ผมจะนำเอาแบบฝึกหัดที่น่าสนใจมาเฉลยให้ได้อ่านกันครับ บทความผมเหมาะสำหรับคนที่อ่านพอมีพื้นฐานมาบ้างแล้วนะครับ อ่านเพื่อนำไปทำข้อสอบในห้องเรียนหรือข้อสอบ สอบเข้ามหาลัยก็ได้ครับ มาเริ่มกันเลย
แต่ก่อนที่จะอ่านควรไปอ่านความรู้พื้นฐาน พวกนี้ก่อนครับ
ผกผันของฟังก์ชันไซน์หรืออาร์คไซน์(arcsine)
พื้นฐานเรื่องผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. ค่าของ \(\sin(\arctan 2+\arctan 3)\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ
กำหนดให้ \(\arctan2=A\) ดังนั้นจะได้ว่า \(\tan A=2\) เมื่อ \(-\frac{\pi}{2}<A<\frac{\pi}{2}\)
กำหนดให้ \(\arctan3=B\) ดังนั้นจะได้ว่า \(\tan B=3\) เมื่อ \(-\frac{\pi}{2}<B<\frac{\pi}{2}\)
เอาไปแทนค่าในโจทย์ครับ
\begin{array}{lcl}\sin(\arctan 2+\arctan 3)&=&\sin(A+B)\\&=&\sin A\cos B+\cos A\sin B\end{array}
ติดตรงนี้ไว้ก่อนแล้วไปวาดรูป สามเหลี่ยมมุมฉาก
จาก \(\tan A=2\) และ \(tanB=3\) จะได้รูปคือ
เมื่อเราวาดรูปเสร็จแล้วเราก็สามารถหาคำตอบได้แล้วครับ เริ่มทำต่อครับ
\begin{array}{lcl}\sin(\arctan 2+\arctan 3)&=&\sin(A+B)\\&=&\sin A\cos B+\cos A\sin B\\&=&\frac{2}{\sqrt{5}}\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\frac{3}{\sqrt{10}}\\&=&\frac{5}{\sqrt{50}}\\&=&\frac{5}{5\sqrt{2}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\quad Ans\end{array}
***ข้อนี้เนื่องจาก \(tanA\) และ \(tanB\) เป็นบวก ดังนั้นมุม \(A\) และ มุม\(B\) ตกอยู่ในควอร์ดเร็นจ์ที่ 1 จึงทำให้ค่าของคอสและไซน์เป็นบวกทั้งหมด
2. ค่าของ \(\cot(arccot 7+arccot 13+arccot 21+arccot 31)\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้ทำเหมือนข้อ 1 เลยแต่อาจจะยาวนิดหนึ่งครับ เริ่มทำเลย
กำหนดให้
\(arccot7=A\) จะได้ว่า \(cotA=7\)
\(arccot13=B\) จะได้ว่า \(cotB=13\)
\(arccot21=C\) จะได้ว่า \(cotC=21\)
\(arccot31=D\) จะได้ว่า \(cotD=31\)
เอาไอ้พวกนี้ไปแทนค่าในโจทย์จะได้
\begin{array}{lcl}\cot(arccot 7+arccot 13+arccot 21+arccot 31)&=&\cot(A+B+C+D)\\&=&\cot\left[(A+B)+(C+D)\right]\\&=&\frac{\cot(A+B)\cot(C+D)-1}{\cot(A+B)+\cot(C+D)}\quad\cdots (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนนะครับแล้วไปหาค่าของ \(\cot(A+B)\) และ \(\cot(C+D)\) ข้อนี้ไม่ต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
หาค่า \(\cot(A+B)\) ครับจะได้
\begin{array}{lcl}\cot(A+B)&=&\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}\\&=&\frac{(7)(13)-1}{7+13}\\&=&\frac{90}{20}\\&=&\frac{9}{2}\end{array}
หาค่า \(\cot(C+D)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\cot(C+D)&=&\frac{\cot C\cot D-1}{\cot C+\cot D}\\&=&\frac{(21)(31)-1}{21+31}\\&=&\frac{650}{52}\\&=&\frac{25}{2}\end{array}
เอาค่าของ \(\cot(A+B)=\frac{9}{2}\) และ \(\cot(C+D)=\frac{25}{2}\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\cot(arccot 7+arccot 13+arccot 21+arccot 31)&=&\cot(A+B+C+D)\\&=&\cot\left[(A+B)+(C+D)\right]\\&=&\frac{\cot(A+B)\cot(C+D)-1}{\cot(A+B)+\cot(C+D)}\\&=&\frac{\frac{9}{2}\frac{25}{2}-1}{\frac{9}{2}+\frac{25}{2}}\\&=&\frac{13}{4}\quad Ans\end{array}
3. ค่าของ \(\frac{tan(arccot\frac{1}{5}-arccot\frac{1}{3}+arctan\frac{7}{9})}{sin(arcsin\frac{5}{13}+arcsin\frac{12}{13})}\) เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ ข้อนี้จะแบ่งการหาออกเป็น 2 ส่วนนะครับ คือหาส่วนที่เป็นตัวเศษ และ หาส่วนที่เป็นตัวส่วน แล้วค่อยเอาแต่ละส่วนมาหารกันก็จะได้คำตอบครับ
