วันนี้เรามาดูการหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ใดๆ หลังจากที่เราหาอินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ \(2\times 2\) เป็นแล้ว วันนี้เราจะหาอินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ที่มีมิติที่มากกว่า \(2\times 2\)  เรามาดูทฤษฎีที่ใช้ในการหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์กันเลยครับ

ทฤษฎีบท  ให้ \(A\) เป็นเมทริกซ์ขนาด \(n\times n\) เมื่อ \(n\geq 2\)  จะได้ว่า

\(1)  A\quad adj(A)=adj(A)A=det(A)I_{n}\)

\(2) A\)  มีอินเวอร์สการคูณ ก็ต่อเมื่อ \(A\) เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานซึ่งได้ว่า

\[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)\]

จะเห็นว่าการที่เราจะหาอินเวอร์สการคูณได้เราต้องมีความรู้เกี่ยวกับการหาการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ และการหาเมทริกซ์ผูกพันหรือว่าแอดจอยท์ของเมทริกซ์ด้วยดังนั้นต้องไปอ่านพวกนี้ให้เข้าใจด้วยนะครับ

อ่านทฤษฎีบทแล้วอาจจะงงอยู่เราไปดูตัวอย่างการทำแบบบฝึกหัดกันเลยครับ  อาจจะยุ่งหน่อยแต่ก็สนุกครับไปทำแบบฝึกหัดการหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์เลย

แบบฝึกหัด

1. จงหา \(A^{-1}\) ถ้ามี เมื่อ \(A\)  คือเมทริกซ์ต่อไปนี้

1)

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}-2&2&3\\1&-1&0\\0&1&4\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ จะเห็นว่าเมทริกซ์ที่โจทย์กำหนดให้เมทริกซ์มิติ \(3\times 3\)  จากทฤษฎีบทจะได้ว่า

\[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)\]

เดี่ยวเราไปหา \(det(A)\) กับ \(adj(A)\) ก่อนแล้วค่อยเอาไปแทนค่าเพื่อหาค่าอินเวอร์สการคูณต่อไปครับเริ่มต้นกันเลย

\begin{array}{lcl}det(A)&=&\begin{vmatrix}-2&2&3\\1&-1&0\\0&1&4\end{vmatrix}\begin{matrix}-2&2\\1&-1\\0&1\end{matrix}\end{array}

อย่าลืมไปทบทวนดูการหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสามนะครับ อ่ะทำต่อเลย จะได้ว่า

ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงลงคือ \(8+0+3=11\)

ผลรวมของผลคูณในแนวทแยงขึ้นคือ \(0+0+8=8\)

ดังนั้น  \(det(A)=11-8=3\)

หลักจากที่หา \(det(A)\)  ได้แล้วต่อไปก็หา \(adj(A)\)  เริ่มหาเลยครับอย่าลืมไปทบทวนการหาเมทริกซ์ผูกพันหรือว่า แอดจอยท์ของเมทริกซ์ด้วยนะครับ  จาก

\begin{array}{lcl}adj(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)&C_{12}(A)&C_{13}(A)\\C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^{t}\end{array}

เริ่มหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ของสมาชิกแต่ละตัวแล้วค่อยเอาไปแทนค่าครับ

