ค้นหา

ระบบสมการ ม.3 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

วันนี้มีอารมณ์ศิลปิน ฟังเพลงไปด้วย เขียนบทความไปด้วย และหิวข้าว บอกตามตรงขี้เกียจออกไปซื้อข้าว

กิน ขี้เกียจมากท้องร้องบอกว่าหิวข้าว แต่ขาบอกว่าหิวก็หิวไปฉันขี้เกียจเดิน  แต่สุดท้ายแล้ว ขาก็ต้องยอมจำนนต่อการหิวของท้อง เพราะอย่างว่าแหล่ะครับ กองทัพต้องเดินด้วยท้อง ไม่ใช่เดินด้วยขาสักหน่อย โอ้โหประโยคนี้คมบาดใจมาก คิดได้ไงเนียะ 555 ก่อนจะเขียนบทความขอนอกเรื่องหน่อยแล้วกันเขียนอะไรไปเรื่อยเปื่อยก่อน ต้องบิ้วอารมณ์ก่อน พ่อศิลปินใหญ่ ทำอะไรต้องทำด้วยใจบวกกับอารมณ์ ผสมกับความบ้า  ไปซื้อข้าวกินก่อนน่ะคับ เดียวกลับมาเขียนต่อๆๆ

เรื่องระบบสมการนี้ เป็นเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้นม.3 ในเทอม 2 เรื่องนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับการแก้ระบสมการเพื่อคำตอบของระบบสมการ ซึ่งในการหาคำตอบของระบบสมการนั้น มีอยู่สองวิธีหลักๆ น่ะ บางคนอาจจะบอกว่ามีหลายวิธีแต่สำหรับผมแล้ว 2 วิธีก็เพียงพอแล้วสำหรับในการหาคำตอบของระบบสมการในระดับชั้น ม.3 นี้

วิธีที่ 1 คือ การแก้ระบบสมการโดยการแทนค่าด้วยตัวแปร

วิธีที่ 2 คือ การแก้ระบบสมการโดยการกำจัดตัวแปร

พยายามอ่านแล้วจับคอนเซปต์มันให้ได้แล้วกันคับ มันไม่ได้ยากเลย จับจุดให้ได้น่ะ ผมจะพยายามเขียนให้ละเอียดที่สุดเริ่มกันเลยดีกว่า

เดี๋ยวก่อน ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3 เล่มสอง ของ สสวท. จะเห็นว่าคำอยู่สองคำที่อยากจะแนะนำให้พวกเราคนอ่านบทความนี้ได้รู้จัก ก็คือ

1. สมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นคือ สมการที่มีรูปแบบทั่วไปดังนี้ \(Ax+By+C=0\) 

ยกตัวอย่างเช่น

\(5x+4y+3=0\)

\(4x-7y-2=0\)

\(5x+2=4y\)

\(8x=2\)

\(4y=16\)

พูดง่ายๆวิธีการดูว่าสมการนั้นๆเป็นสมการเชิงเส้นหรือเปล่าก็คือดูที่เลขชี้กำลังของตัวแปร x หรือ ตัวแปร y เลขชี้กำลังต้องเป็น 1 เท่านั้นคับ

2. สมการดีกรีสอง

สมการดีกรีสองคือสมการที่มีรูปแบบทั่วไปคือ \(Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0\)

ตัวอย่างเช่น

\(3x^{2}+2y^{2}+8xy+3x+9y+2=0\)

\(3x^{2}+4y^{2}+3x=0\)

\(3y^{2}+x^{2}=12\)

\(y^{2}+3=0\)

พูดง่ายๆวิธีการดูว่าสมการนั้นๆเป็นสมการดีกรีสองหรือเปล่าให้ดูที่เลขชี้กำลังของ x หรือ y คือเลขชี้กำลังสูงสุดของ x หรือ y ต้องเป็นสองคับ

จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

1. \(x+y=2\)

\(y-x^{2}=0\)

วิธีทำ ขั้นตอนแรกเราต้องตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อน เพื่อสะดวกในการอ้างอิงไปใช้งาน

\(x+y=2 \)     ชื่อว่าสมการ..............(1)

\(y-x^{2}=0\)    ชื่อว่าสมการ...........(2)

จากสมการที่ (1) คือ \(x+y=2\)    ทำการโมดิฟายปรับเปลี่ยนย้ายข้างสมการที่ (1) นิดหนึ่งจะได้

\(y=2-x\)

ตอนนี้เรารู้ค่าของ y คือ y มีค่าเท่ากับ 2-x

ต่อไปเราก็ แทน y ด้วย 2-x ในสมการที่ (2)

สมการที่ (2) คือสมการนี้ \(y-x^{2}=0\)    ตรงไหนมี y เราก็จัดการเปลี่ยนให้เป็น 2-x ก็จะได้

