โคไซน์แสดงทิศทาง  การกำหนดทิศทางของเวกเตอร์นั้น นอกจากกำหนดด้วยพิกัดของเวกเตอร์แล้วยังสามารถกำหนดด้วยมุมที่เวกเตอร์ทำกับแกนพิกัดทั้งสามดังนี้

ดูรูปประกอบนะครับทุกท่าน

กำหนด \(P(a_{1},a_{2},a_{3})\) จะได้ \(\vec{OP}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}\)

กำหนด \(\alpha ,\beta,\gamma \in [0,\pi] \) เป็นขนาดของมุมที่วัดจากแกนพิกัดด้านบวกทั้งสามตามลำดับไปยัง \(\vec{OP}\) จะได้

\[cos\alpha=\frac{OQ}{\vec{|OP|}}=\frac{a_{1}}{\vec{|OP|}}\]

\[cos\beta=\frac{OR}{\vec{|OP|}}=\frac{a_{2}}{\vec{|OP|}}\]

\[cos\gamma=\frac{OS}{\vec{|OP|}}=\frac{a_{3}}{\vec{|OP|}}\]

หมายเหตุ ในที่นี้ \(OQ,OR,OS\)  หมายถึง ระยะที่มีทิศทางตามแนวแกน \(X,Y,Z\) ตามลำดับ

\(\alpha,\beta,\gamma\)  คือขนาดของมุมที่ \(\vec{OP}\) ทำกับแกน \(X,Y,Z\) ทางด้านบวกตามลำดับ เรียกมุมดังกล่าวว่า มุมกำหนดทิศทาง (direction angle) ของ \(\vec{OP}\) และเรียก \(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma\) ว่าโคไซน์แสดงทิศทาง (direction cosines) ของ \(\vec{OP}\) สามารถนิยามโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ใดๆ ได้ดังนี้ครับ

บทนิยาม  ให้ \(\vec{a}=\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}\) เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์  โคไซน์แสดงทิศทาง(direction cosines) ของ \(\vec{a}\) เทียบกันแกน \(X,Y,Z\) ตามลำดับ คือจำนวนสามจำนวนซึ่งเรียงตามลำดับดังนี้ \(\frac{a_{1}}{\vec{|a|}},\frac{a_{2}}{\vec{|a|}},\frac{a_{3}}{\vec{|a|}}\)

นี่คือนิยามในการหาโคไซน์แสดงทิศทางครับ จำไปใช้ได้เลยครับทุกท่านครับ ไปดูตัวอย่างง่ายๆในการหาโคไซน์แสดงทิศทางกันเลยครับ

ตัวอย่าง ให้ \(\vec{a}=\begin{bmatrix}3\\4\\5\end{bmatrix}\) จงหาโคไซน์แสดงทิศทางของ \(\vec{a}\)

วิธีทำ  ทำตามนิยามเลยครับ ก็คือ โคไซน์แสดงทิศทางของ \(\vec{a}\) คือ

\(\frac{a_{1}}{\vec{|a|}},\frac{a_{2}}{\vec{|a|}},\frac{a_{3}}{\vec{|a|}}\)

ในที่นี้เราให้ \(a_{1}=3,a_{2}=4,a_{3}=5\)  ต่อไปหาขนาดของ \(\vec{a}\) ครับ ซึ่ง

\begin{array}{lcl}\vec{|a|}&=&\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}}\\&=&\sqrt{9+16+25}\\&=&\sqrt{50}\\&=&5\sqrt{2}\end{array}

ดังนั้น โคไซน์แสดงทิศทางของ \(\vec{a}\) คือ \(\frac{3}{5\sqrt{2}},\frac{4}{5\sqrt{2}},\frac{5}{5\sqrt{2}}\)

มาดูอีกบทนิยามหนึ่งครับ ก็คือเป็นบทนิยามที่เกี่ยวกับ ทิศทางของเวกเตอร์ ว่าจะมีทิศทางเดียวกันไหมหรือทิศทางตรงกันข้ามกันครับ ไปดูบทนิยามกันเลยครับ

บทนิยาม   เวกเตอร์สองเวกเตอร์ จะมีทิศทางเดียวกัน ก็ต่อเมื่อ มีโคไซน์แสดงทิศทางชุดเดียวกัน และจะมีทิศทางตรงกันข้าม ก็ต่อเมื่อ โคไซน์แสดงทิศทางเทียบแต่ละแกนของเวกเตอร์หนึ่งเป็นจำนวนตรงข้ามกับโคไซน์แสดงทิศทางของอีกเวกเตอร์หนึ่ง

ต่อไปดูตัวอย่างประกอบนิยามกันครับ

ตัวอย่าง  จงตรวจสอบว่าเวกเตอร์ต่อไปนี้คู่ใดขนานกัน

1) เวกเตอร์ \(\vec{PQ}\) มีจุดเริ่มต้นที่ \(P(1,2,3)\) และจุดสิ้นสุดที่ \(Q(2,-3,5)\)

2) \(\vec{a}=\begin{bmatrix}2\\-10\\4\end{bmatrix}\)

3) เวกเตอร์ \(\vec{OR}\) ซึ่งมีจุดเริ่มต้นที่จุดกำเนิดและจุดสิ้นสุดที่ \(R(-3,15,-6)\)

วิธีทำ  มาดูคำว่า ขนานกันก่อน  เวกเตอร์ขนานกันนั้น อาจจะขนานแบบมีทิศทางเดียวกัน หรือ ขนานกันแบบทิศทางตรงกันข้ามก็ได้คับ

