วันนี้เราจะมีศึกษาเกี่ยวกับฟังก์ชันประกอบ หรือบางครั้งบางคนอาจจะเรียกว่า คอมโพสิทฟังก์ชัน หรือฟังก์ชันคอมโพสิทก็คืออันเดียวกันครับ เรามาดูหลักการงายๆในการสร้างฟังก์ชันประกอบขึ้นมา ดูจากรูปภาพนะครับ ไม่ยากถ้ามองรูปภาพนี้ออกก็ไม่มีอะไรยากครับไปดูแผนภาพฟังก์ชันประกอบกันเลย

จากรูปภาพข้างบนจะมีเซต A ,เซตB  และเซตC  และมีฟังก์ชันอยู่สองฟังก์ชันคือ f  และ g  เราจะมาดูกันว่าฟังก์ชันประกอบนั้นเขาสร้างกันอย่างไร ดูจากรูปเลยนะจากรูปจะได้ว่า

f(1)=a  ,   f(2)=c  ,  f(3)=b

g(a)=p ,  g(b)=p  ,  g(c)=q

และจาก f  และ g ที่กำหนดให้จะได้

g(f(1))=g(a)=p

g(f(2))=g(c)=q

g(f(3))=g(b)=p

จะเห็นฟังก์ชันที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้เป็นฟังก์ชันที่ส่งข้ามจากเซต A  ไปยังเซต C เลยเราเรียกฟังก์ชันแบบนี้ว่าฟังก์ชันประกอบ(composite function) ซึ่งจากฟังก์ชันจากเซต A  ไปยังเซต C เขียนแทนฟังก์ชันนี้ว่า \(g\circ f\)

อ่านว่า จีโอเอฟ

สรุปอีกทีหนึ่ง

ก็คือการที่มันจะเกิดฟังก์ชันประกอบได้มันต้องมีฟังก์ชัน 2  ฟังก์ก่อนและทั้งสองฟังก์ชันนั้นต้องมีความเกี่ยวข้องเชื่อมโยงกันกล่าวคือ จากรูปจะเห็นว่า

เรนจ์ของฟังก์ชัน f คือ \(\{a,b,c\}\)

โดเมนของฟังก์ชัน g คือ \(\{a,b,c\}\)

ซึ่งจะเห็นว่า เรนจ์ของ f  และโดเมนของ g อินเตอร์เซคกันไม่เท่ากับเซตว่างก็คือมันมีความเกี่ยวข้องเชื่อมโยงกันและมันก็ส่งความเกี่ยวข้องนี้ไปยังเซต C ต่อมองเห็นไหมครับ นี่คือความหมายของฟังก์ชันประกอบจากรูปภาพต่อไปเรามาดูนิยามของฟังก์ชันประกอบในทางคณิตศาสตร์กันบ้างครับ

บทนิยาม  ให้  f และ g เป็นฟังก์ชัน และ  \(R_{f} \cap D_{f} \neq \emptyset\) 

ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย \(g\circ f\) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนคือ

\(D_{g\circ f}=\{x\in D_{f} | f(x) \in D_{g}\}\)

และกำหนด \(g\circ f\)  โดย

\(g\circ f(x)=g(f(x))\)  สำหรับทุก \(x\) ใน \(D_{g\circ f}\)

อ่านบทนิยามแล้วอาจจะงงลองไปทำแบบฝึกหัดกันดีกว่าครับ

แบบฝึกหัดฟังก์ชันประกอบ

1. จงหา  \(f\circ g \quad , \quad g\circ f\quad ,\quad f\circ f \quad ,\quad g\circ g\)  พร้อมทั้งหาโดเมนของแต่ละฟังก์ชัน

1) \(f(x)=3x+2\quad ,g(x)=4x-1\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f\circ g(x)&=&f(g(x))\\&=&f(4x-1)\\&=&3(4x-1)+2\\&=&12x-1\end{array}

โดเมนของ \(f\circ g\)  คือ \(\mathbb{R}\)

\begin{array}{lcl}g\circ f(x)&=&g(f(x))\\&=&g(3x+2)\\&=&4(3x+2)-1\\&=&12x+7\end{array}

โดเมนของ \(g\circ f\)  คือ \(\mathbb{R}\)

\begin{array}{lcl}f\circ f(x)&=&f(f(x))\\&=&f(3x+2)\\&=&3(3x+2)+2\\&=&9x+8\end{array}

โดเมนของ \(f\circ f\)  คือ \(\mathbb{R}\)

\begin{array}{lcl}g\circ g(x)&=&g(g(x))\\&=&g(4x-1)\\&=&4(4x-1)-1\\&=&16x-5\end{array}

โดเมนของ \(g \circ g\) คือ \(\mathbb{R}\)

2) \(f(x)=x^{2}\quad , g(x)=\sqrt{x+5}\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}f\circ g(x)&=&f(g(x))\\&=&f(\sqrt{x+5})\\&=&(\sqrt{x+5})^{2}\\&=&x+5\end{array}

โดเมนของ \(f\circ g\) คือ \(\{x|x\geq -5\}\)  อย่าลืมนะว่าข้างในรูทห้ามติดลบ ก็คือ\(\sqrt{x+5}\)  นั่นคือ \(x+5\geq 0\) นั่นเองครับ ฉะนั้น \(x\geq -5\)

\begin{array}{lcl}g\circ f(x)&=&g(f(x))\\&=&g(x^{2})\\&=&\sqrt{x^{2}+5}\end{array}

โดเมนของ \(g\circ f\)  คือ \(\mathbb{R}\)

\begin{array}{lcl}f\circ f(x)&=&f(f(x))\\&=&f(x^{2})\\&=&(x^{2})^{2}\\&=&x^{4}\end{array}