\begin{array}{lcl}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}M_{11}(A)\\&=&\begin{vmatrix}-1&0\\1&4\end{vmatrix}\\&=&(-1)(4)-(0)(1)\\&=&-4\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{12}(A)&=&(-1)^{1+2}M_{12}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}1&0\\0&4\end{vmatrix}\\&=&(-1)[(1)(4)-(0)(0)]\\&=&-4\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{13}(A)&=&(-1)^{1+3}M_{13}(A)\\&=&\begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}\\&=&(1)(1)-(-1)(0)\\&=&1\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{21}(A)&=&(-1)^{2+1}M_{21}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}\\&=&(-1)[(2)(4)-(3)(1)]\\&=&(-1)(5)\\&=&-5\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{22}(A)&=&(-1)^{2+2}M_{22}(A)\\&=&\begin{vmatrix}-2&3\\0&4\end{vmatrix}\\&=&(-2)(4)-(3)(0)\\&=&-8\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{23}(A)&=&(-1)^{2+3}M_{23}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}-2&2\\0&1\end{vmatrix}\\&=&(-1)[(-2)(1)-(2)(0)]\\&=&(-1)(-2)\\&=&2\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{31}(A)&=&(-1)^{3+1}M_{31}(A)\\&=&\begin{vmatrix}2&3\\-1&0\end{vmatrix}\\&=&(2)(0)-(3)(-1)\\&=&3\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{32}(A)&=&(-1)^{3+2}M_{32}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}-2&3\\1&0\end{vmatrix}\\&=&(-1)[(-2)(0)-(3)(1)]\\&=&(-1)(-3)\\&=&3\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{33}(A)&=&(-1)^{3+3}M_{33}(A)\\&=&\begin{vmatrix}-2&2\\1&-1\end{vmatrix}\\&=&(-2)(-1)-(2)(1)\\&=&2-2\\&=&0\end{array}

หลักจากหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ได้แล้วก็นำไปแทนเพื่อหา \(adj(A)\)  เลยครับ

\begin{array}{lcl}adj(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)&C_{12}(A)&C_{13}(A)\\C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^{t}\\&=&\begin{bmatrix}-4&-4&1\\-5&-8&2\\3&3&0\end{bmatrix}^{t}\\&=&\begin{bmatrix}-4&-5&3\\-4&-8&3\\1&2&0\end{bmatrix}\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(det(A)\)  และ \(adj(A)\) ต่อไปเราก็หาค่าของ \(A^{-1}\) หรือว่าอินเวอร์สของเมทริกซ์ \(A\) ได้แล้วครับ จาก

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{det(A)}adj(A)\\&=&\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-4&-5&3\\-4&-8&3\\1&2&0\end{bmatrix}\end{array}

ผมไม่เอา \(\frac{1}{3}\) คูณเข้าไปข้างในเมทริกซ์นะครับใครอยากคูณเข้าก็ทำได้เลยครับ นี่แหละเป็นการหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์  ว่างๆเดี่ยวทำให้ดูอีกข้อที่เป็นเมทริกซ์ \(4\times 4\) บ้างครับ ทำต่อข้อต่อไปเลยครับ

---

2)

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\-2&-1&1&0\\-3&-2&-1&1\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์มิติ \(4\times 4\) นะครับมาเริ่มหาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ \(A\) นี้เลยครับซึ่ง

\[A^{-1}=\frac{1}{det(A)}adj(A)\]

เริ่มหา \(det(A)\)  ก่อนนะครับแล้วค่อยเอาไปแทนค่าในสูตรข้างบน ซึ่งการหา \(det(A)\) นี้ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ก่อนครับ การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ซึ่ง

\[det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots +a_{1n}C_{1n}\]

ซึ่ง  

\(a_{11}=1\)

\(a_{12}=a_{13}=a_{14}=0\)

\begin{array}{lcl}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}M_{11}(A)\\&=&\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\-2&-1&1\end{vmatrix}\\&=&1\end{array}

***ถึงตรงนี้ผมอยากทุกคนที่อ่านไปทบทวนวิธีการหาการหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสามเพราะว่า

\begin{vmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\-2&-1&1\end{vmatrix} ก็คือการหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสามนั่นเองครับซึ่งมีค่าเป็น \(1\)  ไปทบทวนเองนะครับตามลิงค์ที่ผมวางไว้ให้ครับ ทำต่อเลย

\begin{array}{lcl}C_{12}(A)&=&(-1)^{1+2}M_{12}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}-1&0&0\\-2&1&0\\-3&-1&1\end{vmatrix}\\&=&1\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{13}(A)&=&(-1)^{1+3}M_{13}(A)\\&=&\begin{vmatrix}-1&1&0\\-2&-1&0\\-3&-2&1\end{vmatrix}\\&=&3\end{array}

\begin{array}{lcl}C_{14}(A)&=&(-1)^{1+4}M_{14}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}-1&1&0\\-2&-1&1\\-3&-2&-1\end{vmatrix}\\&=&8\end{array}

