โคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์คืออะไร โคแฟกเตอร์ภาษาไทยใช้คำว่า ตัวประกอบร่วมเกี่ยว มาดูนิยามของโคแฟกเตอร์หรือตัวประกอบร่วมเกี่ยวกันเลยครับ

บทนิยาม

ให้ \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\)  เมื่อ \(n\geq 2\) โคแฟกเตอร์ของ \(a_{ij}\) คือผลคูณของ \((-1)^{i+j}\) และ \(M_{ij}(A)\)  เขียนแทนโคแฟกเตอร์ของ \(a_{ij}\) ด้วย \(C_{ij}(A)\)

อ่านบทนิยามอ่านจะงงๆนิดหนึ่งครับแต่ถ้าดูดีๆ จะเห็นว่าโคแฟกเตอร์คือ การเอา \((-1)^{i+j}\)  ไปคูณไมเนอร์นั่นเองครับ เราลองพิจารณา \(-1)^{i+j}\) ดูจะเห็นว่า

ถ้า i บวก j เป็นเลขคู่ จะได้ -1 ยกกำลังเลขคู่มีค่าเท่ากับ 1

ถ้า i บวก j เป็นเลขคี่ จะได้ -1 ยกกำลังเลขคี่มีเท่ากับ -1

เพราะฉะนั้นแล้ว ถ้าโจทย์ให้หา \(C_{13}(A)\) จะเห็นว่า i=1 และ j=3 ซึ่ง 1+3=4 เป็นเลขคู่ดังนั้น \((-1)^{4}=1\) นั่นคือไปหาไมเนอร์หนึ่งสาม\((M_{13}(A))\) เสร็จแล้วเอา 1 คูณเข้าจะได้จะได้ค่าโคแฟกเตอร์หนึ่งสาม

ถ้าโจทย์ให้หา \(C_{23}\)  จะเห็นว่า i=2 และ j=3 ซึ่ง 2+3=5 เป็นเลขคี่ดังนั้น \((-1)^{5}=-1\) นั่นคือไปหาไมเนอร์สองสาม\(M_{23}(A)\) เสร็จแล้วเอา -1 คูณเข้าก็จะได้ค่าของโคแฟกเตอร์สองสามนั่นเองครับเข้าใจไหมเอ่ย

มาดูตัวอย่างกันเลยครับพูดมากงงครับ เรามาลองทำแบบฝึกหัดกันเลย

1. จงหาโคแฟกเตอร์ของสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์ \(A\) เมื่อกำหนดให้

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ เนื่องการหาโคแฟกเตอร์เกี่ยวข้องกับไมเนอร์ของเมทริกซ์ดังนั้นไปอ่านเรื่องไมเนอร์ด้วยนะครับมันเชื่อมโยงกันครับ

เอาเป็นว่าหาไมเนอร์ก่อนแล้วกันครับแล้วค่อยๆเอาไปแทนค่าแล้วหาโคแฟกเตอร์ต่อไป ซึ่งจะได้

\(M_{11}(A)=4\)

\(M_{12}(A)=3\)

\(M_{21}(A)=2\)

\(M_{22}(A)=1\)

แล้วเอาไปแทนค่าเพื่อหาโคแฟกเตอร์ต่อครับจะได้ดังข้างล่างนี้

\begin{array}{lcl}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}M_{11}(A)\\&=&(1)(4)\\&=&4\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{12}(A)&=&(-1)^{1+2}M_{12}(A)\\&=&(-1)(3)\\&=&-3\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{21}(A)&=&(-1)^{2+1}M_{21}(A)\\&=&(-1)(2)\\&=&-2\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{22}(A)&=&(-1)^{2+2}M_{22}(A)\\&=&(1)(1)\\&=&1\end{array}

---

2. จงหาโคแฟกเตอร์ของสมาชิกทุกตัวของเมทริกซ์ \(B\)  เมื่อกำหนดให้

\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ  ต้องไปดูไมเนอร์ด้วยนะครับซึ่งจะได้ว่า

\(M_{11}(B)=-3\)

\(M_{12}(B)=-6\)

\(M_{13}(B)=-3\)

\(M_{21}(B)=-6\)

\(M_{22}(B)=-12\)

\(M_{23}(B)=-6\)

\(M_{31}(B)=-3\)

\(M_{32}(B)=-6\)

\(M_{33}(B)=-3\)

เมื่อได้ไมเนอร์แล้วก็ไปหาโคแฟกเตอร์ครับจะได้

\begin{array}{lcl}C_{11}(B)&=&(-1)^{1+1}M_{11}(B)\\&=&(1)(-3)\\&=&-3\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{12}(B)&=&(-1)^{1+2}M_{12}(B)\\&=&(-1)(-6)\\&=&6\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{13}(B)&=&(-1)^{1+3}M_{13}(B)\\&=&(1)(-3)\\&=&-3\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{21}(B)&=&(-1)^{2+1}M_{21}(B)\\&=&(-1)(-6)\\&=&6\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{22}(B)&=&(-1)^{2+2}M_{22}(B)\\&=&(1)(-12)\\&=&-12\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{23}(B)&=&(-1)^{2+3}M_{13}(B)\\&=&(-1)(-6)\\&=&6\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{31}(B)&=&(-1)^{3+1}M_{13}(B)\\&=&(1)(-3)\\&=&-3\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{32}(B)&=&(-1)^{3+2}M_{13}(B)\\&=&(-1)(-6)\\&=&6\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{33}(B)&=&(-1)^{3+3}M_{13}(B)\\&=&(1)(-3)\\&=&-3\end{array}

นี่คือตัวอย่างการหาค่าโคแฟกเตอร์ครับอย่างไรก็ค่อยๆอ่านดูนะครับ มันอาจจะยุ่งยากเพราะต้องเชื่อมไปหาไมเนอร์ของเมทริกซ์ด้วยต้องหัดทำแบบฝึกหัดเยอะๆครับ