การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ในหัวข้อนี้เราจะหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติใดๆ แต่ก่อนหน้านี้ผมได้เขียนเรื่องการหา
การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสาม
การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สองคูณสอง
ใครอยากอ่านก็ไปอ่านก่อนได้ครับแต่วันนี้เราจะมีศึกษาการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีมิติเท่าไรก็ได้ ซึ่งสามารถหาได้ตามนิยามต่อไปนี้
นิยาม ให้ \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\) เมื่อ \(n\geq 2\) ดีเทอร์มิแนนต์ของ \(A\) คือ
\[a_{11}C_{11}(A)+a_{12}C_{12}(A)+\cdots +a_{1n}C_{1n}(A)\]
เขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ \(A\) ด้วย \(det(A)\) หรือ
\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\quad\quad\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}
มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ
จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
1. \begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}-3&8&3&0\\2&3&0&0\\-4&5&3&0\\1&0&2&2\end{bmatrix}\end{array}
วิธีทำ หาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์นี้ หาตามนิยามเลยครับ ซึ่งถ้าดูตามนิยามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ
\(a_{11}C_{11}(A)+a_{12}C_{12}(A)+a_{13}C_{13}(A)+a_{14}C_{14}(A)\)
ซึ่งจะเห็นว่า
\(a_{11}=-3\)
\(a_{12}=8\)
\(a_{13}=3\)
\(a_{14}=0\)
ต่อไปหา
\(C_{11}(A)\) ซึ่ง
\begin{array}{lcl}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}M_{11}(A)\\&=&\begin{vmatrix}3&0&0\\5&3&0\\0&2&2\end{vmatrix}\\&=&18\end{array}
***อธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่ง การหา \(C_{11}\) และ \(M_{11}\) ก็คือหา โคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ และ ไมเนอร์ของเมทริกซ์ อย่าลืมไปทบทวนด้วยนะครับว่าหายังไง
ส่วนการหา
\begin{vmatrix}3&0&0\\5&3&0\\0&2&2\end{vmatrix} ก็คือการหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสามซึ่งหาออกมาได้เป็น \(18\) อย่าลืมไปอ่านทบทวนด้วยครับ
ทำต่อเลยนะครับ
ต่อไปหา
\(C_{12}\) ซึ่ง
\begin{array}{lcl}C_{12}&=&(-1)^{1+2}M_{12}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}2&0&0\\-4&3&0\\1&2&2\end{vmatrix}\\&=&(-1)(12)\\&=&-12\end{array}
ต่อไปหา
\(C_{13}\) ซึ่ง
\begin{array}{lcl}C_{13}&=&(-1)^{1+3}M_{13}(A)\\&=&\begin{vmatrix}2&3&0\\-4&5&0\\1&0&2\end{vmatrix}\\&=&44\end{array}
ต่อไปหา
\(C_{14}\) ซึ่ง
\begin{array}{lcl}C_{14}&=&(-1)^{1+4}M_{14}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}2&3&0\\-4&5&3\\1&0&2\end{vmatrix}\\&=&(-1)(53)\\&=&-53\end{array}
เอาสิ่งที่เราหามาทั้งหมดไปแทนค่าเพื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ของของเมทริกซ์ \(A\)
ดังนั้นจะได้
\begin{array}{lcl}det(A)&=&a_{11}C_{11}(A)+a_{12}C_{12}(A)+a_{13}C_{13}(A)+a_{14}C_{14}(A)\\&=&(-3)(18)+(8)(-12)+(3)(44)+(0)(-53)\\&=&-54-96+132\\&=&-18\quad\underline{Ans}\end{array}