ค้นหา

การแก้สมการเศษส่วนพหุนาม

การแก้สมการนี้ถือเป็นเรื่องยอดฮิตเลยสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์หัวทุกหัวข้อที่เรียนล้วนแล้วต้องแก้

สมการ ส่วนใหญ่ก็จะจบลงด้วยการแก้สมการ หรือมีการแก้สมการมีเกี่ยวข้อง ฉนั้นพวกเราผู้ซึ้งเป็นนักเรียนต้องฝึกการแก้สมการให้เป็น ส่วนเรื่องที่จะกล่าวต่อไปนี้เป็นเรื่องของการแก้สมการเศษส่วนพหุนาม ไม่ยากหลักกการก็เหมือนกับการแก้สมการทั่วๆไปแต่เป็นเศษส่วนก็เท่านั้นเอง มาดูก็ทำเลยครับ

จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. \(\frac{9x}{2}-\frac{3x}{5}=13\)

ข้อนี้ ไม่ยากถ้าลองวิเคราะห์ดูจะเห็นเศษส่วนพหุนามข้อนี้ยังลบกันไม่ได้เพราะตัวส่วนไม่เท่ากัน ต้องทำส่วนให้เท่ากันก่อน ค.ร.น.ของ 2 กับ 5 คือ 10 นั่นคือต้องทำส่วนให้เป็น 10 นั่้นเองเริ่มเลย

\(\frac{9x\times 5}{2\times 5}-\frac{3x\times 2}{5\times 2}=13\)

\(\frac{45x-6x}{10}=13\) 

\(39x=13\times 10\)

\(x=\frac{130}{39}\)

\(x=\frac{10}{3}\)

ต้องตรวจคำตอบด้วยนะครับ แต่ให้เราลองตรวจตำตอบเองนะครับ


2. \(\frac{3}{3n^{2}}+\frac{5}{2n}=\frac{3}{2n}\)

การทำข้อนี้ เราจะทำเหมือนข้อ 1 ที่ผ่านมาก็ได้คือทำส่วนให้เท่ากันหรือจะใช้วิธีการคูณไขว้ก็ได้น่ะ

จะลองทำแบบคูณไขว้ให้ดูครับ เพราะบางทีคูณไขว้จะเร็วกว่าการหา ค.ร.น  แต่ก่อนที่จะคูณไขว้จะเห็นว่ามีบางตัวตัดทอนกันได้ก็ตัดทอนก่อนครับ

\(\frac{1}{n^{2}}+\frac{5}{2n}=\frac{3}{2n}\)

\(\frac{(1\times 2n )+(5\times n^{2})}{n^{2}\times 2n}=\frac{3}{2n}\)

\(\frac{2n+5n^{2}}{2n^{3}}=\frac{3}{2n}\)

\(2n+5n^{2}=\frac{3}{2n}\times 2n^{3}\)

\(2n+5n^{2}=3n^{2}\)

\(5n^{2}-3n^{2}+2n=0\)

\(2n^{2}+2n=0\)

\(2n(n+1)=0\)

จะได้

\(2n=0\)  หรือ \(n+1=0\)

\(n=0\)  หรือ  \(n=-1\)

จะเห็นว่า n=0 ไม่ได้เพราะจะทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ดังนั้น n=-1  


3. \(\frac{x}{5}=\frac{5}{x}\)

ข้อนี้ย้ายข้างไปคูณเลยครับ ก็จะได้

\(x\times x=5\times 5\)

\(x^{2}=25\)

\(x=\pm 5\)


4.  \(\frac{x-4}{x+1}=-\frac{2}{3}\)

ย้ายข้างไปคูณเลยครับ

\(3(x-4)=-2(x+1)\)

\(3x-12=-2x-2\)

\(3x+2x=-2+12\)

\(5x=10\)

\(x=\frac{10}{5}\)

\(x=2\)


5.  \(\frac{10}{x+4}-\frac{1}{x}=1\)

\(\frac{10}{x+4}=1+\frac{1}{x}\)

\(\frac{10}{x+4}=\frac{x+1}{x}\)

