ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย(mean deviation หรือ average deviation) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลที่ได้จากการเฉลี่ยค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่าจากค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ค่ากลางที่ใช้อาจเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือมัธยฐานก็ได้ แต่ส่วนมากนิยมใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต
การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่
ถ้า \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}\) เป็นข้อมูลตัวอย่าง n จำนวน และมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น \(\bar{X}\) แล้ว
\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.) &=&\frac{|x_{1}-\bar{X}|+|x_{2}-\bar{X}|+|x_{3}+\bar{X}+\cdots +|x_{n}+\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}
การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
ถ้า \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{k}\) เป็นจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นต่างๆ k ชั้น ซึ่งมีความถี่ \(f_{1},f_{2},f_{3},\cdots ,f_{k}\) ตามลำดับ n เป็นจำนวนข้อมูลตัวอย่างทั้งหมด และถ้าข้อมูลชุดนี้มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น \(\bar{X}\) แล้ว สามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (โดยประมาณ) ได้จากสูตร
\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}
เมื่อ k แทนจำนวนอันตรภาคชั้น
\(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
ต่อไปเราลองมาทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับ การหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่และการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของที่แจกแจงความถี่
สำหรับการหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่ให้อ่านตามลิงค์นี้ครับผมได้เขียนแสดงตัวอย่างให้ดูเยอะแล้วครับจะเป็นตัวอย่างที่รวมอยู่ในหัวข้อส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ค่อยๆอ่านครับส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
ต่อไปก็ไปดูแบบฝึกหัดเกี่ยวกับส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
1. จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของรายได้ชองคนงานหญิง 400 คน จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปนี้ แล้วเปรียบเทียบค่าที่ได้กับพิสัยของข้อมูลชุดนี้
| รายได้(บาท) | จำนวนคนงาน (คน) |
|---|---|
| 1500-1599 | 20 |
| 1600-1699 | 70 |
| 1700-1799 | 120 |
| 1800-1899 | 100 |
| 1900-1999 | 60 |
| 2000-2099 | 20 |
| 2100-2199 | 10 |
วิธีทำ ข้อนี้โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ และ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย และข้อมูลที่เขาให้มาเป็นข้อมูลแบบแจกแจงความถี่ ดังนั้นต้องใช้สูตรนี้ครับ
\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\end{array}
เมื่อ k แทนจำนวนอันตรภาคชั้น
\(f_{i}\) แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
\(x_{i}\) แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ \(i\)
แสดงว่าเราต้องไปหาจุดกี่งกลางชั้น หาค่าเฉลี่ย และหาความถี่สะสม ความถี่สะสมนี้เอาไว้ไปใช้คำนวณในการหาควอร์ไทล์ การหาค่าควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ให้ไปอ่านตามลิงค์นี้ครับควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่
| รายได้ | จุดกึ่งกลางชั้น \((x_{i})\) | จำนวนคนงาน\((f_{i})\) | ความถี่สะสม | \(f_{i}x_{i}\) | \(|x_{i}-\bar{X}|\) | \(f_{i}|x_{i}-\bar{X}|\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1500-1599 | 1549.5 | 20 | 20 | 30990 | 252.5 | 5050 |
| 1600-1699 | 1649.5 | 70 | 90 | 115465 | 152.5 | 10675 |
| 1700-1799 | 1749.5 | 120 | 210 | 209940 | 52.5 | 6300 |
| 1800-1899 | 1849.5 | 100 | 310 | 184950 | 47.5 | 4750 |
| 1900-1999 | 1949.5 | 60 | 370 | 116970 | 147.5 | 8850 |
| 2000-2099 | 2049.5 | 20 | 390 | 40990 | 247.5 | 4950 |
| 2100-2199 | 2149.5 | 10 | 400 | 21495 | 347.5 | 3475 |
| total 400 | total 720800 | total 44050 |
จากตาราง จะได้ว่า
\(\bar{X}=\frac{720800}{400}=1802\)
ตำแหน่งของ \(Q_{1}=\frac{1}{4}\times 400=100\)
ดังนั้น \(Q_{1}\) อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 3 การหาควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่อ่านได้ตามลิงค์นี้นะครับควอร์ไทล์ของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ จะได้
\(Q_{1}=1699.5+\left(\frac{100-90}{120}\right)\times 100=1707.83\)
ต่อไป
ตำแหน่งของ \(Q_{3}=\frac{3}{4}\times 400=300\)
ดังนั้น \(Q_{3}\) อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 4 จะได้
\(Q_{3}=1799.5+\left(\frac{300-210}{100}\right)\times 100=1889.5\)
ดังนั้น ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลเท่ากับ
\(\frac{1889.5-1707.83}{2}=\frac{181.67}{2}=90.835\) บาท
ต่อไปหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยก็นำข้อมูลในตารางมาแทนค่าในสูตรเลยครับเพราะในตารางเราเตรียมข้อมูลไว้เรียบร้อยแล้วครับ
จากสูตรการหาส่วนเบี่ยงเฉลี่ย
\begin{array}{lcl} ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D.)&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}}\\&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_{i}|x_{i}-\bar{X}|}{n}\\&=&\frac{44050}{400}\\&=&110.125\quad บาท\end{array}
พิสัยเทากับ 2199.5-1499.5=700 บาท
เปรียบเทีบบค่าของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยกับค่าพิสัยจะพบว่าพิสัยมีค่าสูงกว่าส่วนส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมากครับ
2. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีครู 8 คน ซึ่งมีเงินเดือนดังนี้
8430 , 9550 , 17920 , 19400 , 20290 , 20710 , 30210 , 32740
จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ ข้อมูลชุดนี้เป็นข้อมูลที่ไม่มีการแจกแจงความถี่ จะได้
\begin{array}{lcl}\bar{X}&=&\frac{8430 + 9550 + 17920 + 19400 + 20290+ 20710 + 30210+ 32740 }{8}\\&=&19906.25\end{array}
ต่อไปหาค่าของ \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้
\(|8430-19906.25|=11476.25\)
\(|9550-19906.25|=10356.25\)
\(|17920-19906.25|=1986.25\)
\(|19400-19906.25|=506.25\)
\(|20290 -19906.25|=383.75\)
\(|20710-19906.25|=803.75\)
\(|30210-19906.25|=10303.75\)
\(|32740-19906.25|=12833.75\)
เพราะฉะนั้นจะได้
\begin{array}{lcl}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}-\bar{X}|}{n}&=&\frac{11476.25+10356.25+1986.25+506.25+383.75+803.75+10303.75+12833.75}{8}\\&=&6081.25\end{array}
นั่นคือ ส่วนเบนเบนเฉลี่ยของเงินเดือนครูโรงเรียนแห่งนี้เท่ากับ 6081.25 บาท
3.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53 มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด
วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)
และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า
\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)
ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}
และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)
ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า
\(|44-53|=9\)
\(|50-53|=3\)
\(|65-53|=12\)
ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)
ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}