ค้นหา

พาราโบลา ม.3

วันนี้(27 สิงหาคม 2556)ตรงกับวันอังคาร ใกล้จะสอบปลายภาคแล้ว ก็คิดว่าช่วงนี้เป็นช่วงที่นักเรียน

หลายคนคงกำลังอ่านหนังสืออยู่(จริงหรือเปล่าไม่แน่ใจ)เพื่อเตรียมตัวสอบปลายภาคกัน โดยเฉพาะนักเรียน ม.3 คงต้องออกแรงเยอะหน่อยเพราะเป็นปีสุดท้ายของ ม.ต้น แล้ว สำหรับผม Mr.mathpaper.net ก็เอาใจช่วยทุกคนคับ ขอให้สอบผ่านสอบได้คะแนนกันเยอะๆวันนี้ จริงๆแล้วก็ไม่ว่างหรอกน่ะ แต่เห็นหลายคนบอกว่าเรื่อง พาราโบลา ม.3 นี้ยาก ก็เลยอยากเขียนบทความเพื่อ ให้ทุกคนได้อ่าน เป็นบทความตามสไตล์ ของ

 

ผมน่ะ บางคนไม่ชอบอ่านสไตล์ทื่่ผมเขียนอาจจะอ่านแล้วไม่รู้เรื่อง อันนี้ก็ไม่ว่ากัน ส่วนใครที่อ่านแล้วชอบก็อย่าลืมให้กำลังใจกันด้วยน่ะคับ  เรามาเริ่มเลยดีกว่าคับ

พาราโบลา พาราโบลาคือ อะไร ใครรู้บ้าง  พาราโบลา มันก็คือเส้นโค้งคับ  คงไม่มีใครไม่รู้จักเส้นโค้ง เนอะ ตัวอย่างเช่น เวลาเราโยนลูกบอล ขึ้นไปกลางอากาศ วิถีการเดินทางของลูกบอล ก็จะค่อยๆขึ้นและก็ตกลงมาวิถีการเดินทางของมันจะเป็นเส้นโค้ง ไอ้โค้งๆนั้นแหล่ะ เรี่ยกว่า พาราโบลา ถ้ายังมองไม่เห็นภาพมาดูตัวอย่างของพาราโบลา และส่วนประกอบต่างๆของพาราโบลากันคับ...

ใน เนื้อหาพาราโบลา ม.3 นี้ จุดประสงค์หลักหรือสิ่งที่ต้องการให้เกิดกับผู้เรียนหลังจากเรียนจบแล้วคือ

  1. นักเรียนสามารถบอกได้ว่า สมการพาราโบลาที่กำหนดให้นั้น เป็นพาราโบลาคว่ำ หรือว่า พาราโบลาหงาย
  2. นักเรียนสามารถบอกได้ว่า จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาคืออะไร(จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดบางทีอาจจะเรียกว่าจุดยอดก็ได้)
  3. นักเรียนสามารถบอกได้ว่าแกนสมมาตร คือ แกนอะไรหรือว่าเส้นตรงอะไรเป็นแกนสมมาตร
  4. นักเรียนสามารถวาดกราฟของพาราโบลาได้

มาต่อกันเลยครับ

พาราโบลา มันมีสมการประจำตัวของมันคือ

\(y=ax^{2}+bx+c\) นี้คือสมการพาราโบลา คือถ้านำสมการนี้ไปพลอตกราฟก็จะได้กราฟเป็นเส้นโค้งคับ

แต่สมการนี้ มันบอกอะไรเราไม่ได้เลย คือบอกไม่ได้ว่ามันเป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย จุดสูงสุด จุดต่ำสุดอยู่ที่ไหน บอกไม่ได้เลย เขาจึงจัดรูปสมการนี้ใหม่คือ จัดให้อยู่ในรูปแบบของ

\(y=a(x-h)^{2}+k\)

โดยถัาจัดให้อยู่ในรูปนี้แล้วจะบอกได้เลยว่า เป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย  บอกจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดได้ บอกแกนสมมาตรได้ด้วย  อ่านมาถึงตรงนี้หลายคนคงเกิดคำถามขึ้นมาในใจ แล้วดูยังไงหล่ะ ว่าคว่ำหรือหงาย จุดต่ำสุด จุดสูงสุด อยู่ที่ไหน  เราไปดูกันเลยคับว่าดูยังไง

