วันนี้เราจะมาดูเรื่องการแก้สมการค่าสัมบูรณ์เสร็จจากการแก้สมการและก็จะเรียนเกี่ยวกับการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์บ้าง แต่เอาเป็นว่าต้องแก้สมการค่าสัมบูรณ์ให้เป็นก่อน ใครที่ยังไม่เข้าใจค่าสัมบูรณ์(Absolute)ให้ไปอ่านตามลิงค์ก่อนนะครับ ไปทำความเข้าใจก่อนถ้ายังไม่เข้าใจก็จะแก้สมการค่าสัมบูรณ์ไม่ได้ครับ  ก่อนที่เข้าสู่เนื้อหาเรามาดูความหมายของค่าสัมบูรณ์ก่อน

ค่าสัมบูรณ์มันคือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่เราสนใจ ดังนั้นเมื่อมันคือระยะทางค่าสัมบูรณ์จึงไม่มีทางติดลบครับ ดูแผนภาพประกอบครับ

เช่นจากรูป

ค่าสัมบูรณ์ของ 5 คือระยะทางจากจุดกำเนิดหรือว่าจากศูนย์ไปถึง 5 นั่นเองซึ่งระยะทางนี้มีค่าเท่ากับ 5 หน่วยดังนั้น |5|=5

ค่าสัมบูรณ์ของ -5 คือระยะทางจากศูนย์ไปถึง -5 นั่นเองซึ่งระยะทางนี้มีค่าเท่ากับ 5 หน่วยดังนั้น |-5|=-(-5)=5 ซึ่งจากตรงนี้เราจะเห็นว่าถ้าตัวที่อยู่ข้างในเครื่องหมายมันติดลบ เวลาถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ออกมันจะเป็นบวกถ้าเราเอาลบคูณเข้าอย่างเช่น

|-4|=-(-4)=4

|-0.3|=-(-0.3)=0.3

เพราะฉะนั้นแล้วถ้า \(x<0\)  คือเอ็กซ์มันติดลบเราจะได้ว่า  \(|x|=-x\)  นั่นเองเข้าใจไหมครับ

แต่ถ้า \(x \geq 0\) คือเอ็กซ์เป็นบวกหรือไม่ก็ศูนย์จะได้ว่า \(|x|=x\)  ถอดค่าสัมบูรณ์ออกก็จะเป็นตัวมันเองครับ

เช่น |6|=6  , |0|=0  เป็นต้น เอาละอารัมภบทมากแล้วเราไปทำแบบฝึกหัดการแก้สมการค่าสัมบูรณ์กันดีกว่าครับ

แบบฝึกหัดการแก้สมการค่าสัมบูรณ์

1. จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้

1)  \(|2x+1|=5\)

วิธีทำ เราจะเห็นว่าตัวที่อยู่ข้างในเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ก็คือตัวนี้ \(2x+1\)  มันอาจจะเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบก็ได้กล่างคือ

ถ้าผมให้ x=3  ก็จะได้ 2(3)+1=7  จะเป็นจำนวนบวก  แต่ถ้า

ผมให้  x=(-3)  ก็จะได้ 2(-3)+1=-5  จะเป็นจำนวนลบ

ผมให้ \(x=-\frac{1}{2}\) ก็จะได้ \(2-\frac{1}{2}+1=0 \)   จะเป็นศูนย์

ในเมื่อเราไม่รู้ว่าข้างในค่าสัมบูรณ์เป็นบวก เป็นลบหรือเป็นศูนย์ ดังนั้นเราต้องแบ่งกรณีในการคิดครับ

กรณีที่ 1   ถ้า \(2x+1\geq 0\)  จะได้ว่า  \(|2x+1|=2x+1\)  เริ่มแก้สมการกันเลยเพราะถอดค่าสัมบูรณ์ออกแล้ว

\begin{array}{lcl}2x+1&=&5\\2x&=&5-1\\2x&=&4\\x&=&\frac{4}{2}\\x&=&2\end{array}

กรณีที่ 2   ถ้า \(2x+1<0\)  จะได้ว่า  \(|2x+1|=-(2x+1)\)  เริ่มแก้สมการกันเลย

\begin{array}{lcl}-(2x+1)&=&5\\2x+1&=&-5\\2x&=&-5-1\\2x&=&-6\\x&=&-\frac{6}{2}\\x&=&-3\end{array}

ดังนั้นคำตอบที่เราได้ตอนนี้คือ \(x=2\)  หรือ \(x=-3\)  ยังไม่ตอบนะครับต้องตรวจคำตอบก่อนครับ

แทน x=2 ลงในสมการนี้  \(|2x+1|=5\)  จะได้

\(|2(2)+1|=5\)

\(|5|=5\)

\(5=5\)    สมการเป็นจริง

แทน x=-3  ลงในสมการนี้   \(|2x+1|=5\)  จะได้

\(|2(-3)+1|=5\)

\(|-5|=5\)

\(5=5\)   สมการเป็นจริง  ดังนั้นเซตคำตอบของสมการนี้คือ \(\{2,-3\}\)

---

2) \(|2x-1|=x+5\)

วิธีทำ  ทำเหมือนเดิมคือแบ่งออกเป็น 2 กรณีครับจะได้

กรณีที่ 1    ถ้า \(2x-1\geq 0\)  จะได้  \(|2x-1|=2x-1\)  เริ่มแก้สมการเลย

\begin{array}{lcl}2x-1&=&x+5\\2x-x&=&5+1\\x&=&6\end{array}

กรณีที่ 2  ถ้า \(2x-1<0\)  จะได้  \(|2x-1|=-(2x-1)\)  เริ่มแก้สมการเลย

\begin{array}{lcl}-(2x-1)&=&x+5\\2x-1&=&-x-5\\2x+x&=&-5+1\\3x&=&-4\\x&=&-\frac{4}{3}\end{array}

ข้อนี้ตรวจคำตอบเองในครับ 

่ดังนั้นเซตคำตอบคือ \(\{-\frac{4}{3},6\}\)

---

3)  \(|x-1|=2x-3\)

วิธีทำ  ข้อนี้ผมจะไม่ทำเหมือนข้อที่ผ่านมาแล้วนะครับผมใช้สมบัติของค่าสัมบูรณ์ที่ว่า

\(|x|^{2}=x^{2}\)   ก็คือยกกำลังสองแล้วเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์หายไปดังนั้นข้อนี้จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}|x-1|^{2}&=&(2x-3)^{2}\\(x-1)^{2}&=&(2x-3)^{2}\\x^{2}-2x+1&=&4x^{2}-12x+9\\3x^{2}-10x+8&=&0\\(3x-4)(x-2)&=&0\end{array}

จะได้

\(3x-4=0 \rightarrow x=-\frac{4}{3}\)

หรือ

\(x-2=0 \rightarrow x=2\)

ตรวจคำตอบเองครับถ้าจะเห็นว่า \(x=-\frac{4}{3}\)  ไม่ใช่คำตอบครับ ดังนั้นเซตคำตอบของสมการคือ

\(\{2\}\)