ทรานสโพสของเมตริกซ์หรือก็คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนนั่นเองครับอันเดียวกันครับบางคนเรียกทับศัพท์ภาษาอังกฤษเลยว่าทรานสโพสของเมทริกซ์(Transpose of matrix) เรื่องนี้ถ้าไปอ่านในบทนิยามตามหนังสือต่างๆอาจจะงงครับเพราะภาษาคณิตศาสตร์เป็นภาษาเชิงสัญลักษณ์และต้องเขียนให้รัดกุมเพื่อไม่ให้เกิดข้อโต้แย้งหรือเกิดความผิดพลาดเข้าใจผิดแตกต่างกันออกไปครับ ดังนั้นเรามาดูความหมายของทรานสโพสเมทริกซ์ในแบบบ้านๆกันครับ

เจ้าทรานสโพสเมทริกซ์ก็คือการนำเมทริกซ์มาสลับ ก็คือ เอาแถวมาสลับเป็นหลักครับ ดังนั้นเขาจึงเรียงเป็นภาษาไทยเมทริกซ์สลับเปลี่ยนครับ....มาดูตัวอย่างกันเลยครับ  สัญลักษณ์ที่ใช้แทนทรานสโพสของเมทริกซ์ก็คือ

สมมุติ \(A\) เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ \(m\times n\)  ทรานสโพสของเมทริกซ์ A  เขียนแทนด้วย \(A^{t}\) จะเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ \(n\times m\) ครับไปดูตัวอย่างกันเลย

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้

\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\end{bmatrix}\end{array}

จงหา

\(1)\quad A^{t}\)

\(2)\quad (A^{t})^{t}\)

วิธีทำ

เนื่องจาก 

\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\end{bmatrix}\end{array}

ดังนั้น \(A^{t}\) จะเป็นการนำเอาแถวสมาชิกในแถวของเมทริกซ์ \(A\) มาสลับเปลี่ยนเป็นหลัก จะได้คือ

\begin{array}{lcl}A^{t}=\begin{bmatrix}2&5\\3&6\\4&7\end{bmatrix}\end{array}  

เห็นไหมครับสลับเปลี่ยนแถวให้เป็นหลักง่ายๆครับ  ทำข้อ 2)  ต่อเลยครับสำหรับข้อนี้ก็คือเอา \(A^{t}\) มาทำการทรานสโพสอีกทีครับ จะได้

\begin{array}{lcl}A^{t}&=&\begin{bmatrix}2&5\\3&6\\4&7\end{bmatrix}\\(A^{t})^{t}&=&\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\end{bmatrix}\\&=&A\end{array}

ซึ่งจากตรงนี้จะเห็นว่า

\((A^{t})^{t}=A\)  นั่นเองครับ

ทำแบบฝึกหัดโจทย์เมทริกซ์เพิ่มเติมกันดีกว่าครับ

1. กำหนด

\begin{array}{lcl}A=\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}\end{array}

จงหาเมทริกซ์ที่บวกกับ \(A\) แล้วได้เมทริกซ์ต่อไปนี้

\(1)\quad 2A^{t}\)

\(2)\quad A^{2}\)

\(3)\quad\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}\)  เมื่อ \(x,y,z,t\)  เป็นจำนวนจริงใดๆ

\(1)\quad 2A^{t}\)

วิธีทำ  ให้เมทริกซ์ \(B\)  เป็นเมทริกซ์ที่ไปบวกกับเมทริกซ์ \(A\) แล้วได้เมทริกซ์ \(2A^{t}\)  ดังนั้นเราจะได้สมการคือ

\begin{array}{lcl}A+B&=&2A^{t}\\B&=&2A^{t}-A\\&=&2\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}^{t}-\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}\\&=&2\begin{bmatrix}1&3\\-1&2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2&6\\-2&4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1&7\\-5&2\end{bmatrix}\end{array}

ดังนั้นเมทริกซ์ที่่บวกกับเมทริกซ์ \(A\) แล้วได้เมทริกซ์ \(2A^{t}\)  คือ

\begin{bmatrix}1&7\\-5&2\end{bmatrix}

\(2)\quad A^{2}\)

วิธีทำ  ให้เมทริกซ์ \(B\)  เป็นเมทริกซ์ที่ไปบวกกับเมทริกซ์ \(A\) แล้วได้เมทริกซ์ \(A^{2}\)  ดังนั้นเราจะได้สมการคือ

\begin{array}{lcl}A+B&=&A^{2}\\B&=&A^{2}-A\\&=&\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}^{2}-\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-2&-3\\9&1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-3&-2\\6&-1\end{bmatrix}\end{array}

ดังนั้นเมทริกซ์ที่่บวกกับเมทริกซ์ \(A\) แล้วได้เมทริกซ์ \(A^{2}\)  คือ

\begin{bmatrix}-3&-2\\6&-1\end{bmatrix}

\(3)\quad\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}\)  เมื่อ \(x,y,z,t\)  เป็นจำนวนจริงใดๆ

วิธีทำ ให้เมทริกซ์ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} เป็นเมทริกซ์ที่ไปบวกกับเมทริกซ์ \(A\) แล้วได้เมทริกซ์ \begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}  ดังนั้นเราจะได้สมการคือ

\begin{array}{lcl}A+\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}-A\\\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&-1\\3&2\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}x-1&y+1\\z-3&t-2\end{bmatrix}\end{array}

ดังนั้น เมทริกซ์ที่บวกกับเมทริกซ์ \(A\) แล้วได้เมทริกซ์ \begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix} คือ

\begin{bmatrix}x-1&y+1\\z-3&t-2\end{bmatrix}

ซึ่งทรานสโพสเมทริกซ์มีสมบัติที่สำคัญๆดังต่อไปนี้

กำหนด \(A\)  และ \(B\) เป็นเมทริกซ์

\(1.\quad (A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\)

\(2.\quad (AB)^{t}=A^{t}B^{t}\)

\(3.\quad (A^{t})^{t}=A\)

\(4.\quad (cA)^{t}=cA^{t}\)