หาตัวเศษก่อน
กำหนดให้
\(arccot\frac{1}{5}=A\) จะได้ \(cotA=\frac{1}{5}\)
\(arccot\frac{1}{3}=B\) จะได้ \(cotB=\frac{1}{3}\)
\(arctan\frac{7}{9}=C\) จะได้ \(tanC=\frac{7}{9}\)
จะได้
\begin{array}{lcl}tan(arccot\frac{1}{5}-arccot\frac{1}{3}+arctan\frac{7}{9})&=&tan(A-B+C)\\&=&tan[(A-B)+C]\\&=&\frac{tan(A-B)+tanC}{1-tan(A-B)tanC} \quad \cdots (1)\end{array}
เก็บสมการที่ \((1)\) ไว้ก่อนครับ ไปหาค่าของ \(\tan(A-B)\) แล้วเอาไปแทนค่าในสมการที่ \((1)\) เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}\tan(A-B)&=&\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}\\&=&\frac{5-3}{1+(5)(3)}\\&=&\frac{2}{16}\\&=&\frac{1}{8}\end{array}
เอาค่า \(tan(A-B)\) ที่เราได้ไปแทนในสมการที่ \((1)\) ครับ จะได้
\begin{array}{lcl}tan(arccot\frac{1}{5}-arccot\frac{1}{3}+arctan\frac{7}{9})&=&tan(A-B+C)\\&=&tan[(A-B)+C]\\&=&\frac{tan(A-B)+tanC}{1-tan(A-B)tanC}\\&=&\frac{\frac{1}{8}+\frac{7}{9}}{1-(\frac{1}{8})(\frac{7}{9})}\\&=&1\end{array}
***นิดหนึ่งนะครับเผื่อใครยังคงงงอยู่
จากที่เรามี \(cotA=\frac{1}{5}\) ดังนั้น \(tanA=5\)
จากที่เรามี \(cotB=\frac{1}{3}\) ดังนั้น \(tanB=3\) และ \(tanC=\frac{7}{9}\)
หาตัวส่วนครับต่อไป
ตัวส่วนคือตัวนี้นะครับ \(sin(arcsin\frac{5}{13}+arcsin\frac{12}{13})\) นั่นคือ
กำหนดให้
\(arcsin\frac{5}{13}=\alpha\) จะได้ \(sin\alpha=\frac{5}{13}\)
\(arcsin\frac{12}{13}=\beta\) จะได้ \(sin\beta=\frac{12}{13}\)
ดูภาพประกอบการหาค่าของ \(cos\alpha\) และ \(cos\beta\)
แทนค่าลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}sin(arcsin\frac{5}{13}+arcsin\frac{12}{13})&=&sin(\alpha+\beta)\\&=&sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta\\&=&(\frac{5}{13})(\frac{5}{13})+(\frac{12}{13})(\frac{12}{13})\\&=&\frac{25+144}{169}\\&=&1\end{array}
ดังนั้นข้อนี้หาตัวเศษได้แล้วคือ 1 ตัวส่วนก็ได้แล้วคือ 1 คำตอบสวยงามมาก ดังนั้นคำตอบคือ
\[\frac{tan(arccot\frac{1}{5}-arccot\frac{1}{3}+arctan\frac{7}{9})}{sin(arcsin\frac{5}{13}+arcsin\frac{12}{13})}=1\]
4. ค่าของ \(sec^{2}(2arctan\frac{1}{3}+arctan\frac{1}{7})\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 ต.ค.55/28)
วิธีทำ เนื่องจาก \(sec\theta=\frac{1}{cos\theta}\) ดังนั้นจะหาคำตอบนี้โดยใช้ฟังก์ชันคอส แล้วทำให้เป็นฟังก์ชันเซคอีกที ครับ
กำหนดให้
\(arctan\frac{1}{3}=A\) จะได้ \(tanA=\frac{1}{3}\)
\(arctan\frac{1}{7}=B\) จะได้ \(tanB=\frac{1}{7}\)
แทนค่าลงไป จะได้ \(sec^{2}(2A+B)\) แต่ผมจะหาค่าของ \(cos(2A+B)\) นะครับแล้วค่อยแปลงเป็นค่า \(sec^{2}(2A+B)\) อีกทีครับ เริ่มเลยครับ
\begin{array}{lcl}cos(2A+B)&=&cos2AcosB-sin2AsinB\\&=&[cos^{2}A-sin^{2}A]cosB-2sinAcosAsinB\\\\ hint: \\cos2A=cos^{2}A-sin^{2}A ,\\\quad sin2A=2sinAcosA\\\\&=&[(\frac{3}{\sqrt{10}})^{2}-(\frac{1}{\sqrt{10}})^{2}]\frac{7}{5\sqrt{2}}-(2)(\frac{1}{\sqrt{10}})(\frac{3}{\sqrt{10}})(\frac{1}{5\sqrt{2}})\\&=&\frac{56}{50\sqrt{2}}-\frac{6}{50\sqrt{2}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}
นั่นคือ
\(cos(2A+B)=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ดังนั้น
\(cos^{2}(2A+B)=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{1}{2}\)
ดังนั้น
\(sec^{2}(2A+B)=\frac{2}{1}=2\) ตอบ
สนับสนุนเว็บไซต์