ค่า a เป็นค่าที่บ่งบอกว่า พาราโบลานั้นเป็นพาราโบลา คว่ำหรือว่าหงาย คับ

ถ้า a>0 คือเป็นจำนวนจริงบวก พาราโบลานั้นเป็นพาราโบลาหงายคับ เช่น \(y=4(x-3)^{2}+2\)  ค่า a=4 เป็นพาราโบลาหงาย

ถ้า a<0 คือเป็นจำนวนจริงลบ พาราโบลานั้นเป็นพาราโบหลายคว่ำคับ เช่น \(y=-4(x-3)^{2}+2\) ค่า a=-4 เป็นพาราโบลาคว่ำ แน่นอน

หลายคนคงไม่คำถามเกิดขึ้นในใจว่า แล้วถ้า a=0 หล่ะ มันจะเป็นพาราโบลาอะไร คำตอบคือ มันไม่เป็นพาราโบลาคับ มันจะไม่ใช่เส้นโค้งแล้ว  แล้วมันจะเป็นเส้นอะไร ไม่บอก ฝากให้ไปคิดคับ

ค่า h กับ ค่า k เป็นค่าที่บอกว่าจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาอยู่ในตำแหน่งหรือพิกัดอะไร

ยกตัวอย่างเช่น  พาราโบลา ที่มีสมการ \(y=2(x-3)^{2}+5\) จากสมการพาราโบลานี้ ค่า a=2 ค่า h=3 และค่า k=5  ดังนั้นพาราโบลานี้เป็นพาราโบลาหงาย มีจุดต่ำสุดอยู่ที่ตำแหน่งหรือพิกัด (3,5)

(ไอ้จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลานั้นมีชื่อเรียกหลายชื่อมากคับ รู้สึกใน ม.3 นี้จะเรียกว่าจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุด แล้วแต่พาราโบลา ถ้าพาราโบลาหงายก็จะเรียกจุดนี้ว่าจุดต่ำสุด แต่ถ้าเป็นพาราโบลาคว่ำจะเรียกจุดนี้ว่าจุดสูงสุด  แต่ถ้าใน ม.4 จะเรียกจุดนี้ว่า จุดยอดหรือจุดวกกลับ  คับ )

ส่วนวิธีการดูแกนสมมาตร ก็ไม่ยากคับ ให้ดูที่ค่าของ h คับ เช่นจากสมการพาราโบลาที่ยกตัวอย่างให้ดูข้างบนเมื่่อกี้  h=3 แสดงว่าแกนสมมาตรคือ เส้นตรง x=3

แต่ถ้าสมการของพาราโบลา เป็นแบบนี้ \(y=-3(x-2)^{2}+5\) จะเห็นว่าค่า ของ h=2 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา นี้คือ เส้นตรง x=2 คับ

ถ้า \(y=5(x-9)^{2}+1\) จะเห็นว่าค่าของ h=9 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา นี้คือ เส้นตรง x=9

ถ้า \(y=5(x+9)^{2}+1\) จเห็นว่าค่าของ h=-9 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา คือ เส้นตรง x=-9

ถ้า \(y=10(x-12)^{2}+14\)จะเห็นว่าค่าของ h=12 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลานี้ คือ เส้นตรง x=12

ถ้า \(y=10(x+12)^{2}+14\) จะเห็นว่าค่าของ h=-12 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลานี้คือ เส้นตรง x=-12

ต่อไปนี้ผมขอยกตัวอย่าง การทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรื่องพาราโบลา ให้ดูน่ะคับ ขอให้ทุกคนตั้งอ่านน่ะคับ ถ้าเข้าใจหลักการมันแล้วไม่ยากคับ ง่ายจริงๆ คับ เริ่มกันเลย

1.จงพิจารณาสมการ \(y=2x^{2}-4x+5\)  แล้วตอบคำถามต่อไปนี้

1) กราฟเป็นพาราโบลา คว่ำหรือพาราโบลาหงาย

2) จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป็นจุดใด

3) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

เริ่มทำกันเลยคับ

จากสมการพาราโบลา คือ \(y=2x^{2}-4x+5\)  จัดสมการนี้ให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\)