\(2-x-x^{2}=0\)     ต่อไปจัดรูปสมการใหม่นิสหนึ่ง จัดโดยเรียงจากพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดไปหาต่ำสุดก็จะได้

\(-x^{2}-x+2=0\)     จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์หน้าเอ็กซ์ยกกำลังสองเป็นจำนวนลบ ซึ่งผมไม่ชอบเลยลบเนียะ ผมอยากเปลี่ยนให้มันเป็นบวก ผมก็เลยเอา (-1) คูณเข้าทั้งสองฝั่งของสมการ ก็จะได้

\((-1)(-x^{2}-x+2)=0(-1)\)

\(x^{2}+x-2=0\)

ขั้นตอนต่อไปเราก็ต้องใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบมาช่วยในแยกตัวประกอบของ \(x^{2}+x-2=0\)

ต้องแยกออกมาให้ได้น่ะคับ  ก็จะได้

\(x^{2}+x-2=0\)

\((x+2)(x-1)=0\)      จากตรงนี้จะเห็นว่า (x+2) คูณกับ (x-1) แล้วมีค่าเท่ากับ 0  สองพจน์คูณกันแล้วได้ 0 ก็หมายความว่า

\(x+2=0\)   หรือ   \(x-1=0\)

จาก \(x+2=0\)   จะได้

\(x=0-2\)

\(x=-2\)

และจาก \(x-1=0\)   จะได้

\(x=0+1\)

\(x=1\)

นั่นคือตอนนี้ เราได้ค่า x สองค่า คือ x=-2 และ x=1  ต่อไปหาค่า y คับ  เขียนมาถึงตรงนี้ความรู้สึกมันบอกตัวเองว่าเขียนยืดยาวเกินไปกลัวเหลือเกินว่า จะอ่านแล้วไม่เข้าใจกัน

ต่อไปหาค่า y น่ะ

แทน x ด้วย -2 ในสมการที่ (1) หรือ สมการที่ (2) ก็ได้น่ะเลือกเอาสมการที่ง่ายๆ ผมเลือกแทนลงไปในสมการที่ (1) จะได้

\(-2+y=2\)

\(y=2+2\)

\(y=4\)

นั่น ถ้า x=-2 จะได้ y=4

ต่อไป แทน  x ด้วย 1 ในสมการที่ (1)  จะได้

\(1+y=2\)

\(y=2-1\)

\(y=1\)

นั่นคือ ถ้า x=1  จะได้ y=1

ตอบ คำตอบของระบบสมการนี้คือ (-2,4) และ (1,1)

วันนี้เอาแค่นี้ก่อนน่ะคับ พยายามอ่านแล้วจับคอนเซปต์มันให้ได้น่ะคับ สำหรับข้อ 1 ผมแก้ระบบสมการโดยการแทนค่าด้วยตัวแปรน่ะคับ คือ แทน y ด้วย 2-x  พอแทนเสร็จแล้วก็จะได้ค่า x  แล้วเราก็นำค่า x ที่เราได้ไปแทนค่ากลับอีกทีในสมการที่ (1) หรือ (2) เพื่อหาค่า y ออกมาอีกทีหนึ่งคับ ...โชคดีคับ เดี๋ยวข้อ 2 จะมาเขียนต่อพรุ่งนี้คับ

ต่อไปเริ่มทำข้อสองน่ะคับ

2. \(x^{2}-y=0\)

\(2x-y=1\)

วิธีทำ ตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนน่ะคับ

\(x^{2}-y=0\)    ชื่อว่าสมการที่ (1)

\(2x-y=1\)    ชื่อว่าสมการที่ (2)

ข้อสังเกตน่ะคับ จากสมการที่ (1) และ (2) มีพจน์ที่เหมือนกันคือ -y  ดังนั้นถ้าจับสมการที่ (1) ลบ สมการที่ (2) ทั้งสองพจน์นี้ก็จะหักล้างกันเป็นศูนย์นั่นคือ ตัวแปร y หมดไป เรียกว่า การแก้ระบบสมการโดยการกำจัดตัวแปรนั่นเองคับ เริ่มเลยน่ะ

นำสมการที่ (1) -  สมการที่ (2)  จะได้

\((x^{2}-y)-(2x-y)=0-1\)       นำฝั่งซ้ายของสมการที่(1)ลบกับฝั่งซ้ายของสมการที่(2) และ นำฝั่งขวาของสมการที่(1)ลบกับฝั่งขวาของสมการที่ (2) น่ะคับ ลบกันเลยคับ

\(x^{2}-y-2x+y=-1\)     เอาเครื่องหมายลบกระจายเข้าไปข้างในวงเล็บคับและจากบรรทัดนี้จะเห็นว่า -y+y มีค่าเท่ากับ 0 นั่นคือ ตัวแปร y หายไปหรือว่าหมดไป ต่อไปก็จะได้

