การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์  ในหัวข้อนี้เราจะหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติใดๆ แต่ก่อนหน้านี้ผมได้เขียนเรื่องการหา

การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสาม

การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สองคูณสอง

ใครอยากอ่านก็ไปอ่านก่อนได้ครับแต่วันนี้เราจะมีศึกษาการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีมิติเท่าไรก็ได้ ซึ่งสามารถหาได้ตามนิยามต่อไปนี้

นิยาม  ให้  \(A=[a_{ij}]_{n\times n}\)  เมื่อ \(n\geq 2\) ดีเทอร์มิแนนต์ของ \(A\) คือ

\[a_{11}C_{11}(A)+a_{12}C_{12}(A)+\cdots +a_{1n}C_{1n}(A)\]

เขียนแทนดีเทอร์มิแนนต์ของ \(A\)  ด้วย \(det(A)\)  หรือ

\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\quad\quad\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix} 

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ

จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้

1.  \begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}-3&8&3&0\\2&3&0&0\\-4&5&3&0\\1&0&2&2\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ    หาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์นี้ หาตามนิยามเลยครับ ซึ่งถ้าดูตามนิยามดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ

\(a_{11}C_{11}(A)+a_{12}C_{12}(A)+a_{13}C_{13}(A)+a_{14}C_{14}(A)\)

ซึ่งจะเห็นว่า

\(a_{11}=-3\)

\(a_{12}=8\)

\(a_{13}=3\)

\(a_{14}=0\)

ต่อไปหา

\(C_{11}(A)\) ซึ่ง

\begin{array}{lcl}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}M_{11}(A)\\&=&\begin{vmatrix}3&0&0\\5&3&0\\0&2&2\end{vmatrix}\\&=&18\end{array}

***อธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่ง การหา \(C_{11}\) และ \(M_{11}\)  ก็คือหา โคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ และ ไมเนอร์ของเมทริกซ์  อย่าลืมไปทบทวนด้วยนะครับว่าหายังไง

ส่วนการหา

\begin{vmatrix}3&0&0\\5&3&0\\0&2&2\end{vmatrix}  ก็คือการหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสามซึ่งหาออกมาได้เป็น \(18\) อย่าลืมไปอ่านทบทวนด้วยครับ

ทำต่อเลยนะครับ

ต่อไปหา

\(C_{12}\)  ซึ่ง

\begin{array}{lcl}C_{12}&=&(-1)^{1+2}M_{12}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}2&0&0\\-4&3&0\\1&2&2\end{vmatrix}\\&=&(-1)(12)\\&=&-12\end{array}

ต่อไปหา

\(C_{13}\)  ซึ่ง

\begin{array}{lcl}C_{13}&=&(-1)^{1+3}M_{13}(A)\\&=&\begin{vmatrix}2&3&0\\-4&5&0\\1&0&2\end{vmatrix}\\&=&44\end{array}

ต่อไปหา

\(C_{14}\)  ซึ่ง

\begin{array}{lcl}C_{14}&=&(-1)^{1+4}M_{14}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}2&3&0\\-4&5&3\\1&0&2\end{vmatrix}\\&=&(-1)(53)\\&=&-53\end{array}

เอาสิ่งที่เราหามาทั้งหมดไปแทนค่าเพื่อหาดีเทอร์มิแนนต์ของของเมทริกซ์ \(A\)

ดังนั้นจะได้

\begin{array}{lcl}det(A)&=&a_{11}C_{11}(A)+a_{12}C_{12}(A)+a_{13}C_{13}(A)+a_{14}C_{14}(A)\\&=&(-3)(18)+(8)(-12)+(3)(44)+(0)(-53)\\&=&-54-96+132\\&=&-18\quad\underline{Ans}\end{array}