การให้เหตุผลแบบอุปนัย ความหมายแบบภาษาบ้านๆก็คือ เป็นการให้เหตุผลโดยยึดความจริงจากส่วนย่อยๆที่พบเห็นไปสู่ความจริงที่เป็นส่วนรวม ยกตัวอย่างเช่น เราพบว่าทุกเช้าพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก และตอนเย็นพระอาทิตย์จะตกทางทิศตะวันตก เราจึงให้ข้อสรุปว่าพราะอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกและตกทางทิศตะวันตก
ในทางคณิตศาสตร์ใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย เพื่อสรุปคำตอบหรือเพื่อช่วยในการแก้ปัญหา เช่น เมื่อสังเกตจากรูปแบบของจำนวน \(1,3,5,7\) เราสามารถหาจำนวนถัดไปจาก \(7\) คือ \(9,11,13,15\) โดยสังเกตจากรูปแบบว่ามันเพิ่มขึ้นที่ละสอง การหาจำนวนถัดไปที่ได้จากการสังเกตที่กล่าวมาเป็นตัวอย่างของการให้เหตุผลแบบอุปนัย
เรามาลองทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยกันดีกว่าครับ ไม่มีไรยากนะเรื่องการให้เหตุผลแบบอุปนัยแต่ต้องอาศัยทักษะการสังเกตุครับ
1. พิจารณาแบบรูปของจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้ แล้วใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย หาว่า \(a\) คือจำนวนใด
1) \(12,22,32,42,a\)
\(\underline{Ans}\quad a=52\) เพิ่มขึ้นทีละ 10
2) \(5,3,1,-1,-3,a\)
\(\underline{Ans}\quad a=-5\) ลดลงทีละ 2
3) \(1,4,9,16,25,a\)
\(\underline{Ans}\quad a=36\) ข้อนี้คือการนำจำนวนนับมายกกำลังสอง \(1^{2},2^{2},3^{2}\)
4) \(1,-1,-3,-5,a\)
\(\underline{Ans}\quad a=-7\) ลดลงทีละ 2
5) \(8,14,20,26,a\)
\(\underline{Ans} \quad a=32\)
2. พิจารณาผลคูณที่กำหนดให้ต่อไปนี้ มีข้อสังเกตอย่างไรเกี่ยวกับตัวคูณและผลคูณ และสามารถให้ข้อสรุปได้หรือไม่
\begin{array}{lcl}1\times 9&=&9\\2\times 9&=&18\\3\times 9&=&27\\4\times 9&=&36\\5\times 9&=&45\\6\times 9&=&54\\7\times 9&=&63\\8\times 9&=&72\end{array}
ตอบ ถ้าสังเกตจะเห็นว่า ถ้าเราเอาเลขโดดแต่ละหลังของผลคูณมาบวกกันแล้วมันจะหารด้วย 9 ลงตัว เช่น
\(8\times 9=72\) จะเห็นว่า \(7+2=9\) หารด้วย 9 ลงตัว
\(15\times 9=135\) จะเห็นว่า \(1+3+5=9\) หารด้วย 9 ลงตัว
3. พิจารณาผลคูณของจำนวนต่อไปนี้
\begin{array}{lcl}142,857\times 1&=&142,857\\142,857\times 2&=&285,714\\142,857\times 3&=&428,571\\142,857\times 4&=&571,429\end{array}
1) มีข้อสังเกตเกี่ยวกับตัวเลชที่แทนจำนวนที่เป็นผลคูณอย่างไร
ตอบ ผลคูณที่ได้จะเป็นเลขโดดเหล่านี้เท่านั้นคือ 1,2,4,5,7,8
2) ผลคูณของ 142,857 กับ 5 และ 6 มีแบบรูปเดียวกับกับข้อสรุปข้างต้นหรือไม่
ตอบ โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัยผลคูณของ \(142,857\times 5\) และ \(142,857\times 6\) จะประกอบด้วยเลขโดด \(1,2,4,5,8,7\) ซึ่งเมื่อเราลองคูณดูจะเห็นว่า