\(x^{2}-2x=-1\)     จุดรูปสมการใหม่นิดหนึ่ง คือทำให้ฝั่งขวาของสมการเป็น 0  ก็จะได้

\(x^{2}-2x+1=0\)      ต่อไปก็ทำการแยกตัวประกอบคับ แยกเป็นสองวงเล็บคูณกันคับเคยเรียนมาแล้วน่ะไม่ขออธิบายตรงนี้ ก็จะได้

\((x-1)(x-1)=0\)      จากบรรทัดนี้ก็จะได้

\(x-1=0\)   แก้สมการหาค่าของ x ต่อจะได้

\(x=0+1\)

\(x=1\)

นั่นคือ เราได้ค่าของ x แล้ว คือ x=1  ต่อไปหาค่า y คับ

แทน x ด้วย 1 ในสมการที่ (2) จะได้

\(2(1)-y=1\)

\(2-y=1\)

\(-y=1-2\)

\(-y=-1\)

นำ (-1) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการจะได้

\((-1)(-y)=(-1)(-1)\)

\(y=1\)

นั่นคือ ถ้า x=1 จะได้ y=1 เช่นกัน

ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (1,1)

3.\(x^{2}+y^{2}=25\)

\(3x-4y=0\)

วิธีทำ ตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนคับ

\(x^{2}+y^{2}=25\)     ชื่อว่าสมการที่ (1)

\(3x-4y=0\)     ชื่อว่าสมการที่ (2)

ข้อนี้จะเห็นว่าทั้งสองสมการ ไม่มีพจน์ที่เหมือนกันเลย ฉนั้นใช้วิธีการกำจัดตัวแปรไม่ได้เลย แต่ใช้วิธีการแทนค่าได้คับ

จากสมการที่ (2) คือ

\(3x-4y=0\)    ทำการย้ายข้างจัดสมการนิดหนึ่งคับ ก็จะได้

\(-4y=0-3x\)

\(-4y=-3x\)

\(y=\frac{-3x}{-4}\)

\(y=\frac{3x}{4}\)    นั่นคือตอนนี้เรารู้ค่าของ y แล้วว่ามีค่าเท่ากับ \(\frac{3x}{4}\)

ต่อไปแทน y ด้วย \(\frac{3x}{4}\)    ในสมการที่ (1) จะได้

\(x^{2}+\left(\frac{3x}{4}\right)^{2}=25\)

\(x^{2}+\frac{9x^{2}}{16}=25\)

\(\frac{16x^{2}+9x^{2}}{16}=25\)

\(\frac{25x^{2}}{16}=25\)

\(25x^{2}=25\times 16\)

\(x^{2}=\frac{25\times 16}{25}\)   ตัดทอนเอาเองน่ะ

\(x^{2}=16\)    อะไรเอ่ยยกกำลังสองแล้วได้ 16

\(x=\pm 4\)

ตอนนี้เราได้ค่า x สองค่า คือ x=4 และ x=-4  ต่อไปหาค่า y คับ

แทน x ด้วย 4 ในสมการที่ (2) จะได้

\(3(4)-4y=0\)

\(12-4y=0\)

\(-4y=-12\)

\(y=\frac{-12}{-4}\)

\(y=3\)

นั่นคือ ถ้า x=4  จะได้ y=3

แทน x ด้วย -4 จะได้

\(3(-4)-4y=0\)

\(-12-4y=0\)

\(-4y=12\)

\(y=\frac{12}{-4}\)

\(y=-3\)

นั่นคือ x=-4 จะได้ y=-3

ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (4,3) และ (-4,-3)   แก้ไขให้แล้วน่ะคับข้อ 3

จากที่ผมยกตัวอย่างให้ดูข้างต้นเป็นการแก้ระบบสมการซึ่งเป็นระบบสมการที่ประกอบไปด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

ต่อไปที่จะยกตัวอย่างให้ดูเป็นการแก้ระบบสมการซึ่งเป็นระบบสมการที่ประกอบไปด้วยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ ไม่ว่าระบบสมการจะประกอบไปด้วยสมการอะไรก็ตามวิธีในการแก้ระบบสมการก็ใช้วิธีการเดิมๆ คือ

1.วิธีการกำจัดตัวแปร

2.วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปร

หากเราอ่านแล้วพยายามทำความเข้าใจไปด้วยจะเห็นว่าเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ง่ายมากเลยคับ และสนุกและท้าทาย พยายามทำเองให้ได้คับ ไม่ต้องกลัวผิดน่ะ ทำตามความเข้าใจเรา...ไม่ต้องกลัว...ต้องมั่นใจว่าเราทำตามหลักการแล้ว...ยังไงก็ต้องถูกแน่นอน... ผมจะขอยกตัวอย่างให้พวกเราได้อ่านและทำความเข้าใจกันน่ะคับ...