โดเมนของ \(f\circ f\)  คือ \(\mathbb{R}\)

\begin{array}{lcl}g\circ g(x)&=&g(g(x))\\&=&g(\sqrt{x+5})\\&=&\sqrt{\sqrt{x+5}+5}\end{array}

x อยู่ในโดเมนของ g  ก็ต่อเมื่อ \(x\geq -5\)

g(x) อยู่ในโดเมนของ g ก็ต่อเมื่อ \(\sqrt{x+5} \geq -5 \rightarrow x\geq 20\)

ดังนั้นโดเมนของ \(g\circ g\) คือ \(\{x|x\geq 20\}\)

3)  \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\quad , g(x)=x^{2}+4x\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}f\circ g(x)&=&f(g(x))\\&=&f(x^{2}+4x)\\&=&\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x}}\end{array}

จะเห็นว่า x จะอยู่ในโดเมนของ \(f\circ g\) ก็ต่อเมื่อ 

\(x^{2}+4x>0\) นั่นคือ

\(x(x+4)>0\)  หรือ

\(x>0\)  หรือ  \(x<-4\)

ดังนั้น

โดเมนของ \(f\circ g\)  คือ \(\{x|x >0 \quad or \quad x<-4\}\)

\begin{array}{lcl}g\circ f&=&g(f(x))\\&=&g(\frac{1}{\sqrt{x}}\\&=&(\frac{1}{\sqrt{x}})^{2}+4(\frac{1}{\sqrt{x}})\\&=&\frac{1}{x}+\frac{4}{\sqrt{x}}\end{array}

จะเห็นว่า \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)  จะได้ว่าค่า x ต้องมากกว่าศูนย์เสมอ ดังนั้น

โดเมนของ \(g\circ f\)  คือ \(\{x|x>0\}\)

\begin{array}{lcl}f\circ f&=&f(f(x))\\&=&f(\frac{1}{\sqrt{x}})\\&=&\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}}}\\&=&x^{\frac{1}{4}}\end{array}

จะเห็นว่า \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)  จะได้ว่าค่า x ต้องมากกว่าศูนย์เสมอ ดังนั้น

โดเมนของ \(f\circ f\)  คือ \(\{x|x>0\}\)

\begin{array}{lcl}g\circ g&=&g(g(x))\\g(x^{2}+4x)&=&(x^{2}+4x)^{2}+4(x^{2}+4x)\\&=&x^{4}+8x^{3}+20x^{2}+16x\end{array}

อันนี้ชัดเจนเลยครับ โดเมนของ \(g\circ g\) คือจำนวนจริงใดๆนั่นเองครับ

4)  \(f(x)=|x|\quad ,\quad g(x)=2x-5\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}f\circ g(x)&=&f(g(x)\\&=&f(2x-5)\\&=&|2x-5|\end{array}

โดเมนของ \(f\circ g\)  คือจำนวนจริงใดๆ หรือก็คือ \(\mathbb{R}\)  นั่นเองครับ

\begin{array}{lcl}g\circ f(x)&=&g(f(x))\\&=&g(|x|)\\&=&2|x|-5\end{array}

โดเมนของ \(g\circ f\)  คือจำนวนจริงใดๆ หรือก็คือ \(\mathbb{R}\)  นั่นเองครับ

\begin{array}{lcl}f\circ f(x)&=&f(f(x))\\&=&f(|x|)\\&=&||x||\\&=&|x|\end{array}

โดเมนของ \(f\circ f\)  คือจำนวนจริงใดๆ หรือก็คือ \(\mathbb{R}\)  นั่นเองครับ

\begin{array}{lcl}g\circ g(x)&=&g(g(x))\\&=&g(2x-5)\\&=&2(2x-5)-5\\&=&4x-15\end{array}

โดเมนของ \(g\circ g\)  คือจำนวนจริงใดๆ หรือก็คือ \(\mathbb{R}\)  นั่นเองครับ

---

3.  จงหา \((f\circ g)\circ h\)  และ  \(f\circ (g\circ h)\)

1)  \(f(x)=x+1 \quad ,g(x)=\sqrt{x}\quad ,h(x)=x-1\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(f\circ g)\circ h(x)&=&(f\circ g(h(x))\\&=&f\circ g(x-1)\\&=&f(g(x-1))\\&=&f(\sqrt{x-1}\\&=&\sqrt{x-1}+1\end{array}

ดังนั้น

\((f\circ g)\circ h(x)=\sqrt{x-1}+1\)

\begin{array}{lcl}f\circ(g\circ h)(x)&=&f\circ(g(h(x))\\&=&f\circ g(x-1)\\&=&f(g(x-1))\\&=&f(\sqrt{x-1})\\&=&\sqrt{x-1}+1\end{array}

ดังนั้น

\(f\circ(g\circ h)(x)=\sqrt{x-1}+1\)

2) \(f(x)=\sqrt{x},\quad g(x)=\frac{x}{x-1}\quad,h(x)=\sqrt[5]{x}\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}(f\circ g)\circ h(x)&=&(f\circ g(h(x))\\&=&f\circ g(\sqrt[5]{x})\\&=&f(g(\sqrt[5]{x})\\&=&f(\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{x}-1})\\&=&\sqrt{\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{x}-1}}\end{array}

ต่อไป

\begin{array}{lcl}f\circ(g\circ h)(x)&=&f\circ(g(h(x))\\&=&f\circ g(\sqrt[5]{x})\\&=&f(g(\sqrt[5]{x}))\\&=&f(\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{x}-1}\\&=&\sqrt{\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{x}-1}}\end{array}

จากข้อที่ 1) และ 2) เห็นอะไรไหมเอ่ยที่มันเท่ากันครับดูเองนะ