ช่วงและการแก้อสมการ

ช่วงและการแก้อมการจริงๆเรื่องนี้เคยเขียนไว้แล้วครับใครอยากอ่านก็ตามลิงค์นี้ไป อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  แต่เป็นการแก้อสมการที่เป็นของ ม.3  ไม่ยากเท่าไรครับแต่ที่จะเขียนต่อไปนี้เป็นการแก้อสมการของ ม.4 ครับ อสมการนี้จะมีคำตอบเป็นช่วงดังนั้นก่อนที่จะแก้อสมการ ม.4 เรามาทำความเข้าใจเกี่ยวกับช่วงก่อนครับ มาดูนิยามของช่วงกันครับ

บทนิยาม  เมื่อกำหนดเอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริงและ \(a,b\) เป็นจำนวนจริงที่ \(a<b\)

ช่วงเปิด \((a,b)\)   หมายถึง  \(\{x|a<x<b\}\)

ช่วงปิด \([a,b]\)    หมายถึง  \(\{x|a\leq x \leq b\}\)

ช่วงครึ่งเปิด \((a,b]\)   หมายถึง \(\{x|a<x\leq b\}\)

ช่วงครึ่งเปิด \([a,b)\)  หมายถึง  \(\{x|a \leq x <b\}\)

ช่วง \((a,\infty)\)  หมายถึง  \(\{x|x>a\}\)

ช่วง \([a,\infty)\)  หมายถึง \(\{x|x\geq a\}\)

ช่วง \((-\infty,a)\)  หมายถึง \(\{x|x<a\}\)

ช่วง \((-\infty,a]\)  หมายถึง  \(\{x|x\leq a\}\)

ช่วง \((-\infty,\infty)\)  หมายถึง เซตของจำนวนจริง R

ตัวอย่างการแสดงช่วงด้วยเส้นจำนวน

อันนี้เป็นความรู้ก่อนการแก้อสมการนะครับ มาดูหลักการในการแก้อสมการกันครับว่ามีขั้นตอนอย่างไรบ้าง

ขั้นตอนการแก้อสมการ

1. ทำข้างใดข้างหนึ่งของอสมการให้กลายเป็นศูนย์

2. ถ้าแยกตัวประกอบได้ให้แยก เช่นแยกให้อยู่ในรูป \((x-a)(x-b)>0\)

3. หาค่า \(x\)  ที่ทำให้แต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์ในที่นี้จากจากข้อ 2 ค่า \(x\) ที่ทำให้แต่ละวงเล็บเท่ากับศูนย์คือ \(x=a,x=b\)

4. เขียนเส้นจำนวนกำหนดค่า \(a\) และ \(b\)  บนเส้นจำนวน  เขียนเครื่องหมายบวกสลับกับเครื่องหมายลบบนเส้นจำนวน โดยเริ่มเขียนจากฝั่งขวาของเส้นจำนวนก่อน  เช่น

5. ถ้าอสมการเป็นครื่องหมาย\(>,\geq\)ให้ตอบในช่วงบวก  แต่เป็นเครื่องหมาย\(<,\leq\)ให้ตอบในช่วงลบ

การระบายจุดทึบหรือจุดโปร่ง

ถ้าอสมการเป็นเครื่องหมาย \(>,<\) ให้ระบายจุดโปร่ง

ถ้าอสมการเป็นเครื่องหมาย \(\geq ,\leq\) ให้ระบายจุดทึบ

ข้อสังเกต การแก้อสมการที่กล่าวมาตามขั้นตอนข้างต้นทำได้เมื่อสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปร \(x\) หลังจากแยกตัวประกอบแล้วต้องเป็นบวกเท่านั้น ถ้าเป็นสัมประสิทธิ์หน้า \(x\) ติดลบต้องทำให้เป็นบวกก่อนครับ

มาทำแบบฝึกหัดกันเลยครับเพื่อความไม่งงบางทีอ่านขั้นตอนแล้วอาจจะงงทำแบบฝึกหัดเลยดีกว่าครับ