1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

1.1 \(x^{2}+y^{2}=4\)

\(4x^{2}+9x^{2}=36\)

วิธีทำ แน่นอนคับต้องตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนคับ

\(x^{2}+y^{2}=4\)     สมการที่ (1)

\(4x^{2}+9x^{2}=36\)      สมการที่ (2)

ผมจะเอา 4  คูณเข้ากับสมการที่ (1) น่ะ ทำไมผมถึงเอา 4 คูณเข้าผมจะยังไม่เฉลยอยากให้คิดตามว่าทำไม ตัวเลขมีมากมายทำไมต้องเอา 4 คูณเข้าด้วย

นำ 4 \(\times \) (1)    จะได้

\(4(x^{2}+y^{2})=4(4)\)     เวลาคูณต้องคูณทั้งสองข้างของสมการน่ะ  คูณเข้าเลยน่ะจะได้

\(4x^{2}+4y^{2}=16\)       ตั้งชื่อให้ใหม่ชื่อว่าสมการที่ (3)

จะเห็นว่าสมการที่ (3) กับสมการที่ (2) มีพจน์ที่เหมือนกันคือ \(4x^{2}\)   ที่นี้รู้หรือยังว่าทำไมผมถึง เอา 4 คูณเข้ากับสมการที่ (2) เพราะว่าผมจะทำให้มีพจน์ที่เหมือนกัน พอมีพจน์ที่เหมือนกันแล้วผมจะจับสมการทั้งสองลบกัน พอลบกันพจน์ที่เหมือนกันลบกันก็จะได้เป็น 0 นั่นคือเราสามารถกำจัดตัวแปรออกได้ มาดูวิธีการทำต่อกันดีกว่าคับ...

นำ สมการที่ (2) - สมการที่ (3)   จะได้

\((4x^{2}+9y^{2})-(4x^{2}+4y^{2})=36-16\)       

ตรงนี้ไม่งงน่ะ คือนำฝั่งซ้ายของของสมการที่(2)ลบกับฝั่งซ้ายของสมการที่(3) และนำฝั่งขวาของสมการที่(2)ลบกับฝั่งขวาของสมการที่(3) จะได้

\(4x^{2}+9y^{2}-4x^{2}-4y^{2}=20\)         เอาลบคูณเข้าไปข้างในวงเล็บน่ะ  จะเห็นว่าบรรทัดนี้ สี่เอ็กซ์กำลังสองลบกับสี่เอ็กซ์กำลังสองเหลือศูนย์นั่นคือตัวแปรเอ็กซ์หายไป ต่อไปเราก็แก้สมการหาค่าของตัวแปรวายได้

\( 9y^{2}-4y^{2}=20\)

\(5y^{2}=20\)
\(y^{2}=\frac{20}{5}\)

\(y^{2}=4\)

\(y=\sqrt{4}\)

\(y=\pm 2\)

นั่นคือได้ค่าวายสองค่าคือ y=2 และ y=-2  ต่อไปหาค่า x  คับ ไม่ยากแล้ว....

แทน y ด้วย 2 ในสมการที่ (1) จะได้ [แทนในสมการไหนก็ได้น่ะ (1)หรือ(2) หรือ (3) ก็ได้เลือกเอาสมการที่ไม่ซับซ้อนแล้วกัน]

\(x^{2}+2^{2}=4\)

\(x^{2}+4=4\)

\(x^{2}=4-4\)

\(x^{2}=0\)

\(x=0\)

นั่นคือ ถ้า y=2 จะได้ x=0  น่ะ

แทน y ด้วย -2 ในสมการที่ (1) จะได้

\(x^{2}+(-2)^{2}=4\)

\(x^{2}+4=4\)

\(x^{2}=4-4\)

\(x^{2}=0\)

\(x=0\)

นั่นคือ ถ้า y=-2 จะได้ x=0

ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (0,2)และ(0,-2)

เป็นไงบ้างคับ ไม่ยากน่ะผมว่า ง่ายๆคับ พยายามอ่านทำความเข้าใจ จับจุดให้ได้น่ะ

1.2 \(3x^{2}+y^{1}=15\)

\(11x^{2}-2y^{2}=4\)

วิธีทำ

\(3x^{2}+y^{2}=15\)       สมการที่ (1)

\(11x^{2}-2y^{2}=4\)       สมการที่ (2)

นำ 2 \(\times \)    สมการที่ (1) จะได้

\(2(3x^{2}+y^{2})=2(15)\)

\(6x^{2}+2y^{2}=30\)     ตั้งชื่อว่าสมการที่ (3)

จะเห็นว่าสมการที่ (2) กับ สมการที่ (3) มีพจน์

ถ้าขี้เกียจอ่านดูวิดีโอก็ได้น่ะคับ

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com