เมทริกซ์ผูกพัน หรือ แอดจอยท์ หรือ แอดจอยท์เมทริกซ์ มีชื่อเรียกหลายชื่อแล้วแต่ใครจะเรียกแต่ภาษาอังกฤษใช้คำว่า adjoint matrix  ต่อไปเราจะไปดูนิยามของเจ้าแอดจอยท์เมทริกซ์นี้ว่าเป็นอย่างไร ไปดูกันเลย

นิยาม ให้  \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(n\times n\)  เมื่อ \(n\geq 2\)  เมทริกซ์ผูกผัน(adjoint matrix) ของ \(A\) คือ เมทริกซ์ \([C_{ij}(A)]^{t}\)   เขียนแทนเมทริกซ์ผูกพันของ \(A\) ด้วย \(adj(A)\)

เป็นอย่างไรบ้างครับหลังจากอ่านนิยาม อ่านแล้วงงไหม อาจจะงงแต่ไม่ต้องตกใจครับนิยามพวกคณิตศาสตร์ต้องค่อยๆอ่าน ค่อยตีความครับและพยายามจำพวกสัญลักษณ์ต่างๆว่าแต่ละอย่างมันหมายความว่าอย่างไร  ซึ่งจากนิยามเราจะเห็นว่าแอดจอยท์ของเมทริกซ์ \(A\) หรือว่า \(adj(A)\)  มันจะเกี่ยวข้องกับ  โคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์   ไมเนอร์ของเมทริกซ์  ทรานสโพสของเมตริกซ์  ฉะนั้นไปอ่านทำความเข้าใจด้วยตามลิงค์ที่ผมให้ไว้ครับจะได้ไม่งง   มาดูตัวอย่างประกอบครับ

ตัวอย่างที่ 1  จงหา \(adj(A)\) เมื่อ \(A\)  คือเมทริกซ์ต่อไปนี้

1)

\begin{bmatrix}-3&2&1\\4&5&6\\2&-3&1\end{bmatrix}

วิธีทำ  เริ่มหา \(adj(A)\)  กันเลยครับจากนิยามเราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}adj(A)&=\begin{bmatrix}C_{11}(A)&C_{12}(A)&C_{13}(A)\\C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^{t}\end{array}

อธิบายนิดหนึ่งการหา แอดจอยท์ของเมทริกซ์ \(A\) หรือ \(adj(A)\) ก็คือการหา โคแฟกเตอร์แต่ละสามาชิกของ \(A\) เมื่อหาเสร็จแล้วก็เอามาทำการทรานสโพส แค่นี้ก็เสร็จครับ เริ่มทำต่อเลยผมจะเริ่มหาโคแฟกเตอร์แต่ละสมาชิกของ \(A\)

\begin{array}{lcl}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}M_{11}(A)\\&=&\begin{vmatrix}5&6\\-3&1\end{vmatrix}\\&=&(5)(1)-(6)(-3)\\&=&5+18\\&=&23\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{12}(A)&=&(-1)^{1+2}M_{12}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}4&6\\2&1\end{vmatrix}\\&=&(-1)[(4)(1)-(6)(2)]\\&=&(-1)[4-12]\\&=&8\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{13}(A)&=&(-1)^{1+3}M_{13}(A)\\&=&\begin{vmatrix}4&5\\2&-3\end{vmatrix}\\&=&(4)(-3)-(5)(2)\\&=&-12-10\\&=&-22\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{21}(A)&=&(-1)^{2+1}M_{21}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}2&1\\-3&1\end{vmatrix}\\&=&(-1)[(2)(1)-(1)(-3)]\\&=&(-1)(5)\\&=&-5\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{22}(A)&=&(-1)^{2+2}M_{22}(A)\\&=&\begin{vmatrix}-3&1\\2&1\end{vmatrix}\\&=&(-3)(1)-(1)(2)\\&=&-5\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{23}(A)&=&(-1)^{2+3}M_{23}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}-3&2\\2&-3\end{vmatrix}\\&=&(-1)[(-3)(-3)-(2)(2)]\\&=&(-1)(5)\\&=&-5\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{31}(A)&=&(-1)^{3+1}M_{31}(A)\\&=&\begin{vmatrix}2&1\\5&6\end{vmatrix}\\&=&(2)(6)-(1)(5)\\&=&7\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{32}(A)&=&(-1)^{3+2}M_{32}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}-3&1\\4&6\end{vmatrix}\\&=&(-1)[(-3)(6)-(1)(4)]\\&=&(-1)(-22)\\&=&22\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{33}(A)&=&(-1)^{3+3}M_{33}(A)\\&=&\begin{vmatrix}-3&2\\4&5\end{vmatrix}\\&=&(-3)(5)-(2)(4)\\&=&-15-8\\&=&-23\end{array}

เอาพวกโคแฟกเตอร์ที่เราหาได้ทั้งหมดไปแทนค่าก็จะได้

\begin{array}{lcl}adj(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)&C_{12}(A)&C_{13}(A)\\C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^{t}\\&=&\begin{bmatrix}23&8&-22\\-5&-5&-5\\7&22&-23\end{bmatrix}^{t}\\&=&\begin{bmatrix}23&-5&7\\8&-5&22\\-22&-5&-23\end{bmatrix}\end{array}

นี่คือตัวอย่างการหา แอดจอยท์ หรือว่า เมทริกซ์ผูกผัน ซึ่งไม่ยากแต่ยาวการที่จะหาแอดจอยท์ได้จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับ

โคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์  ไมเนอร์ของเมทริกซ์  ทรานสโพสของเมตริกซ์  การหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สองคูณสอง   ประมาณนี้ครับจากตัวอย่างที่ผมยกมาเป็นการหาแอดจอยท์ของเมทริกซ์ \(3\times 3\) แต่ถ้าเป็นมิติอื่นๆก็ทำเหมือนกันครับ


Pin It