อเนื่องมาจากความสัมพันธ์ครับ ผกผัน ตรงกับภาษาอังกฤษคือ inverse ความหมายถ้าแปลเป็นภาษาบ้านๆให้ชาวบ้านทั่วไปที่ไม่เคยเรียนหนังสือเลยเข้าใจด้วยก็คือ คนละทาง,กลับกัน  ประมาณมาว่าผกผันของทางซ้ายก็คือขวา   ผกผันของด้านหน้าคือด้านหลัง คือตรงกันข้าม ประมาณนี้แหละครับคำว่าผกผัน  ฉะนั้นผกผันของความสัมพันธ์ก็คือ ถ้าผมมีความสัมพันธ์ \(r\) ตัวหนึ่ง  ซึ่ง

\(r=\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)\}\)

ตัวผกผันของ \(r\) เขียนแทนด้วย \(r^{-1}\)  ซึ่ง

\(r^{-1}=\{(2,1),(4,3),(8,7),(10,9)\}\)

เห็นไหมว่า \(r\) กับตัวผกผันของมัน เดินทางคนละทางก็คือเป็นสลับคู่อันดับ นี้คือความหมายแบบบ้านๆ แต่ในทางคณิตศาสตร์เขานิยามไว้ดังนี้ครับ

บทนิยาม

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ \(r\) คือความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ \(r\) ตัวผกผันของความสัมพันธ์ \(r\) เขียนแทนด้วย \(r^{-1}\)

นี่คือนิยามอย่างเป็นทางการนะครับ ไม่ต้องจำนิยามนะขอให้เข้าใจในแบบของเราก็เป็นพอแล้วครับ

มาดูตัวอย่างและแบบฝึกหัดตัวผกผันของความสัมพันธ์กันดีกว่าครับ

1. จงหาตัวผกผันของความสัมพันธ์ \(r\) พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์เมื่อกำหนดให้

1)  \(r=\{(1,1),(3,2),(1,3),(4,1),(0,-1)\}\)

วิธีทำ จาก 

\(r=\{(1,1),(3,2),(1,3),(4,1),(0,-1)\}\)

จะได้

\(r^{-1}=\{(1,1),(2,3),(3,1),(1,4),(-1,0)\}\)

ดังนั้น โดเมนและเรนจ์ของตัวผกผันของความสัมพันธ์ \(r\) คือ

\(D_{r^{-1}}=\{1,2,3,-1\}\)

\(R_{r^{-1}}=\{3,1,4,0\}\)


2. จงหาโดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ต่อไปนี้

1) \(r=\{(1,2),(4,3),(2,2),(2,1),(3,1)\}\)

วิธีทำ  จาก

\(r=\{(1,2),(4,3),(2,2),(2,1),(3,1)\}\)

จะได้

\(r^{-1}=\{(2,1),(3,4),(2,2),(1,2),(1,3)\}\)

ดังนั้น โดเมนและเรนจ์ของตัวผกผันของความสัมพันธ์ \(r\) คือ

\(R_{r}=\{2,3,1\}\)

\(D_{r}=\{1,4,2,3\}\)


2) \(r=\{(x,y)|2x+y=1\}\)

วิธีทำ จาก

\(r=\{(x,y)|2x+y=1\}\)

เนื่องจาก ผกผันหรือว่าอินเวอร์สของ \(r\)  คือการสลับที่กันของคู่อันดับดังนั้นเราจึงได้ว่า

\(r^{-1}=\{(x,y)|2y+x=1\}\)

หรือจะจัดรูปนิดหนึ่งก็ได้จะได้ว่า

\(r^{-1}=\{(x,y)|y=\frac{1-x}{2}\}\)

ต่อไปก็หาโดเมนและเรนจ์ของผกผันความสัมพันธ์ \(r\) ซึ่งจะเห็นได้ว่า ไม่ว่าจะแทนค่า y เป็นจำนวนจริงใดๆก็ตามลงในสมการ \(2y+x=1\) สามารแก้สมการหาค่าของ \(x\) หมดเลย เช่น

\(y=1\)  จะได้

\begin{array}{lcl}2(1)+x&=&1\\x&=&-1\end{array}

และในขณะเดียวกัน ไม่ว่าจะแทนค่า x เป็นจำนวนจริงใดๆก็ตามลงในสมการ \(2y+x=1\) สามารถแก้สมการหาค่าของ \(y\) หมดเลย ดังนั้น

\(D_{r}=R\)

\(R_{r}=R\)


3)  \(r=\{(x,y)|y=\sqrt{x}\}\)

วิธีทำ จาก

\(r=\{(x,y)|y=\sqrt{x}\}\)   ตรงนี้ทุกคนต้องรู้ว่าข้างในรูทติดลบไม่ได้ดังนั้น \(x\geq 0\) หรือถ้าเขียนใหม่

\(r=\{(x,y)|y=\sqrt{x}\quad,x\geq 0\}\)

จะได้

\(r^{-1}=\{(x,y)|x=\sqrt{y}\}\)  จัดรูปอีกนิดหนึ่งโดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการจะได้

\(r^{-1}=\{(x,y)|y=x^{2}\}\)

ต่อไปพิจารณาเพื่อหาค่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ \(r\)