แบบฝึกหัดอสมการ ม.4

1. จงหาเซตคำตอบของอสมการต่อไปนี้

1) \(x^{2}-x-6\leq 0\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}x^{2}-x-6&\leq &0\\(x-3)(x+2)&\leq &0\end{array}

แยกตัวประกอบเสร็จแล้วจะเห็นว่า ค่า x ที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์คือ \(x=3\)  และ \(x=-2\) ครับต่อไปก็เขียนบนเส้นจำนวนจะได้

เครื่องหมายอสมการในข้อนี้คือน้อยกว่าหรือเท่ากับดังนั้นต้องตอบในช่วงลบ

ดังนั้นถ้าตอบเป็นเซตคือ \(\{x|-2\leq x \leq 3\}=[-2,3]\)

2) \(3x^{2}+2\geq 7x\)

วิธีทำ  

\begin{array}{lcl}3x^{2}+2&\geq &7x\\3x^{2}-7x+2&\geq &0\\(3x-1)(x-2)&\geq& 0\end{array}

แยกตัวประกอบเสร็จแล้วจะเห็นว่า ค่า x ที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์คือ \(x=\frac{1}{3}\)  และ \(x=2\) ครับต่อไปก็เขียนบนเส้นจำนวนจะได้  เครื่องหมายอสมการในข้อนี้คือมากกว่าหรือเท่ากับฉะนั้นต้องตอบในช่วงบวกจุดต้องเป็นจุดทึบ

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการนีัคือ \(\{x|x\leq \frac{1}{3} \quad หรือ \quad x \geq 2\}=(-\infty,\frac{1}{3}]\cup [2,\infty)\)

3) \(6x-x^{2}\geq 5\)

วิธีทำ

\begin{array}{lcl}6x-x^{2}&\geq& 5\\-x^{2}+6x-5&\geq& 0\\x^{2}-6x+5&\leq& 0\\(x-5)(x-1)&\leq& 0\end{array}

แยกตัวประกอบเสร็จแล้วจะเห็นว่า ค่า x ที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์คือ \(x=5\)  และ \(x=1\) ครับต่อไปก็เขียนบนเส้นจำนวนจะได้  เครื่องหมายอสมการในข้อนี้คือน้อยกว่าหรือเท่ากับฉะนั้นต้องตอบในช่วงลบจุดต้องเป็นจุดทึบ

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการข้อนี้คือ \(\{x|1\leq x \leq 5\}=[1,5]\)

4) \(\frac{x^{2}+12}{x}>7\)

วิธีทำ ข้อนี้อย่างน้อยเราต้องรู้ว่าคำตอบ ไม่ใช่ศูนย์แน่เพราะถ้า x เป็นศูนย์ตัวส่วนจะเป็นศูนย์ อย่าลืมส่วนเป็นศูนย์ไม่ได้ครับ เริ่มทำเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{x^{2}+12}{x}&>&7\\\frac{x^{2}+12}{x}-7&>&0\\\frac{x^{2}+12-7x}{x}&>&0\\\frac{x^{2}-7x+12}{x}&>&0\\\frac{(x-4)(x-3)}{x}&>&0\\&เอา x^{2} คูณเข้า\\\frac{x^{2}(x-4)(x-3)}{x}&>&0\\x(x-4)(x-3)&>&0\end{array}

แยกตัวประกอบเสร็จแล้วจะเห็นว่า ค่า x ที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์คือ \(x=0\quad,x=4\)  และ \(x=3\) ครับต่อไปก็เขียนบนเส้นจำนวนจะได้  เครื่องหมายอสมการในข้อนี้คือมากกว่าฉะนั้นต้องตอบในช่วงบวกจุดต้องเป็นจุดโปร่ง

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการข้อนี้คือ

\(\{x|0\leq x \leq 3\quad หรือ \quad x>4\}=(0,3)\cup (4,\infty)\)

5) \(\frac{1}{x+1}\geq \frac{1}{x+4}\)

วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ทำคล้ายๆกับข้อที่ผ่านมานั่นแหละครับเริ่มทำกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{1}{x+1}&\geq& \frac{1}{x+4}\\\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}&\geq& 0\end{array} 