\(10x=(x+1)(x+4)\)

\(10x=x^{2}+5x+4\)

\(x^{2}+5x+4-10x=0\)

\(x^{2}-5x+4=0\)

\((x-4)(x-1)=0\)

\(x=4 ,  x=1\)


6.  \(\frac{2a-3}{2a-3}=\frac{a-1}{2a+3}\)

\(1=\frac{a-1}{2a+3}\)

\(2a+3=a-1\)

\(2a-a=-4\)

\(a=-4\)


7. \(\frac{4}{n-5}=\frac{4}{5-n}\)

ย้ายข้างเลยครับ

\(\frac{5-n}{n-5}=\frac{4}{4}\)

\(\frac{-(n-5)}{(n-5)}=1\)      \(\quad\)   ***note \(5-n=-(n-5)\)

\(-1=1\)  สมการนี้ไม่จริง ดังนั้นข้อนี้ไม่มีคำตอบ


8.  \(\frac{4x-3}{x-4}-\frac{2x}{3}=\frac{2x+5}{x-4}\)

จะเห็นว่ามีพจน์ที่มีส่วนเท่ากันดังนั้นย้าย พจน์ที่มีส่วนเท่ากันมาหากันเลยครับ

\(\frac{4x-3}{x-4}-\frac{(2x+5)}{x-4}=\frac{2x}{3}\)

\(\frac{4x-3-2x-5}{x-4}=\frac{2x}{3}\)

\(\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2x}{3}\)

\(3(2x-8)=(2x)(x-4)\)

\(6x-24=2x^{2}-8x\)

\(0=2x^{2}-8x-6x+24\)

\(2x^{2}-14x+24=0\) \(\quad\)  เอาสองหารทั้งสองข้างของสมการ

\(x^{2}-7x+12=0\)  

\((x-3)(x-4)=0\)

\(x=3 ,   x=4\)


9.  \(1+\frac{12}{y+1}=\frac{12}{y}\)

\(\frac{1\times (y+1)}{y+1}+\frac{12}{y+1}=\frac{12}{y}\)

\(\frac{y+1+12}{y+1}=\frac{12}{y}\)

\(\frac{y+13}{y+1}=\frac{12}{y}\)

\((y+13)y=12(y+1)\)

\(y^{2}+13y=12y+12\)

\(y^{2}+13y-12y-12=0\)

\(y^{2}+y-12=0\)

\((y+4)(y-3)=0\)

\(y=-4  ,y=3 \)


10.  \(\frac{4}{r-4}+\frac{2r}{r^{2}-16}=\frac{1}{r+4}\)

ข้อนี้ตรงไหนแยกตัวประกอบได้ก็แยกก่อนครับ

\(\frac{4}{r-4}+\frac{2r}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}\)

\(\frac{4(r+4)}{(r-4)(r+4)}+\frac{2r}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}\)

\(\frac{4r+16}{(r-4)(r+4)}+\frac{2r}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}\)

\(\frac{4r+16+2r}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}\)

\(\frac{6r+16}{(r-4)(r+4)}=\frac{1}{r+4}\)

\(\frac{6r+16}{(r-4)(r+4)}-\frac{1}{r+4}=0\)

ทำส่วนให้เท่ากันครับ

\(\frac{6r+16}{(r-4)(r+4)}-\frac{1(r-4)}{(r+4)(r-4)}=0\)

\(\frac{6r+16-(r-4)}{(r-4)(r+4)}=0\)

\(\frac{6r+16-r+4}{(r-4)(r+4)}=0\)

\(\frac{5r+20}{(r-4)(r+4)}=0\)

\(\frac{5(r+4)}{(r-4)(r+4)}=0\)

ตัดทอน

\(\frac{5(r+4)}{r-4}=0\)

\(5(r+4)=0\)

\(r+4=0\)

\(r=-4\)

แต่จะเห็นว่าถ้าเราแทน r  ด้วย -4  ในโจทย์จะเห็นว่าทำให้ส่วนเป็น 0  ดังนั้นสมการข้อนี้ไม่มีคำตอบ

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com