\(D_{r}=\{x\in R|x\geq 0\}\)

\(R_{r}=\{y\in R|y\geq 0\}\)


4) \(r=\{(x,y)|y=2-3x\}\)

วิธีทำ จาก

\(r=\{(x,y)|y=2-3x\}\)

จะได้

\(r^{-1}=\{(x,y)|x=2-3y\}\)  จัดรูปสมการนิดหนึ่งจะได้

\(r^{-1}=\{(x,y)|y=\frac{x-2}{-3}\}\)

\(r^{-1}=\{(x,y)|y=\frac{2-x}{3}\}\)

ต่อไปพิจาณาหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ \(r\)  จากสมการเงื่อนไขคือ \(y=2-3x\)  ไม่ว่าจะแทน x ด้วยจำนวนจริงใด ก็สามารถหาค่า y ได้ 

ในขณะเดียวกันไม่ว่าจะแทน y ด้วยจำนวนจริงใด ก็สามารถหาค่า x ได้ ดังนั้น

\(D_{r}=R\)

\(R_{r}=R\)


3.  จงหาผกผันของความสัมพันธ์พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของตัวผกผันของความสัมพันธ์เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

1)  \(r=\{(1,3),(2,4),(3,7),(6,7),(6,10)\}\)

วิธีทำ จะได้

\(r^{-1}=\{(3,1),(4,2),(7,3),(7,6),(10,6)\}\)

\(D_{r^{-1}}=\{3,4,7,10\}\)

\(R_{r^{-1}}=\{1,2,3,6\}\)


2) \(t=\{(x,y)|y=x+2\}\)

วิธีทำ  การหาผกผันของความสัมพันธ์ \(t\)  ก็แค่สลับคู่อันดับครับ ก็คือ

\(t^{-1}=\{(x,y)|x=y+2\}\)   จัดรูปให้อยู่ในรูป  y=.... จะได้

\(t^{-1}=\{(x,y)|y=x-2\}\)

ต่อไปหาพิจารณาเพื่อหาโดเมนและเรนจ์ของ \(t^{-1}\) ครับ

เนื่องจาก เมื่อแทน x ด้วยจำนวนจริงใดๆก็ตามสามารถหาค่า y ได้หมดเลย

ในขณะเดียวกัน เมื่อแทน y ด้วยจำนวนจริงใดๆก็สามารถหาค่า x ได้เลยดังนั้น

\(D_{t^{-1}}=R\)

\(R_{t^{-1}}=R\)


3. จงเขียนกราฟของ \(r\) และ \(r^{-1}\)  ในระบบพิกัดฉากเดียวกัน เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ \(r\) ดังต่อไปนี้

1)  กำหนดให้ \(A=\{1,2,3,4\}\)

\(r=\{(x,y)\in A\times A|y\geq x+1\}\)

อันนี้เกี่ยวข้องกับผลคูณผลคูณคาร์ทีเซียน(Cartesian product) ให้พวกเราไปดูว่า \(A\times A\) เขาทำกันอย่างไรครับ

หา \(A\times A\) ก่อนครับ

\(A\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),\\(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\}\)

ส่วนคู่อันดับสี่ส้มนี้คือพวกที่ไม่เข้าในเงื่อนไขของความสัมพันธ์ \(r\)

(1,1),(2,1),(2,2)(3,1),(3,2),(3,3)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)

นี่คือหน้าตาของเซต \(A\times A\)  แต่ความสัมพันธ์ \(r\) เขาต้องการ \(A\times A\) ที่เป็นไปตามเงื่อนไข \(y\geq x+1\) ความหมายคือจับ x บวกหนึ่งต้องมากกว่าหรือเท่ากับ y  ก็คือสังเกตคู่อันดับนี้ (4,3)  จะเห็นว่า x=4 และ y=3  จะได้ว่า x+1 ก็คือ 4+1=5   ซึ่งค่า y =3 มันไม่ได้มากกว่า 5 ดังนั้นอันนี้ไม่เข้าเงื่อนไขครับก็ไม่ต้องเอา  จะเห็นว่าคู่อันดับสีส้มไม่เข้ากับเงือนไขของความสัมพันธ์ \(r\) ดังนั้นตัดออกให้หมดครับ

นี่คือส่วนที่ต้องตัดออกครับ

(1,1),(2,1),(2,2)(3,1),(3,2),(3,3)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)

จะได้ความสัมพันธ์ \(r\)  คือ

\(r=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\}\)  จึงได้ว่า

\(r^{-1}=\{(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3)\}\)

ต่อไปเอา \(r\) และ \(r^{-1}\)  ไปวาดกราฟจะได้

ผกผันความสัมพันธ์

2)  \(r=\{(x,y)|y=2x\}\)

วิธีทำ

จาก

\(r=\{(x,y)|y=2x\}\)

จะได้

\(r^{-1}=\{(x,y)|x=2y\}\)   จัดรูปนิดหนึ่ง

\(r^{-1}=\{(x,y)|y=\frac{x}{2}\}\)

นี่คือรูปของเขาทั้งสองครับ

อ่านเพิ่มเติมอีกได้ตามลิงค์นี้ครับ อินเวอร์สของความสัมพันธ์ เขียนไว้นานแล้วอย่างไรก็ลองศึกษาดูครับ