จาก

\(y=2x^{2}-4x+5\)

\(y=(2x^{2}-4x)+5\) จุดกลุ่มแล้วดึงตัวร่วม ตัวแปรไม่ต้องดึงออกน่ะ

\(y=2(x^{2}-2x)+5\)

\(y=2(x^{2}-2x(1)+1^{2}-1^{2})+5\) ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์จ๊ะ บรรทัดนี้ อ่านดีๆน่ะ เขียนอธิบายยากต้องค่อยๆอ่าน

\(y=2(x^{2}-2x(1)+1^{2})-2(1)^{2}+5\)

\(y=2(x-1)^{2}-2+5\)

\(y=2(x-1)^{2}+3\) นำสมการที่ได้นี้ไปเที่ยบกับสมการ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้ว่า

a=2  ซึ่ง ค่า a เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น พาราโบลานี้เป็นพาราโบลา หงาย

h=1,k=3  ดังนั้นพาราโบลานี้มีจุดต่ำสดุอยู่ที่พิกัด (1,3) มันเป็นพาราโบลาหงายน่ะไม่มีจุดสูงสุดมีเฉพาะจุดต่ำสุดน่ะ

เนื่องจาก h=1 ดังนั้น เส้นตรง x=1 เป็นแกนสมมาตร

ที่ผมยกตัวอย่างไปข้างบนอาจจะยากไปสำหรับหลายๆคน ถ้าอ่านแล้วยังไม่เข้าใจ ลองอ่านนี่ดูน่ะคับจะพยายามเขียนน่ะ

สมการพาราโบลาคือสมการที่อยู่ในรูปของ \(y=ax^{2}+bx+c\) และเขานำสมการนี้แหล่ะมาจัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จัดให้อยู่ในรูปนี้เพราะจะง่ายต่อการดูว่า พาราโบลามันหงายหรือคว่ำ จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่จุดใด แกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร

โดยที่

ค่าของ a จะเป็นตัวที่บอกว่าพาราโบลานั้นเป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย คือ

ถ้า a เป็นจำนวนบวก พาราโบลานั้นจะเป็นพาราโบลาหงาย

แต่ถ้า a เป็นจำนวนลบ พาราโบลานั้นจะเป็นพาราโบลาคว่ำ

ส่วน คู่อันดับ (h,k) เป็นค่าที่บอกว่าพาราโบลานั้นมีจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดอยู่ที่จุดไหน

เช่น \(y=4(x-3)^{2}+6\)  ค่า a=4 แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย ค่า h=3 และค่า k=6 ดั้งนั้นพาราโบลานี้มีจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (3,6) คับ

ค่าของ h เป็นตัวที่บอกว่าแกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร

เช่นจากตัวอย่างข้างต้น ค่า h=3 แสดงว่าแกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3

มาดูตัวอย่างกันคับ

1. จากสมการพาราโบลาที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ จงตอบคำถามต่อไปนี้

  • เป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย
  • จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่จุดใด
  • แกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร

1.1 \(y=2(x-1)^{2}+3\)

วิธีทำ จากโจทย์ \(y=2(x-1)^{2}+3\)

นำสมการจากโจทย์มาเปรียบเทียบกับสมการ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้ว่า

a=2 (เป็นจำนวนบวก) ,h=1,k=3 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

มีจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (1,3)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=1

1.2\(y=-3(x-4)^{2}+8\)

วิธีทำ จากโจทย์  \(y=-3(x-4)^{2}+8\)

นำสมการจากโจทย์มาเปรียบเทียบกับสมการ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้ว่า

a=-3 (เป็นจำนวนลบ) ,h=4,k=8  จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาคว่ำ

มีจุดสูงสุดอยู่ที่จุด (4,8)

แกนสมมาตรคือ เส้นตรง x=4

1.3 \(y=-9(x+3)^{2}-4\)

วิธีทำ จากโจทย์ \(y=-9(x+3)^{2}-4\) สังเกตให้ดีๆน่ะโจทย์ข้อนี้มันยังไม่อยู่ในรูปแบบของ \(y=a(x-h)^{2}+k\) เพราะว่าหลังตัว x ต้องเป็นเครืองหมายลบ และ ข้างหน้า ตัว k ต้องเป็นเครืองหมายบวก ดังนั้นเราต้องจัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ

