เราได้เรียนเกี่ยวกับเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ และ เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ วันนี้เรามารู้จักเวกเตอร์ที่โด่งดังมีชื่อเสียงซึ่งเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก 2 มิติและเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ ซึ่งมีชื่อว่า
\(\vec{i}\quad ,\vec{j}\quad ,\vec{k}\) นั่นเองครับ เรามาดูว่าแต่ละเวกเตอร์มันมีหน้าตาเป็นอย่างไรโดยดูในระบบพิกัดฉาก 2 มิติและจะขยายความรู้ไปยังระบบพิกัดฉาก 3 มิติ ดูรูปประกอบด้านล่างครับ
จากรูป \(\vec{i}\) เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางไปตามแกน X ทางบวกหนึ่งหน่วย ดังนั้น
\(\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)
จากรูป \(\vec{j}\) เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางไปตามแกน Y ทางบวกหนึ่งหน่วย ดังนั้น
\(\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)
ถ้าเราขยายความรู้ไปยังระบบพิกัดฉาก 3 มิติ เราจะได้ว่า
\(\vec{i}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\)
\(\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\)
แต่เนื่องจากในระบบพิกัดฉาก 3 มิติมีแกน Z ด้วยจึงกำหนดให้ \(\vec{k}\) เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตามแกน Z ทางบวกจึงได้ว่า
\(\vec{k}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)
ถ้าเราพิจารณาต่อไปอีกเราจะเห็นว่าเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} ใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) ได้ครับ เช่น
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}a\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\b\end{bmatrix}\\&=&a\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\\&=&a\vec{i}+b\vec{j}\end{array}
สรุปก็คือ
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}=a\vec{i}+b\vec{j}\end{array}
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}=3\vec{i}+4\vec{j}\end{array}
\begin{array}{lcl}\begin{bmatrix}3\\-4\\5\end{bmatrix}=3\vec{i}-4\vec{j}+5\vec{k}\end{array}
มาตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดกันครับ
1. กำหนดจุด A(3,4) และ จุด B(5,6) จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)ที่มีทิศทางเดียวกับ \(\vec{AB}\) ในรูปของ \(\vec{i},\vec{j}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}\vec{AB}&=&\begin{bmatrix}5-3\\6-4\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\\\\|\vec{AB}|&=&\sqrt{2^{2}+2^{2}}\\&=&\sqrt{8}\\&=&2\sqrt{2}\end{array}
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)ที่มีทิศทางเดียวกับ \(\vec{AB}\) คือ \(\frac{1}{|\vec{AB}|}\vec{AB}\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{1}{|\vec{AB}|}\vec{AB}&=&\frac{1}{2\sqrt{2}}\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}\frac{2}{2\sqrt{2}}\\\frac{2}{2\sqrt{2}}\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j}\quad Ans\end{array}