\(142,857\times 5=714,285\)
\(142,857\times 6=857,142\)
4. พิจารณาผลคูณต่อไปนี้
\begin{array}{lcl}37\times 3&=&111\\37\times 6&=&222\\37\times 9&=&333\\37\times 12&=&444\end{array}
1) มีข้อสังเกตอย่างไรเกี่ยวกับตัวคูณและผลคูณข้างต้น
วิธีทำ ข้อนี้อยากให้ทำเองก่อนอย่าพึ่งดูเฉลยนะครับ เพราะเหมือนจะยากแต่จริงๆแล้วไม่ยากต้องสังเกตดีๆครับ จะเห็นว่า
\begin{array}{lcl}37\times 3&=&111\\37\times 3\times 2&=&222\\37\times 3\times 3&=&333\\37\times 3\times 4&=&444\\37\times 3\times 5&=&555\\37\times 3\times 6&=&666\end{array}
2) ใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยเพื่อหาตัวคูณที่ได้ผลคูณเป็น 555,666,777,888,999
วิธีทำ จากการให้เหตุผลแบบอุปนัยจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}37\times 3\times 5&=&555\\37\times 3\times 6&=&666\\37\times 3\times 8&=&888\\37\times 3\times 9&=&999\end{array}
5. จากแบบสมการที่กำหนดให้ จงหาสมการถัดไปโดยใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยและตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบโดยวิธีการคำนวณ
1)
\begin{array}{lcl}(9\times 9)+7&=&88\\(98\times 9)+6&=&888\\(987\times 9)+5&=&8,888\\(9,876\times 9)+4&=&88,888\\\underline{Ans}\\(98,765\times 9)+3&=&888,888\end{array}
ตรวจสอบคำตอบโดยการคำนวณจะได้
\((98765\times 9)+3=888,888\) เป็นจริง
2)
\begin{array}{lcl}5(6)&=&6(6-1)\\5(6)+5(36)&=&6(36-1)\\5(6)+5(36)+5(216)&=&6(216-1)\\\underline{Ans}\\5(6)+5(36)+5(216)+5(1296)&=&6(1296-1)\end{array}
*** ข้อสังเกตในการทำข้อนี้คือ
\begin{array}{lcl}6^{1}&=&6\\6^{2}&=&36\\6^{3}&=&216\\6^{4}&=&1296\end{array}
ตรวจสอบคำตอบโดยการคำนวณจะได้
\begin{array}{lcl}5(6)+5(36)+5(216)+5(1296)&=&6(1296-1)\\7770&=&7770\end{array} เป็นจริง
6. จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยในการตรวจสอบข้อสรุปต่อไปนี้
1) ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนใดๆ จะหารด้วย 2 ลงตัวเสมอ
ตอบ อันนี้ไม่จริงครับ เพราะ ถ้าเราเอา \(1\times 3=3\) แน่นอน 3 หารด้วย 2 ไม่ลงตัวครับ
2) จำนวนนับใดๆ ที่มากกว่า 4 จะเขียนในรูปการบวกของจำนวนนับที่เรียงติดกันสองจำนวนหรือมากกว่าสองจำนวนได้เสมอ เช่น \(5=2+3,\quad 6=1+2+3,\quad 14=2+3+4+5\) เป็นต้น
ตอบ ไม่จริง เช่น \(8\) ไม่สามารถทำได้ ไม่เชื่อลองทำดู
\begin{array}{lcl}8&=&4+4\\8&=&5+3\\8&=&1+7\\8&=&2+6\end{array}
เห็นได้ชัดเลยว่าไม่สามารถแยกเป็นจำนวนที่เรียงติดกันสองจำนวนหรือมากว่าสองจำนวนบวกกันได้นะครับ
3) กำลังสองของจำนวนนับใดๆ จะเป็นจำนวนคู่เสมอ
ตอบ ไม่จริง เช่น \(3^{2}=9\) ( 9 ไม่ใช่จำนวนคู่)
สนับสนุนเว็บไซต์