ถ้าขนานกับแบบทิศทางเดียวกัน แสดงว่าโคไซน์แสดงทิศทางต้องเป็นตัวเลขชุดเดียวกัน

แต่ขนานกันแบบทิศทางตรงกันข้าม โคไซน์แสดงทิศทางต้องเป็นตัวเลขชุดเดียวกันแต่เครื่องหมายตรงกันข้าม

เริ่มทำกันเลยครับ ทำข้อ 1) ก่อน ก็คือหาโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ \(\vec{PQ}\) เขากำหนดจุดเริ่มต้นคือจุด \(P\) และจุดสิ้นสุดคือจุด \(Q\) ดังนั้นเวกเตอร์ \(\vec{PQ}\) คือ

\(\vec{PQ}=\begin{bmatrix}2-1\\-3-2\\5-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\-5\\2\end{bmatrix}\)

\(\vec{|PQ|}=\sqrt{1^{2}+(-5)^{2}+2^{2}}=\sqrt{30}\)

ดังนั้นโคไซน์แสดงทิศทางของ \(\vec{PQ}\) คือ

\(\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{-5}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}}\)

ต่อไปทำข้อ 2) ข้อนี้กำหนดเวกเตอร์มาให้แล้ว ก็หาขนาดเลยครับ

\(\vec{|a|}=\sqrt{2^{2}+(-10)^{2}+4^{2}}=2\sqrt{30}\)

ดังนั้นโคไซน์แสดงทิศทาง \(\vec{a}\) คือ

\(\frac{2}{2\sqrt{30}},\frac{-10}{2\sqrt{30}},\frac{4}{2\sqrt{30}}\)  ตัดทอนให้เรียบร้อยครับผมจะได้

\(\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{-5}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}}\)

ต่อไปทำข้อ 3) ต่อครับผมจะได้หาเวกเตอร์ \(\vec{OR}\)  ซึ่งเวกเตอร์นี้มีจุดเริ่มต้นที่จุดกำเนิดและจุดสิ้นสุดที่ \(R(-3,15,-6)\) ดังนั้นจะได้เวกเตอร์คือ

\(\vec{OR}=\begin{bmatrix}-3-0\\15-0\\-6-0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\15\\-6\end{bmatrix}\)

ต่อหาขนาดของ \(\vec{|OR|}\)

\(\vec{|OR|}=\sqrt{(-3)^{2}+15^{2}+(-6)^{2}}=3\sqrt{30}\)

ดังนั้นโคไซน์แสดงทิศทางของ \(\vec{OR}\) คือ

\(\frac{-3}{3\sqrt{30}},\frac{15}{3\sqrt{30}},\frac{-6}{3\sqrt{30}}\)  ตัดทอนให้เรียบร้อยจะได้

\(\frac{-1}{\sqrt{30}},\frac{5}{\sqrt{30}},\frac{-2}{\sqrt{30}}\)

ต่อไปมาสรุปนิดหนึ่งครับ

โคไซน์แสดงทิศทางของ \(\vec{PQ}\)  คือ

\(\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{-5}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}}\)

โคไซน์แสดงทิศทาง \(\vec{a}\) คือ

\(\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{-5}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}}\)

โคไซน์แสดงทิศทางของ \(\vec{OR}\) คือ

\(\frac{-1}{\sqrt{30}},\frac{5}{\sqrt{30}},\frac{-2}{\sqrt{30}}\)

จากที่เราสรุปจะเห็นได้ว่า โคไซน์แสดงทิศทางของทั้งสามเวกเตอร์คือตัวเลขชุดเดียวกันหมดเลย ต่างกันแค่เครื่องหมาย นั่นหมายความว่าทั้งสามเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ที่ขนานกันครับ ซึ่งจะเห็นว่า 

เวกเตอร์ \(\vec{PQ}\) กับ เวกเตอร์ \(\vec{OR}\) โคไซน์แสดงทิศทางของแต่ละแกนมีเครื่องหมายแตกต่างกันนั่นคือสองเวกเตอร์นี้ขนานกับแบบมีทิศทางตรงกันข้ามครับ

เวกเตอร์ \(\vec{PQ}\) กับ เวกเตอร์ \(\vec{a}\)  โคไซน์แสดงทิศทางของแต่ละแกนมีเครื่องหมายเหมือนกันนั่นคือสองเวกเตอร์นี้ขนานกับแบบมีทิศทางเดียวกันครับ

มาลองทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์กันเพิ่มเติมเลยครับ

1. จงหาเวกเตอร์พร้อมทั้งบอกขนาดและโคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ซึ่งมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดดังต่อไปนี้

1) จุดเริ่มต้น \(P(2,5,3)\)   จุดสิ้นสุด \(Q(3,5,-1)\)

วิธีทำ ก่อนอื่นเราต้องหาเวกเตอร์ \(\vec{PQ}\) ก่อน แล้วต่อด้วยหาขนาดและหาโคไซน์แสดงทิศทางตามลำดับครับ เริ่มเลย

\(\vec{PQ}=\begin{bmatrix}3-2\\5-5\\-1-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\-4\end{bmatrix}\)

ต่อไปหาขนาดของ \(\vec{PQ}\) ครับจะได้

\(\vec{|PQ|}=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{17}\)

ดังนั้นโคไซน์แสดงทิศทางของ \(\vec{PQ}\) คือ

\(\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{0}{\sqrt{17}},\frac{-4}{\sqrt{17}}\)