ในการเรียนเรื่องเมทริกซ์นี้เราจะมีนิยามมากมายเพื่อนำไปใช้ประโยชน์ต่างๆอีกอันหนึ่งที่สำคัญก็คือ ไมเนอร์ของเมทริกซ์ (minor) วันนี้เราจะมาดูนิยามของไมเนอร์ของเมทริกซ์กันครับ

บทนิยาม

ให้ \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\)  เมื่อ \(n\geq 2\) ไมเนอร์ (minor) ของ \(a_{ij}\) คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ \(i\) และหลักที่ \(j\) ออก เขียนแทนไมเนอร์ของ \(a_{ij}\) ด้วย \(M_{ij}(A)\)

ไปดูตัวอย่างการหาไมเนอร์ของเมทริกซ์กันครับ

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดเมทริกซ์ \(A\) ดังต่อไปนี้

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\end{array}

จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตัวของ \(A\)

วิธีทำ ไปดูนิยามของไมเนอร์ของเมทริกซดีๆนะครับ จากเมทริกซ์ที่กำหนดให้จะเห็นว่า

\(a_{11}=1\)

\(a_{12}=2\)

\(a_{21}=3\)

\(a_{22}=4\)

เขาให้หาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตัวของ \(A\) ดังนั้นเริ่มหากันเลย

\(M_{11}(A)\)   คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่เกิดจากการตัดแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ \(A\) ซึ่งถ้าเราเอาเมทริกซ์ \(A\) มาตัดแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ออกก็จะได้ดังรูป

ดังนั้นเมื่อตัดแถวที่ 1 และหลักที่ 1 ออกแล้วก็จะเหลือเมทริกซ์หน้าตาแบบนี้ครับ

\begin{bmatrix}4\end{bmatrix}  เสร็จแล้วเราก็หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้ต่อครับซึ่งดีเทอร์มิแนนของเมทริกซ์ [4] มีค่าเท่ากับ 4

นั่นก็คือ

\(M_{11}(A)=4\)

ไมเนอร์ของสมาชิกตัวอื่นๆก็ทำเหมือนกันครับ ลองคิดตามเองนะครับ

\(M_{12}=3\)

\(M_{21}=2\)

\(M_{22}=1\)

สรุปการหาไมเนอร์ของเมทริกซ์อีกครั้งนะคับ

1. ตัดแถว ตัดหลักออกก่อน สมมติต้องการหา \(M_{23}(A)\) ก็ตัดแถวที่ 2 ตัดหลักที่ 3 ของเมทริกซ์ \(A\) ออกกอ่น

2. เมื่อตัดแถวตัดหลักออกแล้วก็หาดีเทอร์มิแนนต์ของสมาชิกที่เหลือครับ

มาดูตัวอย่างกันต่อครับ

ตัวอย่างที่ 2 จงหาไมเมอร์ของสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ์

\begin{array}{lcl}B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\end{array}

หา \(M_{11}(B)\)

ก็ต้องตัดแถวที่ 1 หลักที่ 1  ของเมทริกซ์ \(B\)ออกก่อนก็จะได้ดังรูป

ตัดออกแล้วก็จะได้เมทริกซ์ดังนี้

\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix}

ต่อไปก็นำเมทริกซ์ที่เหลือนี้แหละครับไปหาดีเทอร์มิแนนต์ต่อครับ 

ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ของ

\begin{array}{lcl}det(\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix})=(5)(9)-(6)(8)=45-48=-3\end{array}

ดังนั้น \(M_{11}(B)=-3\)

หา \(M_{12}(B)\)

ทำเหมือนเดิมครับคือตัดแถวที่ 1 ตัดหลักที่ 2 ออก ก่อนก็จะได้ดังรูป

ตัดออกแล้วก็จะได้เมทริกซ์ดังนี้

\begin{bmatrix}4&6\\7&9\end{bmatrix}

ต่อไปก็นำเมทริกซ์ที่เหลือนี้แหละครับไปหาดีเทอร์มิแนนต์ต่อครับ 

ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ของ

\begin{array}{lcl}det(\begin{bmatrix}4&6\\7&9\end{bmatrix})=(4)(9)-(6)(7)=36-42=-6\end{array}

 ดังนั้น \(M_{12}(B)=-6\)

ต่อไปไม่มีรูปให้ดูแล้วนะครับพยายามคิดเองครับ

\(M_{13}(B)=(8)(4)-(7)(5)=32-35=-3\)

\(M_{21}(B)=(2)(9)-(3)(8)=18-24=-6\)

\(M_{22}(B)=(1)(9)-(3)(7)=9-21=-12\)

\(M_{23}(B)=(8)(1)-(2)(7)=8-14=-6\)

\(M_{31}(B)=(2)(6)-(3)(5)=12-15=-3\)

\(M_{32}(B)=(1)(6)-(3)(4)=6-12=-6\)

\(M_{33}(B)=(1)(5)-(2)(4)=5-8=-3\)