ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(mean deviation หรือ average deviation)  ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลที่ได้จากการเฉลี่ยค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่าจากค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ค่ากลางที่ใช้อาจเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือมัธยฐานก็ได้ แต่ส่วนมากนิยมใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่

   ถ้า \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\) เป็นข้อมูลตัวอย่าง n  จำนวน และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น \(\bar{X}\) แล้ว

\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.) &=&\frac{|x_{1}-\bar{X}|+|x_{2}-\bar{X}|+|x_{3}+\bar{X}+\cdots +|x_{n}+\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}

การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

  ถ้า \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{k}\) เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นต่างๆ  k ชั้น ซึ่งมีความถี่  \(f_{1},f_{2},f_{3},\cdots ,f_{k}\) ตามลำดับ   n เป็นจำนวนข้อมูลตัวอย่างทั้งหมด และถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น  \(\bar{X}\)  แล้ว สามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (โดยประมาณ) ได้จากสูตร

\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}

เมื่อ k  แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

      \(f_{i}\)  แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

      \(x_{i}\)   แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

ต่อไปเราลองมาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับ การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่และการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของที่แจกแจงความถี่

สำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ให้อ่านตามลิงค์นี้ครับผมได้เขียนแสดงตัวอย่างให้ดูเยอะแล้วครับจะเป็นตัวอย่างที่รวมอยู่ในหัวข้อส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ค่อยๆอ่านครับส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

ต่อไปก็ไปดูแบบฝึกหัดเกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

1. จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของรายได้ชองคนงานหญิง 400 คน จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ แล้วเปรียบเทียบค่าที่ได้กับพิสัยของข้อมูลชุดนี้

รายได้(บาท) จำนวนคนงาน (คน)
1500-1599 20
1600-1699 70
1700-1799 120
1800-1899 100
1900-1999 60
2000-2099 20
2100-2199 10

วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ และ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และข้อมูลที่เขาให้มาเป็นข้อมูลแบบแจกแจงความถี่  ดังนั้นต้องใช้สูตรนี้ครับ

\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}

เมื่อ k  แทนจำนวนอันตรภาคชั้น

      \(f_{i}\)  แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

      \(x_{i}\)   แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)

แสดงว่าเราต้องไปหาจุดกี่งกลางชั้น หาค่าเฉลี่ย และหาความถี่สะสม ความถี่สะสมนี้เอาไว้ไปใช้คำนวณในการหาควอร์ไทล์ การหาค่าควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ครับควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่

รายได้ จุดกึ่งกลางชั้น \((x_{i})\) จำนวนคนงาน\((f_{i})\) ความถี่สะสม \(f_{i}x_{i}\) \(|x_{i}-\bar{X}|\) \(f_{i}|x_{i}-\bar{X}|\)
1500-1599 1549.5 20 20 30990 252.5 5050
1600-1699 1649.5 70 90 115465 152.5 10675
1700-1799 1749.5 120 210 209940 52.5 6300
1800-1899 1849.5 100 310 184950 47.5 4750
1900-1999 1949.5 60 370 116970 147.5 8850
2000-2099 2049.5 20 390 40990 247.5 4950
2100-2199 2149.5 10 400 21495 347.5 3475
total 400 total 720800 total 44050

จากตาราง จะได้ว่า

\(\bar{X}=\frac{720800}{400}=1802\)

ตำแหน่งของ \(Q_{1}=\frac{1}{4}\times 400=100\)

ดังนั้น \(Q_{1}\) อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 3  การหาควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่อ่านได้ตามลิงค์นี้นะครับควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ จะได้

\(Q_{1}=1699.5+\left(\frac{100-90}{120}\right)\times 100=1707.83\)

ต่อไป

ตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3}{4}\times 400=300\)

ดังนั้น \(Q_{3}\) อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 4 จะได้

\(Q_{3}=1799.5+\left(\frac{300-210}{100}\right)\times 100=1889.5\)

ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลเท่ากับ

\(\frac{1889.5-1707.83}{2}=\frac{181.67}{2}=90.835\) บาท

ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยก็นำข้อมูลในตารางมาแทนค่าในสูตรเลยครับเพราะในตารางเราเตรียมข้อมูลไว้เรียบร้อยแล้วครับ

จากสูตรการหาส่วนเบี่ยงเฉลี่ย

\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{44050}{400}\\&=&110.125\quad บาท\end{array}

พิสัยเทากับ  2199.5-1499.5=700 บาท

เปรียบเทีบบค่าของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยกับค่าพิสัยจะพบว่าพิสัยมีค่าสูงกว่าส่วนส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมากครับ


2. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีครู 8 คน ซึ่งมีเงินเดือนดังนี้

8430 , 9550 , 17920 , 19400 , 20290 , 20710 , 30210 , 32740 

จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้

วิธีทำ ข้อมูลชุดนี้เป็นข้อมูลที่ไม่มีการแจกแจงความถี่ จะได้

\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{8430 + 9550 + 17920 + 19400 + 20290+ 20710 + 30210+ 32740 }{8}\\&=&19906.25\end{array}

ต่อไปหาค่าของ \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้

\(|8430-19906.25|=11476.25\)

\(|9550-19906.25|=10356.25\)

\(|17920-19906.25|=1986.25\)

\(|19400-19906.25|=506.25\)

\(|20290 -19906.25|=383.75\)

\(|20710-19906.25|=803.75\)

\(|30210-19906.25|=10303.75\)

\(|32740-19906.25|=12833.75\)

เพราะฉะนั้นจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}&=&\frac{11476.25+10356.25+1986.25+506.25+383.75+803.75+10303.75+12833.75}{8}\\&=&6081.25\end{array}

นั่นคือ ส่วนเบนเบนเฉลี่ยของเงินเดือนครูโรงเรียนแห่งนี้เท่ากับ 6081.25 บาท


3.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53  มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด

วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)

และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า

\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}

และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า

\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)

ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}

และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)

ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า

\(|44-53|=9\)

\(|50-53|=3\)

\(|65-53|=12\)

ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)

ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม

\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}