ดังนัั้นจะได้ค่า \(det(A)\) คือ

\begin{array}{lcl}det(A)&=&a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}+a_{14}C_{14}\\&=&(1)(1)+(0)(1)+(0)(3)+(0)(8)\\&=&1\end{array}

ต่อไปหา \(adj(A)\)  ครับซึ่งหาได้จากสูตร

\begin{array}{lcl}adj(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)&C_{12}(A)&C_{13}(A)&C_{14}(A)\\C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)&C_{24}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)&C_{34}(A)\\C_{41}(A)&C_{42}(A)&C_{43}(A)&C_{44}(A)\end{bmatrix}^{t}\end{array}   ใครที่ยังหา \(adj(A)\)  หรือว่าแอดจอยท์ของเมทริกซ์ไม่ได้ให้ไปอ่านลิงค์นี้ก่อนนะครับเมทริกซ์ผูกพันผมจะไม่ทำให้ดูแบบละเอียดนะครับไปอ่านทบทวนเองครับจะเห็นว่าที่ระหว่างที่เราหา \(det(A)\)  เราได้หา \(C_{11}(A),(C_{12}(A),C_{13}(A),C_{14}(A)\) ไว้แล้วต่อไปก็เริ่มหา

\begin{array}{lcl}C_{21}(A)&=&(-1)^{2+1}M_{21}(A)\\&=&(-1)\begin{vmatrix}0&0&0\\-1&1&0\\-2&-1&1\end{vmatrix}\\&=&0\end{array}

ต่อไปตั้งแต่ \(C_{22}(A)\)  จนถึง \(C_{44}(A)\) ให้หาเองนะครับผมจะไม่แสดงให้ดูแบบละเอียด

\begin{array}{lcl}C_{22}(A)&=&1\\C_{23}(A)&=&1\\C_{24}(A)&=&3\\C_{31}(A)&=&0\\C_{32}(A)&=&0\\C_{33}(A)&=&1\\C_{34}(A)&=&1\\C_{41}(A)&=&0\\C_{42}(A)&=&0\\C_{43}(A)&=&0\\C_{44}(A)&=&1\end{array}

เมื่อได้โคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ของสมาชิกทุกตัวแล้วต่อไปก็หา \(adj(A)\)  เลย จาก

\begin{array}{lcl}adj(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)&C_{12}(A)&C_{13}(A)&C_{14}(A)\\C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)&C_{24}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)&C_{34}(A)\\C_{41}(A)&C_{42}(A)&C_{43}(A)&C_{44}(A)\end{bmatrix}^{t}\end{array}

แทนค่าลงไปจะได้

\begin{array}{lcl}adj(A)&=&\begin{bmatrix}1&1&3&8\\0&1&1&3\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{bmatrix}^{t}\\&=&\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0&\\3&1&1&0\\8&3&1&1\end{bmatrix}\end{array}

เมื่อหา \(det(A)\) และ \(adj(A)\) ได้แล้วก็เอามาแทนค่าในสูตรนี้เพื่อหา \(A^{-1}\)

\begin{array}{lcl}A^{-1}&=&\frac{1}{det(A)}adj(A)\\&=&\frac{1}{1}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0&\\3&1&1&0\\8&3&1&1\end{bmatrix}\end{array}  เสร็จแล้วครับอาจจะยาวหน่อยแต่ค่อยๆศึกษาค่อยๆอ่านเรื่อยๆครับ