\(y=a(x-h)^{2}+k\)

จาก\(y=-9(x+3)^{2}-4\) จัดรูปใหม่

\(y=-9(x-(-3))^{2}+(-4)\)  ดังนั้นเราจึงได้ว่า a=-9 ,h=-3 , k=-4

เป็นพาราโบลาคว่ำ

มีสูงสุดอยู่ที่จุด(-3,-4)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-3

1.4 \(y=3x^{2}\)

วิธีทำ จากโจทย์คือ \(y=3x^{2}\) จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้

\(y=a(x-h)^{2}+k\)

\(y=3x^{2}\)

\(y=3(x-0)^{2}+0\) ลองเทียบกับสมการ\(y=a(x-h)^{2}+k\)จะได้ a=3 ,h=0 ,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

จุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (0,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=0 หรือ แกน Y นั่นเอง

1.5 \(y=-\frac{2}{3}x^{2}\)

วิธีทำ จากโจทย์คือ \(y=-\frac{2}{3}x^{2}\) จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ\(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้

\(y=a(x-h)^{2}+k\)

\(y=-\frac{2}{3}x^{2}\)

\(y=-\frac{2}{3}(x-0)^{2}+0\) ลองเที่ยบกับสมการ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้ \(a=-\frac{2}{3}\) ,h=0 ,k=0  จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาคว่ำ

จุดสูงสุดอยู่ที่ (0,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=0 หรือ แกน Y นั่นเอง

1.6 \(y=(x-3)^{2}\)

วิธีทำ จากโจทย์คือ \(y=(x-3)^{2}\) จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้

\(y=a(x-h)^{2}+k\)

\(y=(x-3)^{2}\)

\(y=(x-3)^{2}+0\) ลองเทียบกับสมการ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้ a=1,h=3,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

จุดต่ำสุดคือจุด (3,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3

1.7 \(y=-6(x-3)^{2}\)

วิธีทำ จากโจทย์คือ \(y=-6(x-3)^{2}\) จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\)จะได้

\(y=a(x-h)^{2}+k\)

\(y=-6(x-3)^{2}+k\)

\(y=-6(x-3)^{2}+0\) ลองเที่บบกับสมการ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้ a=-6 ,h=3,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาคว่ำ

จุดสูงสุดอยู่ที่จุด (3,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3

1.8 \(y=12(x+5)^{2}\)

วิธีทำ จากโจทย์คือ \(y=12(x+5)^{2}\) จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\)จะได้

\(y=a(x-h)^{2}+k\)

\(y=12(x+5)^{2}\)

\(y=12(x-(-5))^{2}+0\) ลองเทียบกับสมการ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้ a=12,h=-5,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

มีจุดต่ำสุดที่จุด(-5,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-5

1.9 \(y=x^{2}+6x+8\)

วิธีทำ จากโจทย์ \(y=x^{2}+6x+8\) จะเห็นว่า สมการพาราโบลาข้อนี้อยู่ในรูปของสมการ \(y=ax^{2}+bx+c\) ดังนั้นเราต้องจัดสมการให้อยู่ในรูปของ \(y=a(x-h)^{2}+k\) ก่อน

จาก \(y=x^{2}+6x+8\)

\(y=(x^{2}+2x(3)+3^{2}-(3)^{2})+8\)

\(y=(x+3)^{2}-(3)^{2}+8\)

\(y=(x+3)^{2}-1\)

\(y=(x-(-3))^{2}+(-1)\) ลองเทียบกับสมการนี้คับ \(y=a(x-h)^{2}+k\) จะได้ว่า

a=1,h=-3,k=-1  จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

จุดต่ำสุดอยู่ที่จุด(-3,-1)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-3

ค่าต่ำสุดคือ y=-1

ข้อ 1.9 จะเห็นว่า สมการพาราโบลา อยู่ในรูปของสมการ \(y=ax^{2}+bx+c\) ในการที่จะหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดค่อนข้างยากเพราะต้องจัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูป \(y=a(x-h)^{2}+k\) แต่มีวิธีที่ง่าย คือวิธีการใช้สูตรคับเราสามารถใช้สูตรในการหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาได้ดังนี้ ตามลิงค์นี้ไปเลยคับ  การหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com