ต่อไปทำการคูณไขว้เลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{(x+4)-(x+1)}{(x+4)(x+1)}&\geq& 0\\\frac{(x+4-x-1)}{(x+4)(x+1)}&\geq& 0\\\frac{3}{(x+4)(x+1)}&\geq& 0\end{array}

ต่อไปนำ \((x+4)^{2}(x+1)^{2}\)  คูณเข้าทั้งสองข้างของอสมการครับ เหตุที่ต้องยกกำลังสองเพราะยกกำลังสองแล้วมันมากกว่าเท่ากับศูนย์ดังนั้นเครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแน่นอนครับ ต่อไปจะได้

\begin{array}{lcl}\left[(x+4)^{2}(x+1)^{2}\right]\frac{3}{(x+4)(x+1)}&\geq& 0\\(x+4)(x+1)3&\geq& 0\\(x+4)(x+1)&\geq& 0\end{array}

อย่าลืมนะข้อนี้ถ้าเราดูที่โจทย์จะเห็นว่า \(x\neq -4\)  และ \(x\neq -1\) ครับเพราะจะทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์

แยกตัวประกอบเสร็จแล้วจะเห็นว่า ค่า x ที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์คือ \(x=-4\)  และ \(x=-1\) ครับต่อไปก็เขียนบนเส้นจำนวนจะได้  เครื่องหมายอสมการในข้อนี้คือมากกว่าหรือเท่ากับฉะนั้นต้องตอบในช่วงบวกจุดต้องเป็นจุดโปร่งนะครับเพราะเราไม่เอา -4 กับ -1 ระวังด้วยตรงนี้เพราะ -4 กับ -1 จะทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ จะได้คำตอบดังแสดงดังรูปครับ

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการข้อนี้คือ

\(\{x|x <-4 \quad หรือ \quad x>-1\}=(-\infty,-4)\cup (-1,\infty)\)

6)  \(\frac{(x^{2}+3x-10)(x^{2}+x-6)}{x^{2}+2x-15}\geq 0\)

วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อข้างบนแหละครับแต่ก่อนทำต้องแยกตัวประกอบก่อนก็เท่านั้นเองครับ เริ่มทำเลยครับ

\begin{array}{lcl}\frac{(x^{2}+3x-10)(x^{2}+x-6)}{x^{2}+2x-15}&\geq& 0\\\frac{(x+5)(x-2)(x+3)(x-2)}{(x+5)(x-3)}\end{array}

จากที่เราแยกตัวประกอบตรงนี้เราจะเห็นว่าคำตอบเราต้องห้ามเป็น -5 กับ 3 เพราะจะทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ครับ ต่อไปพจน์ไหนตัดทอนกันได้ก็ตัดกันเลยครับซึ่งจะเห็นว่า (x+5) ตัดกันได้ตัดทิ้งเลยครับต่อไปจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{(x-2)(x-2)(x+3)}{(x-3)}&\geq& 0\\\frac{(x-2)^{2}(x+3)}{(x-3)}&\geq& 0\end{array}

ต่อไปก็เอา \((x-3)^{2}\)  คูณเข้าทั้งสองข้างของอมการจะได้

\begin{array}{lcl}(x-3)^{2}\left[\frac{(x-2)^{2}(x+3)}{(x-3)}\right]&\geq& 0\\(x-3)(x+3)(x-2)^{2}&\geq& 0\end{array}

จะเห็นว่าไอ้เจ้าพจน์นี้ \(x-2)^{2}\) ยังไงก็มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์อยู่แล้วไม่ว่าแทน x ด้วยจำนวนจริงอะไรก็ตามดังนั้นจะเหลือที่ต้องนำเอาไปพิจารณาคือ \((x+3)(x-3)\geq 0\)  เอาไปเขียนบนเส้นจำนวนเลยครับ แต่อย่าลืมที่ตอนแรกที่เราแก้อสมการคือ x ห้ามเป็น -5 กับ 3 นะครับก็จะได้เส้นจำนวนดังนี้ครับ

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการข้อนี้คือ

\(\{x|x<-5 \quad หรือ \quad -5<x\leq -3 \quad หรือ \quad x>3\}=(-\infty,-5)\cup (-5,3]\cup (3,\infty)\)