ว้นนี้เรามาดูความหมายของเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) และความหมายของเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non-singular matrix)

มาดูบทนิยามกันเลย

บทนิยาม ให้ \(A\) เป็นเมทริกซ์มิติ \(n\times n\)

\(A\) เป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix) เมื่อ \(det(A)=0\)

\(A\) เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (non-singular matrix) เมื่อ \(det(A)\neq 0\)

ซึ่งถ้าเมทริกซ์ใดๆเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน เมทริกซ์นั้นก็จะสามารถหาอินเวอร์สการคูณได้ครับซึ่ง อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ก็อ่านได้ตามลิงค์ที่ผมให้ครับ เรามาทำแบบฝึกหัดที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐานกันครับ

แบบฝึกหัด

1. จงหาจำนวนจริง \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์ต่อไปนี้มีอินเวอร์ส

1)

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&2&3\\0&5&-4\\2&8&x\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ เมทริกซ์นี้จะหาอินเวอร์สการคูณได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซไม่เอกฐานซึ่งก็คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นๆต้องไม่เท่ากับศูนย์ครับ เริ่มหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้กันเลย

\begin{array}{lcl}det(A)&=&\begin{vmatrix}1&2&3\\0&5&-4\\2&8&x\end{vmatrix}\\&=&(5x-16)-(30-32)\\&=&5x-16+2\\&=&5x-14\end{array}

***อธิบายเพิ่มเติมนิดหนึ่งจะเห็นว่าเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์สามคูณสามดังนั้นให้พวกเราไปอ่านการหาการหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสามกันเองนะครับตามลิงค์ที่ผมวางไว้ให้ครับซึ่งจะเห็นได้ว่า  \(det(A)=5x-14\)  นั่นเอง

ดังนั้นเมทริกซ์นี้จะมีอินเวอร์สเมื่อ

\(det(A)\neq 0\)   ซึ่งก็คือ

\begin{array}{lcl}5x-14&\neq&0\\5x&\neq&14\\x&\neq&\frac{14}{5}\end{array}

นั่นก็คือค่าของ \(x\) ที่ทำให้เมทริกซ์นี้มีอินเวอร์ก็คือ \(x\) เป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ยกเว้น \(\frac{14}{5}\)  ครับ เห็นแนวทางในการทำหรือยังครับพยายามคิดต่อข้ออื่นเองครับผมให้แนวทางแค่นี้ครับ

2)

\begin{array}{lcl}B&=&\begin{bmatrix}x+2&0&x\\-2&x&-1\\1&1&x\end{bmatrix}\end{array}

วิธีทำ เมทริกซ์นี้จะหาอินเวอร์สการคูณได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซไม่เอกฐานซึ่งก็คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นๆต้องไม่เท่ากับศูนย์ครับ เริ่มหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้กันเลย เป็นการหาดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์สามคูณสามไปทบทวนเองนะครับไม่ยากผมจะไม่แสดงละเอียดครับอ่านเองครับผม

\begin{array}{lcl}det(B)&=&\begin{vmatrix}x+2&0&x\\-2&x&-1\\1&1&x\end{vmatrix}\\&=&\left[x^{2}(x+2)-2x\right]-\left[x^{2}-x-2\right]\\&=&x^{3}+2x^{2}-2x-x^{2}+x+2\\&=&x^{3}+x^{2}-x+2\\&=&(x+2)(x^{2}-x-1)\end{array}

จะเห็นว่า

\(det(B)=(x+2)(x^{2}-x-1)\)

และเมื่อเราลองแทน \(x=-2\) ดูจะเห็นว่า

\(det(B)=0\)

ดังนั้น ถ้าอยากให้เมทริกซ์นี้มีอินเวอร์สค่าของ \(x\) เป็นจำนวนจริงอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่ \(-2\)