การหาดิเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สองคูณสอง  เมทริกซ์สองคูณสองจะหาดีเทอร์มิแนนต์ได้ไม่ยากครับ สมมติผมมีเมทริกซ์ A ซึ่งเป็นเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\)  

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\end{array}

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A  หรือว่า  \(det(A)\) จะมีค่าเท่ากับดังนี้

\[det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\]

ไปดูตัวอย่างประกอบกันครับ

ตัวอย่างที่ 1  จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ \(2\times 2\)  ต่อไปนี้

1)

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ   จะเห็นว่า 

\(a_{11}=1\)

\(a_{12}=2\)

\(a_{21}=3\)

\(a_{22}=4\)

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}det(A)&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=&(1)(4)-(2)(3)\\&=&4-6\\&=&-2\end{array}

ตอบ \(det(A)=-2\)

---

2)

\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}-3&-4\\5&6\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ  จะเห็นว่า 

\(a_{11}=-3\)

\(a_{12}=-4\)

\(a_{21}=5\)

\(a_{22}=6\)

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}det(B)&=&a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\\&=&(-3)(6)-(-4)(5)\\&=&-18-(-20)\\&=&-18+20\\&=&2\end{array}

ตอบ  \(det(B)=2\)

---

ต่อไป ลองทำแบบฝึกหัดเพิ่มเติมที่เป็นข้อสอบแข่งขันครับ

1. ให้ \(A=\begin{bmatrix}x&-1\\0&3\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}-2&0\\x&1\end{bmatrix}\) เมื่อ \(x\) เป็นจำนวนจริง  ถ้า \(det(B^{-1}A)=-6\) แล้วค่า \(x\) เท่ากับเท่าใด

1. -4
2. -1
3. 1
4. 4
5. 9

วิธีทำ

ข้อนี้ต้องใช้สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ นะคับใครจำสมบัติไม่ได้ก็ไปอ่านตามลิงก์ก่อนคับผม  เริ่มทำเลยคับ

\begin{array}{lcl}det(B^{-1}A)&=&-6\\det(B^{-1})det(A)&=&-6\\\frac{1}{det(B)}det(A)&=&-6\quad\cdots (1)\end{array}

เก็บสมการที่ \((1)\) ก่อน ต่อไปก็เราต้องไปหา \(det(A)\) กับ \(det(B)\) จากเมทริกซ์ที่โจทย์กำหนดให้ครับ

จากโจทย์จะได้ว่า

\(det(A)=(3)(x)-(0)(-1)=3x\)

\(det(B)=(-2)(1)-(0)(x)=-2\)

เอาไป \(det(A)\) และ \(det(B)\) แทนในสมการที่ \((1)\) จะได้

\begin{array}{lcl}\frac{1}{det(B)}det(A)&=&-6\\\frac{3x}{-2}&=&-6\\x&=&\frac{(-6)(-2)}{3}\\x&=&4\end{array}

---

 2. ถ้า \(A\) เป็นเมทริกซ์ \(3\times 3\) ซึ่ง \(det(2A)=24\) แล้ว \(det(A^{-1}\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(\frac{1}{13}\)
2. \(\frac{1}{3}\)
3. \(3\)
4. \(6\)
5. \(12\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับ ใครที่จำสมบัติของสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ได้ ก็จะทำได้ง่ายๆครับใช้สมบัติข้อนี้คือ

\(det(cA)=c^{n}det(A)\) เมื่อ \(n\) คือมิติของเมทริกซ์ \(A\)  เริ่มทำกันเลยคับผม

\begin{array}{lcl}det(2A)&=&24\\2^{3}det(A)&=&24\\8det(A)&=&24\\det(A)&=&\frac{24}{8}\\det(A)&=&3\end{array}

เนื่องจาก

\(det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}\)

ดังนั้น

\begin{array}{lcl}det(A^{-1})&=&\frac{1}{\frac{1}{3}}\\&=&3\end{array}

---

3. ถ้า \(A=\begin{bmatrix}2&1\\3&5\end{bmatrix}\) และ \(B=\begin{bmatrix}4&-1\\-2&2\end{bmatrix}\) แล้ว \(det(AB^{-1})\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. \(-98\)
2. \(\frac{1}{2}\)
3. \(1\)
4. \(2\)
5. \(98\)

วิธีทำ

ข้อนี้เราหา \(det(A)\) และ \(det(B)\) รอไว้เลยคับ จากโจทย์จะได้ว่า

\(det(A)=(2)(5)-(1)(3)=7\)

\(det(B)=(4)(2)-(3)(-2)=8-(-6)=8+6=14\) ดังนั้น

\(det(B^{-1})=\frac{1}{14}\)

เริ่มหาคำตอบกันเลย

\begin{array}{lcl}det(AB^{-1})&=&det(A)det(B^{-1})\\&=&(7)\times \frac{1}{14}\\&=&\frac{1}{2}\end{array}